Mathématiques · Paramédical (ISPITS) — Sage-femme

Rappels algébriques et calcul numérique

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Ensembles de nombres : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ .
Identités remarquables :
- $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
- $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
- $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$
Puissances : $a^n \times a^m = a^{n+m}$ ; $(a^n)^m = a^{n \times m}$ ; $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$ .
Valeur absolue : $|x| = x$ si $x \geq 0$ et $|x| = -x$ si $x < 0$ .

Méthodes à maîtriser

Développer : Utiliser la distributivité $k(a+b) = ka + kb$ .
Factoriser : Chercher le facteur commun ou utiliser les identités remarquables.
Résoudre une équation du 2nd degré : $ax^2 + bx + c = 0$ $a x^{2} + b x + c = 0$ . Calculer $\Delta = b^2 - 4ac$ $Δ = b^{2} - 4 a c$ .
- Si $\Delta > 0$ : deux solutions $x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ .
- Si $\Delta = 0$ : une solution $x_0 = \frac{-b}{2a}$ .
- Si $\Delta < 0$ : pas de solution dans $\mathbb{R}$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Développer $A = (2x+3)^2$ . $A = (2x)^2 + 2(2x)(3) + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$ .
Exemple 2 : Résoudre $x^2 - 5x + 6 = 0$ . $\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$ . $x_1 = \frac{5-1}{2} = 2$ ; $x_2 = \frac{5+1}{2} = 3$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le signe "-" lors du calcul de $\Delta$ .
Confondre $(a+b)^2$ avec $a^2 + b^2$ .
Ne pas changer le signe lors du passage d'un terme de l'autre côté de l'égalité.

L'essentiel du cours

Ensembles de nombres : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
Identités remarquables :
- $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
- $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
- $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$
Puissances : $a^n \times a^m = a^{n+m}$ ; $(a^n)^m = a^{n \times m}$ ; $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$.
Valeur absolue : $|x| = x$ si $x \geq 0$ et $|x| = -x$ si $x < 0$.

Méthodes à maîtriser

Développer : Utiliser la distributivité $k(a+b) = ka + kb$.
Factoriser : Chercher le facteur commun ou utiliser les identités remarquables.
Résoudre une équation du 2nd degré : $ax^2 + bx + c = 0$. Calculer $\Delta = b^2 - 4ac$.
- Si $\Delta > 0$ : deux solutions $x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
- Si $\Delta = 0$ : une solution $x_0 = \frac{-b}{2a}$.
- Si $\Delta < 0$ : pas de solution dans $\mathbb{R}$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Développer $A = (2x+3)^2$. $A = (2x)^2 + 2(2x)(3) + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$.
Exemple 2 : Résoudre $x^2 - 5x + 6 = 0$. $\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$. $x_1 = \frac{5-1}{2} = 2$ ; $x_2 = \frac{5+1}{2} = 3$.

Erreurs fréquentes

Oublier le signe "-" lors du calcul de $\Delta$.
Confondre $(a+b)^2$ avec $a^2 + b^2$.
Ne pas changer le signe lors du passage d'un terme de l'autre côté de l'égalité.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Rappels algébriques et calcul numérique

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La valeur de $|-3| + |2|$ est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que |-5| est égal à -5 ?

Non, la valeur absolue d'un nombre est toujours positive ou nulle. $|-5| = 5$ .

💡 À retenir : $|x| \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

Non, la valeur absolue d'un nombre est toujours positive ou nulle. $|-5| = 5$.

💡 À retenir : $|x| \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

C'est quoi la différence entre un ensemble mathbb{D} et mathbb{Q} ?

$\mathbb{D}$ (décimaux) contient les nombres qui s'écrivent sous la forme $\frac{a}{10^n}$ (ex: 0,5 = 5/10).
$\mathbb{Q}$ (rationnels) contient tous les nombres qui s'écrivent sous la forme $\frac{a}{b}$ avec $b \neq 0$ .
Tout nombre décimal est rationnel, mais l'inverse est faux (ex: 1/3 n'est pas décimal car sa division ne s'arrête jamais).

💡 À retenir : $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$ .

$\mathbb{D}$ (décimaux) contient les nombres qui s'écrivent sous la forme $\frac{a}{10^n}$ (ex: 0,5 = 5/10).
$\mathbb{Q}$ (rationnels) contient tous les nombres qui s'écrivent sous la forme $\frac{a}{b}$ avec $b \neq 0$.
Tout nombre décimal est rationnel, mais l'inverse est faux (ex: 1/3 n'est pas décimal car sa division ne s'arrête jamais).

💡 À retenir : $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$.

Kifach n7seb Delta ila kan b aw c negatif ?

Il faut toujours mettre le nombre négatif entre parenthèses.
Pour $b^2$ , le résultat est toujours positif.
Pour $-4ac$ , fais attention au signe : si $a$ ou $c$ est négatif, le produit devient positif. Exemple : $x^2 - 3x - 4 = 0 \implies \Delta = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25$ .

💡 À retenir : Les parenthèses sauvent des erreurs de signe.

Il faut toujours mettre le nombre négatif entre parenthèses.
Pour $b^2$, le résultat est toujours positif.
Pour $-4ac$, fais attention au signe : si $a$ ou $c$ est négatif, le produit devient positif. Exemple : $x^2 - 3x - 4 = 0 \implies \Delta = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25$.

💡 À retenir : Les parenthèses sauvent des erreurs de signe.

chno hiya l'utilité dyal factorisation f l'examen ?

Elle permet de simplifier des expressions complexes.
Elle aide à résoudre des équations produits du type $(ax+b)(cx+d) = 0$ .
Elle est indispensable pour calculer des limites plus tard dans le programme.

💡 À retenir : Factoriser = transformer une somme en produit.

Elle permet de simplifier des expressions complexes.
Elle aide à résoudre des équations produits du type $(ax+b)(cx+d) = 0$.
Elle est indispensable pour calculer des limites plus tard dans le programme.

💡 À retenir : Factoriser = transformer une somme en produit.

Comment simplifier une fraction avec des puissances ?

Utilise les règles : $a^n \times a^m = a^{n+m}$ et $a^n / a^m = a^{n-m}$ .
Décompose les nombres en facteurs premiers si nécessaire.
Soustrais les exposants des termes identiques au numérateur et au dénominateur.

💡 À retenir : On ne peut simplifier que si les bases sont identiques.

Utilise les règles : $a^n \times a^m = a^{n+m}$ et $a^n / a^m = a^{n-m}$.
Décompose les nombres en facteurs premiers si nécessaire.
Soustrais les exposants des termes identiques au numérateur et au dénominateur.

💡 À retenir : On ne peut simplifier que si les bases sont identiques.

kifach n3ref wach l'equation 3ndha 7al wla la ?

Calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ .
Si $\Delta > 0$ , il y a deux solutions.
Si $\Delta = 0$ , il y a une solution unique.
Si $\Delta < 0$ , il n'y a pas de solution dans $\mathbb{R}$ .

💡 À retenir : $\Delta$ est le juge de l'équation.

Calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.
Si $\Delta > 0$, il y a deux solutions.
Si $\Delta = 0$, il y a une solution unique.
Si $\Delta < 0$, il n'y a pas de solution dans $\mathbb{R}$.

💡 À retenir : $\Delta$ est le juge de l'équation.

Est-ce que x^2 = 9 a une seule solution ?

Non, il y a deux solutions : $x = 3$ ou $x = -3$ .

💡 À retenir : $x^2 = a$ (avec $a>0$ ) implique $x = \sqrt{a}$ ou $x = -\sqrt{a}$ .

Non, il y a deux solutions : $x = 3$ ou $x = -3$.

💡 À retenir : $x^2 = a$ (avec $a>0$) implique $x = \sqrt{a}$ ou $x = -\sqrt{a}$.

Comment résoudre une inéquation du type ax + b geq 0 ?

Isole $ax$ : $ax \geq -b$ .
Si $a > 0$ , alors $x \geq -b/a$ .
Si $a < 0$ , le signe change : $x \leq -b/a$ .

💡 À retenir : Attention au changement de sens si on multiplie ou divise par un nombre négatif.

Isole $ax$ : $ax \geq -b$.
Si $a > 0$, alors $x \geq -b/a$.
Si $a < 0$, le signe change : $x \leq -b/a$.

💡 À retenir : Attention au changement de sens si on multiplie ou divise par un nombre négatif.

Est-ce que sqrt{a^2} = a ?

Non, $\sqrt{a^2} = |a|$ . Par exemple, $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$ .

💡 À retenir : La racine carrée d'un carré est toujours positive.

Non, $\sqrt{a^2} = |a|$. Par exemple, $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$.

💡 À retenir : La racine carrée d'un carré est toujours positive.

Pourquoi on utilise mathbb{R} dans la plupart des exercices ?

Parce que $\mathbb{R}$ (l'ensemble des réels) contient tous les nombres nécessaires pour les fonctions, les limites et les calculs de doses en paramédical.

💡 À retenir : $\mathbb{R}$ est l'ensemble de travail standard.

Parce que $\mathbb{R}$ (l'ensemble des réels) contient tous les nombres nécessaires pour les fonctions, les limites et les calculs de doses en paramédical.