Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Une équation différentielle du premier ordre est une équation reliant une fonction inconnue $y$ et sa dérivée $y'$.
La forme générale étudiée est : $y' = ay + b$ où $a \in \mathbb{R}^*$ et $b \in \mathbb{R}$.
Les solutions de l'équation $y' = ay + b$ sont les fonctions définies par :
$$y(x) = c \cdot e^{ax} - \frac{b}{a}$$
où $c$ est une constante réelle déterminée par une condition initiale $y(x_0) = y_0$.
Méthodes à maîtriser
Identification : Identifier les paramètres $a$ et $b$ dans l'équation donnée.
Application directe : Utiliser la formule $y(x) = c \cdot e^{ax} - \frac{b}{a}$.
Détermination de la constante : Remplacer $x$ par $x_0$ et $y$ par $y_0$ dans la solution générale pour trouver $c$.
Vérification : Dériver la solution trouvée et vérifier si elle satisfait l'équation initiale.
Exemples corrigés
Exemple 1 : Résoudre $y' = 3y$.
Ici $a=3$ et $b=0$. La solution est $y(x) = c \cdot e^{3x}$.
Exemple 2 : Résoudre $y' = 2y - 4$ avec $y(0) = 1$.
Ici $a=2$ et $b=-4$. La solution générale est $y(x) = c \cdot e^{2x} - \frac{-4}{2} = c \cdot e^{2x} + 2$.
Avec $y(0)=1$, on a $c \cdot e^0 + 2 = 1 \implies c + 2 = 1 \implies c = -1$.
La solution particulière est $y(x) = -e^{2x} + 2$.
Erreurs fréquentes
Oublier la constante $c$ (c'est une erreur grave).
Se tromper dans le signe de $-b/a$ (attention aux doubles signes).
Confondre $y'$ et $y$ lors de l'identification des coefficients.
Oublier de calculer $c$ quand une condition initiale est donnée.
🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR
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La solution générale $y(x) = c \cdot e^{ax} - b/a$ contient une infinité de solutions à cause de la constante $c$.
La condition initiale sert à fixer une valeur précise pour $c$.
Elle permet de trouver la "solution particulière" qui correspond à un cas réel précis.
💡 À retenir : Sans condition initiale, on ne peut pas déterminer la valeur exacte de $c$.
Kifach n7seb c ila 3tawni y(0) = 5 ?
Tu prends ta solution générale $y(x) = c \cdot e^{ax} - b/a$.
Tu remplaces $x$ par $0$ et $y(0)$ par $5$.
Tu résous l'équation obtenue pour isoler $c$.
💡 À retenir : $e^0$ vaut toujours $1$, ce qui simplifie énormément le calcul.
Est-ce que a peut être égal à 0 ?
Si $a=0$, l'équation devient $y' = b$. C'est une équation très simple où $y$ est une primitive de $b$. La solution est $y(x) = bx + c$.
💡 À retenir : La formule $y(x) = c \cdot e^{ax} - b/a$ ne s'applique pas directement si $a=0$ car on ne peut pas diviser par zéro.
Pourquoi on utilise l'exponentielle dans ces équations ?
Parce que la fonction exponentielle est la seule fonction (à une constante près) dont la dérivée est proportionnelle à elle-même ($f' = af$). C'est la base du modèle de croissance.
💡 À retenir : L'exponentielle est le moteur mathématique de la résolution des équations différentielles linéaires.
Est-ce que c peut être égal à 0 ?
Oui, tout à fait. Si $c=0$, la solution est la fonction constante $y(x) = -b/a$. C'est ce qu'on appelle une solution particulière constante.
💡 À retenir : $c$ est un nombre réel quelconque, il peut être positif, négatif ou nul.
Est-ce que le signe de a change quelque chose ?
Oui, le signe de $a$ détermine le comportement de la fonction : si $a > 0$, la fonction croît (ou décroît selon $c$), si $a < 0$, la fonction tend vers $-b/a$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
💡 À retenir : Le signe de $a$ est crucial pour l'étude des variations de la solution.
Est-ce que je peux laisser c dans mon résultat final ?
Si l'énoncé ne donne pas de condition initiale, tu DOIS laisser $c$ dans ton résultat final. Si une condition est donnée, tu dois calculer la valeur numérique de $c$.
💡 À retenir : La présence de $c$ indique que tu as bien donné la solution générale.
Est-ce que y' peut être multiplié par un nombre, genre 2y' = y + 1 ?
Oui, mais tu dois d'abord diviser toute l'équation par ce nombre pour isoler $y'$. Ici, tu divises par 2 pour obtenir $y' = 0,5y + 0,5$.
💡 À retenir : Toujours isoler $y'$ avant d'identifier $a$ et $b$.
Est-ce que y(x) peut être une fonction négative ?
Oui, $y(x)$ est une fonction réelle, elle peut prendre n'importe quelle valeur dans $\mathbb{R}$ selon les paramètres $a, b$ et $c$.
💡 À retenir : Le résultat dépend entièrement des données du problème.
Est-ce que le programme de l'examen demande de démontrer la formule ?
Non, le programme officiel demande de savoir résoudre l'équation et d'utiliser la solution, pas de démontrer la formule de résolution.
💡 À retenir : Apprends la formule par cœur, c'est suffisant pour l'examen.
Est-ce que les équations différentielles sont liées aux primitives ?
Oui, résoudre $y' = f(x)$ revient exactement à chercher la primitive de $f(x)$. L'équation $y' = ay + b$ est une généralisation.
💡 À retenir : La notion de primitive est le socle de la résolution des équations différentielles.
Un médicament est éliminé par le sang selon l'équation différentielle $y' = -0,5y$, où $y(t)$ est la concentration du médicament à l'instant $t$ (en heures). À l'instant $t=0$, la concentration est $y(0) = 10$ mg/L.
Donner la solution générale de l'équation.
Déterminer la concentration du médicament à $t = 2$ heures.
Une équation différentielle du premier ordre est une équation reliant une fonction inconnue y et sa dérivée y′.
La forme générale étudiée est : y′=ay+b où a∈R∗ et b∈R.
Les solutions de l'équation y′=ay+b sont les fonctions définies par :
y(x)=c⋅eax−ab
où c est une constante réelle déterminée par une condition initiale y(x0)=y0.
Méthodes à maîtriser
Identification : Identifier les paramètres a et b dans l'équation donnée.
Application directe : Utiliser la formule y(x)=c⋅eax−ab.
Détermination de la constante : Remplacer x par x0 et y par y0 dans la solution générale pour trouver c.
Vérification : Dériver la solution trouvée et vérifier si elle satisfait l'équation initiale.
Exemples corrigés
Exemple 1 : Résoudre y′=3y.
Ici a=3 et b=0. La solution est y(x)=c⋅e3x.
Exemple 2 : Résoudre y′=2y−4 avec y(0)=1.
Ici a=2 et b=−4. La solution générale est y(x)=c⋅e2x−2−4=c⋅e2x+2.
Avec y(0)=1, on a c⋅e0+2=1⟹c+2=1⟹c=−1.
La solution particulière est y(x)=−e2x+2.
Erreurs fréquentes
Oublier la constante c (c'est une erreur grave).
Se tromper dans le signe de −b/a (attention aux doubles signes).
Confondre y′ et y lors de l'identification des coefficients.
Oublier de calculer c quand une condition initiale est donnée.
La solution générale de l'équation y′=5y est :
y=c⋅e5x
y=c⋅e−5x
y=5ex+c
y=c⋅ex+5
Regarde si tu as une seule dérivée y′ et une fonction y.
Vérifie qu'il n'y a pas de y2 ou de y′′.
Mets tous les termes avec y d'un côté et les nombres de l'autre pour isoler y′.
💡 À retenir : Si l'équation s'écrit sous la forme y′=(nombre)⋅y+(nombre), alors c'est bien une équation du premier ordre.
La solution générale y(x)=c⋅eax−b/a contient une infinité de solutions à cause de la constante c.
La condition initiale sert à fixer une valeur précise pour c.
Elle permet de trouver la "solution particulière" qui correspond à un cas réel précis.
💡 À retenir : Sans condition initiale, on ne peut pas déterminer la valeur exacte de c.
Tu prends ta solution générale y(x)=c⋅eax−b/a.
Tu remplaces x par 0 et y(0) par 5.
Tu résous l'équation obtenue pour isoler c.
💡 À retenir : e0 vaut toujours 1, ce qui simplifie énormément le calcul.
Si a=0, l'équation devient y′=b. C'est une équation très simple où y est une primitive de b. La solution est y(x)=bx+c.
💡 À retenir : La formule y(x)=c⋅eax−b/a ne s'applique pas directement si a=0 car on ne peut pas diviser par zéro.
Parce que la fonction exponentielle est la seule fonction (à une constante près) dont la dérivée est proportionnelle à elle-même (f′=af). C'est la base du modèle de croissance.
💡 À retenir : L'exponentielle est le moteur mathématique de la résolution des équations différentielles linéaires.
Oui, tout à fait. Si c=0, la solution est la fonction constante y(x)=−b/a. C'est ce qu'on appelle une solution particulière constante.
💡 À retenir : c est un nombre réel quelconque, il peut être positif, négatif ou nul.
Oui, le signe de a détermine le comportement de la fonction : si a>0, la fonction croît (ou décroît selon c), si a<0, la fonction tend vers −b/a quand x tend vers +∞.
💡 À retenir : Le signe de a est crucial pour l'étude des variations de la solution.
Si l'énoncé ne donne pas de condition initiale, tu DOIS laisser c dans ton résultat final. Si une condition est donnée, tu dois calculer la valeur numérique de c.
💡 À retenir : La présence de c indique que tu as bien donné la solution générale.
Oui, mais tu dois d'abord diviser toute l'équation par ce nombre pour isoler y′. Ici, tu divises par 2 pour obtenir y′=0,5y+0,5.
💡 À retenir : Toujours isoler y′ avant d'identifier a et b.
Oui, y(x) est une fonction réelle, elle peut prendre n'importe quelle valeur dans R selon les paramètres a,b et c.
💡 À retenir : Le résultat dépend entièrement des données du problème.
Oui, résoudre y′=f(x) revient exactement à chercher la primitive de f(x). L'équation y′=ay+b est une généralisation.
💡 À retenir : La notion de primitive est le socle de la résolution des équations différentielles.
Déterminer la solution particulière de l'équation (E):y′=4y−8 vérifiant la condition initiale y(0)=3.
Exercice 3
Un médicament est éliminé par le sang selon l'équation différentielle y′=−0,5y, où y(t) est la concentration du médicament à l'instant t (en heures). À l'instant t=0, la concentration est y(0)=10 mg/L.
Donner la solution générale de l'équation.
Déterminer la concentration du médicament à t=2 heures.