Mathématiques · Paramédical (ISPITS) — Sage-femme

Dérivation et étude de fonctions

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Nombre dérivé : $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ .
Équation de la tangente : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$ , $(uv)' = u'v + uv'$ , $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ .
Monotonie : Si $f' > 0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .
Concavité : Si $f'' > 0$ , la courbe est convexe (tournée vers le haut).

Méthodes à maîtriser

Calculer une dérivée : Identifier la forme (somme, produit, quotient) et appliquer les formules de base.
Étudier les variations : Calculer $f'$ , chercher son signe, dresser le tableau de variations.
Déterminer une tangente : Calculer $f(a)$ et $f'(a)$ , puis remplacer dans $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .

Exemples corrigés

Exemple : Soit $f(x) = x^2 + 3x$ .

$f'(x) = 2x + 3$ .
Pour $a=1$ : $f(1) = 4$ et $f'(1) = 5$ .
Tangente : $y = 5(x - 1) + 4 \Rightarrow y = 5x - 1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser l'ensemble de dérivabilité avant de dériver.
Erreur de signe dans la formule du quotient $\frac{u'v - uv'}{v^2}$ .
Confondre le signe de $f'$ (variations) et le signe de $f''$ (concavité).

L'essentiel du cours

Nombre dérivé : $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$.
Équation de la tangente : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$, $(uv)' = u'v + uv'$, $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Monotonie : Si $f' > 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
Concavité : Si $f'' > 0$, la courbe est convexe (tournée vers le haut).

Méthodes à maîtriser

Calculer une dérivée : Identifier la forme (somme, produit, quotient) et appliquer les formules de base.
Étudier les variations : Calculer $f'$, chercher son signe, dresser le tableau de variations.
Déterminer une tangente : Calculer $f(a)$ et $f'(a)$, puis remplacer dans $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.

Exemples corrigés

Exemple : Soit $f(x) = x^2 + 3x$.

$f'(x) = 2x + 3$.
Pour $a=1$ : $f(1) = 4$ et $f'(1) = 5$.
Tangente : $y = 5(x - 1) + 4 \Rightarrow y = 5x - 1$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser l'ensemble de dérivabilité avant de dériver.
Erreur de signe dans la formule du quotient $\frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Confondre le signe de $f'$ (variations) et le signe de $f''$ (concavité).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Dérivation et étude de fonctions

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La dérivée de $f(x) = 5x^2 - 3x + 1$ est :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre la dérivée et la tangente ?

La dérivée $f'(a)$ est un nombre qui représente la pente (le coefficient directeur) de la droite tangente.
La tangente est une droite complète dont l'équation est $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .

💡 À retenir : La dérivée est le "moteur" (la pente), la tangente est le "véhicule" (la droite).

La dérivée $f'(a)$ est un nombre qui représente la pente (le coefficient directeur) de la droite tangente.
La tangente est une droite complète dont l'équation est $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.

💡 À retenir : La dérivée est le "moteur" (la pente), la tangente est le "véhicule" (la droite).

Kifach n3ref wach l'fonction tza3oudiya wla tnaqousiya?

Tu calcules la dérivée $f'(x)$ .
Tu cherches le signe de $f'(x)$ .
Si $f'(x) \geq 0$ , la fonction est croissante. Si $f'(x) \leq 0$ , elle est décroissante.

💡 À retenir : Le signe de la dérivée donne le sens de variation.

Tu calcules la dérivée $f'(x)$.
Tu cherches le signe de $f'(x)$.
Si $f'(x) \geq 0$, la fonction est croissante. Si $f'(x) \leq 0$, elle est décroissante.

💡 À retenir : Le signe de la dérivée donne le sens de variation.

Est-ce que toute fonction continue est dérivable ?

Non. Par exemple, la fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est continue en 0, mais elle n'est pas dérivable en 0 (il y a un point anguleux).

💡 À retenir : La continuité est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la dérivabilité.

Non. Par exemple, la fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est continue en 0, mais elle n'est pas dérivable en 0 (il y a un point anguleux).

💡 À retenir : La continuité est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la dérivabilité.

Chno hiya l'qima l'qouswa (maximum) ?

C'est la valeur la plus grande que prend la fonction sur un intervalle. Elle se trouve souvent là où $f'(x) = 0$ et change de signe de positif à négatif.

💡 À retenir : Maximum = changement de signe de $f'$ de (+) à (-).

C'est la valeur la plus grande que prend la fonction sur un intervalle. Elle se trouve souvent là où $f'(x) = 0$ et change de signe de positif à négatif.

💡 À retenir : Maximum = changement de signe de $f'$ de (+) à (-).

Kifach n7seb l'mouchtaqa dyal f(x) = frac{1}{x} ?

Tu utilises la formule $(\frac{1}{u})' = -\frac{u'}{u^2}$ . Ici $u=x$ , donc $u'=1$ . Le résultat est $-\frac{1}{x^2}$ .

💡 À retenir : Applique toujours la formule du quotient pour les fonctions inverses.

Tu utilises la formule $(\frac{1}{u})' = -\frac{u'}{u^2}$. Ici $u=x$, donc $u'=1$. Le résultat est $-\frac{1}{x^2}$.

💡 À retenir : Applique toujours la formule du quotient pour les fonctions inverses.

Pourquoi on cherche le domaine de définition avant la dérivée ?

Parce qu'on ne peut pas dériver une fonction là où elle n'existe pas. La dérivée n'a de sens que sur les intervalles où la fonction est définie.

💡 À retenir : Domaine de définition d'abord, dérivée ensuite.

Est-ce que la dérivée d'une constante est toujours zéro ?

Oui, car une constante ne varie pas, donc son taux d'accroissement est nul.

💡 À retenir : $(k)' = 0$ pour tout nombre réel $k$ .

Oui, car une constante ne varie pas, donc son taux d'accroissement est nul.

💡 À retenir : $(k)' = 0$ pour tout nombre réel $k$.

Comment savoir si un point est un point d'inflexion ?

Il faut calculer la dérivée seconde $f''(x)$ . Si $f''(x)$ s'annule et change de signe en $x_0$ , alors le point $(x_0, f(x_0))$ est un point d'inflexion.

💡 À retenir : $f''$ change de signe = point d'inflexion.

Il faut calculer la dérivée seconde $f''(x)$. Si $f''(x)$ s'annule et change de signe en $x_0$, alors le point $(x_0, f(x_0))$ est un point d'inflexion.

💡 À retenir : $f''$ change de signe = point d'inflexion.

Est-ce que je dois toujours simplifier la dérivée ?

Oui, c'est indispensable pour étudier son signe. Une forme factorisée est beaucoup plus facile à analyser qu'une forme développée.

💡 À retenir : Factoriser pour étudier le signe.

Si f'(x) = 0 sur un intervalle, que dire de f ?

Si la dérivée est nulle partout sur un intervalle, alors la fonction est constante sur cet intervalle.

💡 À retenir : $f'=0 \iff f$ est constante.

Si la dérivée est nulle partout sur un intervalle, alors la fonction est constante sur cet intervalle.

💡 À retenir : $f'=0 \iff f$ est constante.

Est-ce que la dérivée d'un produit est le produit des dérivées ?

Non, c'est une erreur classique ! $(uv)' = u'v + uv'$ . Ce n'est jamais $u'v'$ .

💡 À retenir : $(uv)' = u'v + uv'$ .

Non, c'est une erreur classique ! $(uv)' = u'v + uv'$. Ce n'est jamais $u'v'$.

💡 À retenir : $(uv)' = u'v + uv'$.

Comment interpréter graphiquement f'(a) = 0 ?

Cela signifie que la tangente au point $a$ est horizontale (parallèle à l'axe des abscisses).

💡 À retenir : $f'(a)=0 \implies$ tangente horizontale.

Cela signifie que la tangente au point $a$ est horizontale (parallèle à l'axe des abscisses).

💡 À retenir : $f'(a)=0 \implies$ tangente horizontale.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f(x) = x^3 - 3x + 2$ .

Calculer $f'(x)$ .
Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 1

Soit $f(x) = x^3 - 3x + 2$.

Calculer $f'(x)$.
Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $g(x) = x^2$ au point d'abscisse $a=2$ .

Exercice 2

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $g(x) = x^2$ au point d'abscisse $a=2$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $h(x) = \frac{2x+1}{x-1}$ . Calculer $h'(x)$ et déterminer son signe.

Exercice 3

Soit $h(x) = \frac{2x+1}{x-1}$. Calculer $h'(x)$ et déterminer son signe.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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