Mathématiques · Paramédical (ISPITS) — Sage-femme

Limites et continuité

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Limite en un point : $\lim_{x \to a} f(x) = L$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $L$ quand $x$ se rapproche de $a$ .
Continuité en $a$ : $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .
Opérations : La somme, le produit et le quotient de fonctions continues sont continus sur leur domaine de définition.
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ , alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$ .

Méthodes à maîtriser

Lever une forme indéterminée : Utiliser la factorisation, l'expression conjuguée ou les limites usuelles.
Étudier la continuité : Calculer la limite à gauche, à droite et l'image $f(a)$ . Si les trois sont égales, $f$ est continue.
Montrer l'existence d'une solution : Vérifier la continuité, la stricte monotonie et que $0$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$ .
Exemple 2 : Soit $f(x) = x^2$ sur $[0, 1]$ . $f(0)=0$ et $f(1)=1$ . Comme $0.5 \in [0, 1]$ , il existe $c$ tel que $f(c)=0.5$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant d'appliquer le TVI.
Confondre la limite en $a$ avec la valeur $f(a)$ .
Ne pas préciser le domaine de définition avant de calculer une limite.

L'essentiel du cours

Limite en un point : $\lim_{x \to a} f(x) = L$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $L$ quand $x$ se rapproche de $a$.
Continuité en $a$ : $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
Opérations : La somme, le produit et le quotient de fonctions continues sont continus sur leur domaine de définition.
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : Si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.

Méthodes à maîtriser

Lever une forme indéterminée : Utiliser la factorisation, l'expression conjuguée ou les limites usuelles.
Étudier la continuité : Calculer la limite à gauche, à droite et l'image $f(a)$. Si les trois sont égales, $f$ est continue.
Montrer l'existence d'une solution : Vérifier la continuité, la stricte monotonie et que $0$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$.
Exemple 2 : Soit $f(x) = x^2$ sur $[0, 1]$. $f(0)=0$ et $f(1)=1$. Comme $0.5 \in [0, 1]$, il existe $c$ tel que $f(c)=0.5$.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant d'appliquer le TVI.
Confondre la limite en $a$ avec la valeur $f(a)$.
Ne pas préciser le domaine de définition avant de calculer une limite.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Limites et continuité

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La limite $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x+3}{x-1}$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment lever une indétermination avec une racine carrée ?

On multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée.

💡 À retenir : L'expression conjuguée permet d'utiliser l'identité remarquable $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ .

On multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée.

💡 À retenir : L'expression conjuguée permet d'utiliser l'identité remarquable $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

La fonction f(x) = sqrt{x} est-elle continue en 0 ?

Oui, elle est continue à droite en $0$ car $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0 = f(0)$ .

💡 À retenir : La continuité sur un intervalle fermé inclut la continuité aux bornes.

Oui, elle est continue à droite en $0$ car $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0 = f(0)$.

💡 À retenir : La continuité sur un intervalle fermé inclut la continuité aux bornes.

Qu'est-ce qu'une forme indéterminée ?

C'est une situation où les règles usuelles des limites ne permettent pas de conclure directement. Les cas sont : $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $0 \times \infty$ et $+\infty - \infty$ .

💡 À retenir : Il faut transformer l'expression pour lever l'indétermination.

C'est une situation où les règles usuelles des limites ne permettent pas de conclure directement. Les cas sont : $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$ et $+\infty - \infty$.

💡 À retenir : Il faut transformer l'expression pour lever l'indétermination.

kifach n3ref wach l-founction moutassila f-chi noqta?

Calcule la limite quand $x$ tend vers $a$ (à gauche et à droite).
Calcule l'image $f(a)$ .
Si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$ , alors elle est continue.

💡 À retenir : L'égalité des trois valeurs est obligatoire.

Calcule la limite quand $x$ tend vers $a$ (à gauche et à droite).
Calcule l'image $f(a)$.
Si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$, alors elle est continue.

💡 À retenir : L'égalité des trois valeurs est obligatoire.

Est-ce que toute fonction continue est dérivable ?

Non. Par exemple, la fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est continue en $0$ , mais elle n'est pas dérivable en $0$ (point anguleux).

💡 À retenir : La continuité est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la dérivabilité.

Non. Par exemple, la fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est continue en $0$, mais elle n'est pas dérivable en $0$ (point anguleux).

💡 À retenir : La continuité est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la dérivabilité.

chhal hiya l-limite dyal 1/x f-zero?

La limite n'existe pas car $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ et $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$ . Les limites à droite et à gauche sont différentes.

💡 À retenir : Pour qu'une limite existe, il faut que les limites latérales soient égales.

La limite n'existe pas car $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ et $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$. Les limites à droite et à gauche sont différentes.

💡 À retenir : Pour qu'une limite existe, il faut que les limites latérales soient égales.

Comment utiliser le TVI pour une équation f(x) = 0 ?

Montre que $f$ est continue sur $[a, b]$ .
Calcule $f(a)$ et $f(b)$ .
Vérifie que $f(a) \times f(b) < 0$ .
Conclus qu'il existe au moins une solution dans $]a, b[$ .

💡 À retenir : Le signe opposé aux bornes garantit le passage par zéro.

Montre que $f$ est continue sur $[a, b]$.
Calcule $f(a)$ et $f(b)$.
Vérifie que $f(a) \times f(b) < 0$.
Conclus qu'il existe au moins une solution dans $]a, b[$.

💡 À retenir : Le signe opposé aux bornes garantit le passage par zéro.

kifach n7seb l-limite f-l-malahiya dyal founction rationnelle?

Pour $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{P(x)}{Q(x)}$ , tu prends le rapport des termes de plus haut degré.

💡 À retenir : Seuls les termes de plus haut degré comptent à l'infini.

Pour $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{P(x)}{Q(x)}$, tu prends le rapport des termes de plus haut degré.

💡 À retenir : Seuls les termes de plus haut degré comptent à l'infini.

Qu'est-ce qu'un prolongement par continuité ?

Si $f$ n'est pas définie en $a$ mais que $\lim_{x \to a} f(x) = L$ , on crée une nouvelle fonction $g$ telle que $g(x) = f(x)$ pour $x \neq a$ et $g(a) = L$ .

💡 À retenir : On "bouche le trou" de la courbe.

Si $f$ n'est pas définie en $a$ mais que $\lim_{x \to a} f(x) = L$, on crée une nouvelle fonction $g$ telle que $g(x) = f(x)$ pour $x \neq a$ et $g(a) = L$.

💡 À retenir : On "bouche le trou" de la courbe.

Est-ce que la somme de deux fonctions continues est continue ?

Oui, la somme, le produit et le quotient (si le dénominateur ne s'annule pas) de fonctions continues sont toujours continus sur leur domaine.

💡 À retenir : La continuité est stable par les opérations usuelles.

Pourquoi on calcule les limites aux bornes du domaine ?

Pour connaître le comportement de la fonction aux extrémités (asymptotes, branches infinies) et tracer la courbe.

💡 À retenir : Les bornes définissent les limites du tracé.

Est-ce que le TVI donne la valeur exacte de la solution ?

Non, il prouve seulement l'existence de la solution. Pour une valeur approchée, on utilise souvent la méthode de dichotomie.

💡 À retenir : Le TVI est un outil d'existence, pas de calcul précis.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1) = 2$ .

Étudier la continuité de $f$ en $x_0 = 1$ .
Déterminer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1) = 2$.

Étudier la continuité de $f$ en $x_0 = 1$.
Déterminer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

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Exercice 2

Soit $f(x) = x^3 + x - 1$ .

Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $[0, 1]$ .

Exercice 2

Soit $f(x) = x^3 + x - 1$.

Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $[0, 1]$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Déterminer la limite suivante : $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ .

Exercice 3

Déterminer la limite suivante : $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$.

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