Mathématiques · Paramédical (ISPITS) — Sage-femme

Fonctions numériques : généralités

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Ensemble de définition $D_f$ : L'ensemble des réels $x$ tels que $f(x)$ existe. Pour une fraction, le dénominateur $\neq 0$ . Pour une racine carrée, l'intérieur $\geq 0$ .
Parité :
- Paire : $f(-x) = f(x)$ , symétrie par rapport à l'axe des ordonnées $(Oy)$ .
- Impaire : $f(-x) = -f(x)$ , symétrie par rapport à l'origine $O$ .
Monotonie : Soit $T = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$ . Si $T > 0$ la fonction est croissante, si $T < 0$ elle est décroissante.
Extremums : $f(a)$ est un maximum si $\forall x \in D_f, f(x) \leq f(a)$ .

Méthodes à maîtriser

Déterminer $D_f$ : Résoudre les inéquations ou équations de contrainte.
Étudier la parité : Toujours vérifier d'abord si $D_f$ est symétrique par rapport à 0.
Calculer le taux de variation : Choisir deux réels $x_1 \neq x_2$ et simplifier l'expression de $T$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : $f(x) = \frac{1}{x-2}$ . $D_f = \{x \in \mathbb{R} / x-2 \neq 0\} = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ .
Exemple 2 : $f(x) = x^2$ . $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$ , donc $f$ est paire.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la symétrie de $D_f$ avant de conclure sur la parité.
Confondre "croissante" et "positive".
Ne pas simplifier le taux de variation $T$ avant de déterminer son signe.

L'essentiel du cours

Ensemble de définition $D_f$ : L'ensemble des réels $x$ tels que $f(x)$ existe. Pour une fraction, le dénominateur $\neq 0$. Pour une racine carrée, l'intérieur $\geq 0$.
Parité :
- Paire : $f(-x) = f(x)$, symétrie par rapport à l'axe des ordonnées $(Oy)$.
- Impaire : $f(-x) = -f(x)$, symétrie par rapport à l'origine $O$.
Monotonie : Soit $T = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$. Si $T > 0$ la fonction est croissante, si $T < 0$ elle est décroissante.
Extremums : $f(a)$ est un maximum si $\forall x \in D_f, f(x) \leq f(a)$.

Méthodes à maîtriser

Déterminer $D_f$ : Résoudre les inéquations ou équations de contrainte.
Étudier la parité : Toujours vérifier d'abord si $D_f$ est symétrique par rapport à 0.
Calculer le taux de variation : Choisir deux réels $x_1 \neq x_2$ et simplifier l'expression de $T$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $f(x) = \frac{1}{x-2}$. $D_f = {x \in \mathbb{R} / x-2 \neq 0} = \mathbb{R} \setminus {2}$.
Exemple 2 : $f(x) = x^2$. $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$, donc $f$ est paire.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la symétrie de $D_f$ avant de conclure sur la parité.
Confondre "croissante" et "positive".
Ne pas simplifier le taux de variation $T$ avant de déterminer son signe.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Fonctions numériques : généralités

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Quel est le domaine de définition de $f(x) = \sqrt{x-3}$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si une fonction est paire ou impaire ?

Vérifie si $D_f$ est symétrique par rapport à 0 (si $x \in D_f$ , alors $-x \in D_f$ ).
Calcule $f(-x)$ .
Si $f(-x) = f(x)$ , elle est paire. Si $f(-x) = -f(x)$ , elle est impaire.

💡 À retenir : Si $D_f$ n'est pas symétrique, la fonction n'est ni paire ni impaire.

Vérifie si $D_f$ est symétrique par rapport à 0 (si $x \in D_f$, alors $-x \in D_f$).
Calcule $f(-x)$.
Si $f(-x) = f(x)$, elle est paire. Si $f(-x) = -f(x)$, elle est impaire.

💡 À retenir : Si $D_f$ n'est pas symétrique, la fonction n'est ni paire ni impaire.

Kifach n7seb ensemble de définition dyal wahed l'fonction f(x) = 1 / (x² - 4) ?

L'fonction li fiha l'kssr (fraction) khass l'maqam (dénominateur) maykounch kaysawi 0.
N7lou l'mo3adala $x^2 - 4 = 0$ , ya3ni $(x-2)(x+2) = 0$ .
L'hal houwa $x=2$ ou $x=-2$ .
Donc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$ .

💡 À retenir : Dima l'maqam khasso ykoun $\neq 0$ .

L'fonction li fiha l'kssr (fraction) khass l'maqam (dénominateur) maykounch kaysawi 0.
N7lou l'mo3adala $x^2 - 4 = 0$, ya3ni $(x-2)(x+2) = 0$.
L'hal houwa $x=2$ ou $x=-2$.
Donc $D_f = \mathbb{R} \setminus {-2, 2}$.

💡 À retenir : Dima l'maqam khasso ykoun $\neq 0$.

Est-ce qu'une fonction peut être à la fois paire et impaire ?

Oui, une seule fonction : la fonction nulle $f(x) = 0$ .

💡 À retenir : Pour toute autre fonction, si elle est paire, elle ne peut pas être impaire.

Oui, une seule fonction : la fonction nulle $f(x) = 0$.

💡 À retenir : Pour toute autre fonction, si elle est paire, elle ne peut pas être impaire.

Chno hiya l'far9 bin l'image et l'antécédent ?

L'image est la valeur $y$ que tu obtiens en remplaçant $x$ dans $f(x)$ .
L'antécédent est la valeur $x$ qui, une fois calculée, donne $y$ .

💡 À retenir : $y = f(x)$ , $y$ est l'image, $x$ est l'antécédent.

L'image est la valeur $y$ que tu obtiens en remplaçant $x$ dans $f(x)$.
L'antécédent est la valeur $x$ qui, une fois calculée, donne $y$.

💡 À retenir : $y = f(x)$, $y$ est l'image, $x$ est l'antécédent.

Kifach n3ref wach l'fonction tzaidiya wla tnaqsia ?

Khtari jouj dyal l'qiyam $x_1$ et $x_2$ men l'intervalle.
Hssbi $T = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$ .
Ila kan $T > 0$ l'fonction tzaidiya, ila kan $T < 0$ tnaqsia.

💡 À retenir : L'signe dyal $T$ houwa li kay7ded l'monotonie.

Khtari jouj dyal l'qiyam $x_1$ et $x_2$ men l'intervalle.
Hssbi $T = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$.
Ila kan $T > 0$ l'fonction tzaidiya, ila kan $T < 0$ tnaqsia.

💡 À retenir : L'signe dyal $T$ houwa li kay7ded l'monotonie.

Qu'est-ce qu'une fonction majorée ?

Une fonction est majorée s'il existe un nombre réel $M$ tel que pour tout $x$ de $D_f$ , $f(x) \leq M$ .

💡 À retenir : $M$ est un plafond que la courbe ne dépasse jamais.

Une fonction est majorée s'il existe un nombre réel $M$ tel que pour tout $x$ de $D_f$, $f(x) \leq M$.

💡 À retenir : $M$ est un plafond que la courbe ne dépasse jamais.

Est-ce que le domaine de définition d'une fonction racine carrée est toujours [0, +infty[ ?

Non, seulement pour $f(x) = \sqrt{x}$ . Si tu as $f(x) = \sqrt{u(x)}$ , il faut résoudre $u(x) \geq 0$ .

💡 À retenir : L'intérieur de la racine doit toujours être positif ou nul.

Non, seulement pour $f(x) = \sqrt{x}$. Si tu as $f(x) = \sqrt{u(x)}$, il faut résoudre $u(x) \geq 0$.

💡 À retenir : L'intérieur de la racine doit toujours être positif ou nul.

Comment représenter graphiquement une fonction paire ?

Il suffit de tracer la moitié de la courbe pour $x \geq 0$ , puis de faire une symétrie axiale par rapport à l'axe des ordonnées $(Oy)$ .

💡 À retenir : La symétrie facilite le tracé.

Il suffit de tracer la moitié de la courbe pour $x \geq 0$, puis de faire une symétrie axiale par rapport à l'axe des ordonnées $(Oy)$.

💡 À retenir : La symétrie facilite le tracé.

Est-ce que toute fonction monotone est bornée ?

Non. Par exemple, $f(x) = x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , mais elle n'est pas bornée (elle tend vers $+\infty$ et $-\infty$ ).

💡 À retenir : Monotonie ne veut pas dire bornée.

Non. Par exemple, $f(x) = x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, mais elle n'est pas bornée (elle tend vers $+\infty$ et $-\infty$).

💡 À retenir : Monotonie ne veut pas dire bornée.

Comment trouver l'intersection avec l'axe des abscisses ?

Il faut résoudre l'équation $f(x) = 0$ . Les solutions sont les abscisses des points d'intersection.

💡 À retenir : L'axe des abscisses a pour équation $y=0$ .

Il faut résoudre l'équation $f(x) = 0$. Les solutions sont les abscisses des points d'intersection.

💡 À retenir : L'axe des abscisses a pour équation $y=0$.

Peut-on avoir une fonction qui n'est ni paire ni impaire ?

Oui, c'est le cas de la majorité des fonctions. Par exemple $f(x) = x^2 + x$ .

💡 À retenir : La parité est une propriété particulière, pas une obligation.

Oui, c'est le cas de la majorité des fonctions. Par exemple $f(x) = x^2 + x$.

💡 À retenir : La parité est une propriété particulière, pas une obligation.

Est-ce que le taux de variation dépend du choix de x1 et x2 ?

Non, le résultat final après simplification ne dépend que de la nature de la fonction.

💡 À retenir : Le choix de $x_1$ et $x_2$ est arbitraire.

Non, le résultat final après simplification ne dépend que de la nature de la fonction.

💡 À retenir : Le choix de $x_1$ et $x_2$ est arbitraire.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{2x}{x^2+1}$ .

Déterminer $D_f$ .
Étudier la parité de $f$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{2x}{x^2+1}$.

Déterminer $D_f$.
Étudier la parité de $f$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$ . Étudier le sens de variation de $f$ sur $[2, +\infty[$ .

Exercice 2

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Étudier le sens de variation de $f$ sur $[2, +\infty[$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f(x) = \frac{1}{x}$ . Montrer que $f$ est décroissante sur $]0, +\infty[$ .

Exercice 3

Soit $f(x) = \frac{1}{x}$. Montrer que $f$ est décroissante sur $]0, +\infty[$.

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