Mathématiques · Tronc Commun — Lettres

الترتيب في مجموعة الأعداد الحقيقية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Pour comparer deux nombres réels $a$ et $b$ , on étudie le signe de leur différence $a - b$ :

Si $a - b \geq 0$ , alors $a \geq b$ .
Si $a - b \leq 0$ , alors $a \leq b$ .

Propriétés de l'ordre :

Si $a \leq b$ , alors $a + c \leq b + c$ .
Si $a \leq b$ et $c > 0$ , alors $ac \leq bc$ .
Si $a \leq b$ et $c < 0$ , alors $ac \geq bc$ (attention au changement de signe !).

Méthodes à maîtriser

Comparer deux nombres : Calculer $a - b$ et déterminer son signe.
Encadrer un nombre : Utiliser les propriétés de l'addition et de la multiplication pour encadrer $x$ si on connaît un encadrement de $a$ et $b$ .
Opérations sur les intervalles : Utiliser la droite graduée pour visualiser l'intersection et l'union.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Comparer $x = \sqrt{5}$ et $y = 2$ . On calcule $x^2 - y^2 = 5 - 4 = 1$ . Comme $1 > 0$ , alors $x^2 > y^2$ , donc $\sqrt{5} > 2$ .

Exemple 2 : Soit $2 \leq x \leq 5$ . Encadrer $3x + 1$ . $2 \leq x \leq 5 \implies 6 \leq 3x \leq 15 \implies 6+1 \leq 3x+1 \leq 15+1 \implies 7 \leq 3x+1 \leq 16$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de changer le sens de l'inégalité lors de la multiplication par un nombre négatif.
Confondre l'union ( $\cup$ ) et l'intersection ( $\cap$ ).
Penser que $a \leq b \implies a^2 \leq b^2$ est toujours vrai (faux si les nombres sont négatifs, ex: $-5 \leq -2$ mais $(-5)^2 \geq (-2)^2$ ).

L'essentiel du cours

Pour comparer deux nombres réels $a$ et $b$, on étudie le signe de leur différence $a - b$ :

Si $a - b \geq 0$, alors $a \geq b$.
Si $a - b \leq 0$, alors $a \leq b$.

Propriétés de l'ordre :

Si $a \leq b$, alors $a + c \leq b + c$.
Si $a \leq b$ et $c > 0$, alors $ac \leq bc$.
Si $a \leq b$ et $c < 0$, alors $ac \geq bc$ (attention au changement de signe !).

Méthodes à maîtriser

Comparer deux nombres : Calculer $a - b$ et déterminer son signe.
Encadrer un nombre : Utiliser les propriétés de l'addition et de la multiplication pour encadrer $x$ si on connaît un encadrement de $a$ et $b$.
Opérations sur les intervalles : Utiliser la droite graduée pour visualiser l'intersection et l'union.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Comparer $x = \sqrt{5}$ et $y = 2$. On calcule $x^2 - y^2 = 5 - 4 = 1$. Comme $1 > 0$, alors $x^2 > y^2$, donc $\sqrt{5} > 2$.

Exemple 2 : Soit $2 \leq x \leq 5$. Encadrer $3x + 1$. $2 \leq x \leq 5 \implies 6 \leq 3x \leq 15 \implies 6+1 \leq 3x+1 \leq 15+1 \implies 7 \leq 3x+1 \leq 16$.

Erreurs fréquentes

Oublier de changer le sens de l'inégalité lors de la multiplication par un nombre négatif.
Confondre l'union ($\cup$) et l'intersection ($\cap$).
Penser que $a \leq b \implies a^2 \leq b^2$ est toujours vrai (faux si les nombres sont négatifs, ex: $-5 \leq -2$ mais $(-5)^2 \geq (-2)^2$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 الترتيب في مجموعة الأعداد الحقيقية

1/4

L'intervalle $[2, 5] \cap [4, 6]$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach a kbar men b wla sghir menno?

Diri l'3amaliya dial na9s: $a - b$ .
Ila l9iti natija moujaba ( $a - b \geq 0$ ), ra $a \geq b$ .
Ila l9iti natija saliba ( $a - b \leq 0$ ), ra $a \leq b$ .

💡 À retenir : Dima l'far9 houwa l'miftah dial l'mo9arana.

Diri l'3amaliya dial na9s: $a - b$.
Ila l9iti natija moujaba ($a - b \geq 0$), ra $a \geq b$.
Ila l9iti natija saliba ($a - b \leq 0$), ra $a \leq b$.

💡 À retenir : Dima l'far9 houwa l'miftah dial l'mo9arana.

Wach ila drabt f 3adad salib kytghayar ramz?

Ah, darouri. Ila kan 3ndek $a \leq b$ w drabti f $c$ li houwa salib ( $c < 0$ ), ramz kyt9leb: $a \times c \geq b \times c$ .

💡 À retenir : Multiplication f salib = t9lab ramz.

Ah, darouri. Ila kan 3ndek $a \leq b$ w drabti f $c$ li houwa salib ($c < 0$), ramz kyt9leb: $a \times c \geq b \times c$.

💡 À retenir : Multiplication f salib = t9lab ramz.

Chno الفرق بين المجال المفتوح والمجال المغلق؟

المجال المغلق $[a, b]$ كيعني أن $a$ و $b$ داخلين فالمجال (كاين تساوي).
المجال المفتوح $]a, b[$ كيعني أن $a$ و $b$ ما داخلينش (قطعا).

💡 À retenir : المعقوفات كيشوفو لداخل يعني العدد داخل، كيشوفو لبرا يعني العدد خارج.

المجال المغلق $[a, b]$ كيعني أن $a$ و $b$ داخلين فالمجال (كاين تساوي).
المجال المفتوح $]a, b[$ كيعني أن $a$ و $b$ ما داخلينش (قطعا).

💡 À retenir : المعقوفات كيشوفو لداخل يعني العدد داخل، كيشوفو لبرا يعني العدد خارج.

Comment comparer deux fractions ?

Réduis-les au même dénominateur.
Compare les numérateurs.
Si les dénominateurs sont positifs, la fraction avec le plus grand numérateur est la plus grande.

💡 À retenir : Le dénominateur doit être positif pour comparer facilement.

Qu'est-ce qu'un encadrement ?

C'est trouver deux nombres $m$ et $M$ tels que $m \leq x \leq M$ . Cela permet de connaître la valeur approximative de $x$ .

💡 À retenir : Encadrer, c'est "emprisonner" le nombre entre deux bornes.

C'est trouver deux nombres $m$ et $M$ tels que $m \leq x \leq M$. Cela permet de connaître la valeur approximative de $x$.

💡 À retenir : Encadrer, c'est "emprisonner" le nombre entre deux bornes.

Comment comparer a^2 et b^2 si a et b sont positifs ?

Si $0 \leq a \leq b$ , alors $a^2 \leq b^2$ . La fonction carré est croissante sur les positifs.

💡 À retenir : Cette règle ne marche que si les nombres sont positifs.

Si $0 \leq a \leq b$, alors $a^2 \leq b^2$. La fonction carré est croissante sur les positifs.

💡 À retenir : Cette règle ne marche que si les nombres sont positifs.

Comment faire l'intersection de deux intervalles ?

Trace une droite graduée.
Colorie le premier intervalle.
Colorie le deuxième.
L'intersection est la zone où les deux couleurs se superposent.

💡 À retenir : L'intersection est la partie commune.

Est-ce que a leq b implique 1/a leq 1/b ?

Non, pas toujours ! Si $a$ et $b$ sont de même signe, l'ordre est inversé. Par exemple $2 \leq 3$ mais $1/2 \geq 1/3$ .

💡 À retenir : La fonction inverse change le sens de l'ordre.

Non, pas toujours ! Si $a$ et $b$ sont de même signe, l'ordre est inversé. Par exemple $2 \leq 3$ mais $1/2 \geq 1/3$.

💡 À retenir : La fonction inverse change le sens de l'ordre.

Chno hiya l'valeur absolue?

Hiya l'masafa bin l'3adad w sifr. Dima katkon moujaba. $|-5| = 5$ w $|5| = 5$ .

💡 À retenir : L'valeur absolue kat7ayed l'ichara dial l'na9s.

Hiya l'masafa bin l'3adad w sifr. Dima katkon moujaba. $|-5| = 5$ w $|5| = 5$.

💡 À retenir : L'valeur absolue kat7ayed l'ichara dial l'na9s.

Comment encadrer x+y si on a a leq x leq b et c leq y leq d ?

Il suffit d'additionner les inégalités : $a+c \leq x+y \leq b+d$ .

💡 À retenir : L'addition des encadrements est directe.

Il suffit d'additionner les inégalités : $a+c \leq x+y \leq b+d$.

💡 À retenir : L'addition des encadrements est directe.

Qu'est-ce qu'une inégalité stricte ?

C'est une inégalité avec les symboles $<$ ou $>$ . Cela signifie que les deux nombres ne peuvent pas être égaux.

💡 À retenir : "Strictement" veut dire "pas égal".

C'est une inégalité avec les symboles $<$ ou $>$. Cela signifie que les deux nombres ne peuvent pas être égaux.

💡 À retenir : "Strictement" veut dire "pas égal".

Comment comparer sqrt{a} et sqrt{b} ?

Si $0 \leq a \leq b$ , alors $\sqrt{a} \leq \sqrt{b}$ . La racine carrée conserve l'ordre.

💡 À retenir : La racine carrée est une fonction croissante.

Si $0 \leq a \leq b$, alors $\sqrt{a} \leq \sqrt{b}$. La racine carrée conserve l'ordre.

💡 À retenir : La racine carrée est une fonction croissante.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Comparer les nombres suivants : $A = \sqrt{7} + 1$ et $B = \sqrt{6} + 2$ .

Exercice 1

Comparer les nombres suivants : $A = \sqrt{7} + 1$ et $B = \sqrt{6} + 2$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $x$ un nombre réel tel que $3 \leq x \leq 4$ . Encadrer l'expression $E = -2x + 5$ .

Exercice 2

Soit $x$ un nombre réel tel que $3 \leq x \leq 4$. Encadrer l'expression $E = -2x + 5$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Déterminer $I \cap J$ et $I \cup J$ avec $I = [-2, 3]$ et $J = [1, 5]$ .

Exercice 3

Déterminer $I \cap J$ et $I \cup J$ avec $I = [-2, 3]$ et $J = [1, 5]$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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