Mathématiques · Tronc Commun — Lettres

المستقيم في المستوى الجذع المشترك آداب وعلوم انسانية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Toute droite $(D)$ dans le plan muni d'un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ admet une équation de la forme :

$ax + by + c = 0$ (équation cartésienne), avec $(a, b) \neq (0, 0)$ .
$y = mx + p$ (équation réduite), si la droite n'est pas verticale.
$m$ est le coefficient directeur : $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ pour deux points $A$ et $B$ distincts.
$p$ est l'ordonnée à l'origine.

Méthodes à maîtriser

Déterminer l'équation d'une droite passant par deux points $A$ et $B$ .
Vérifier si un point appartient à une droite en remplaçant ses coordonnées dans l'équation.
Étudier le parallélisme : deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur ( $m = m'$ ).
Étudier la perpendicularité : deux droites sont perpendiculaires si le produit de leurs coefficients directeurs est $-1$ ( $m \times m' = -1$ ).

Exemples corrigés

Exemple 1 : Déterminer l'équation de la droite $(AB)$ avec $A(1, 2)$ et $B(3, 6)$ . $m = \frac{6-2}{3-1} = \frac{4}{2} = 2$ . L'équation est $y = 2x + p$ . Comme $A(1, 2) \in (AB)$ , alors $2 = 2(1) + p \implies p = 0$ . L'équation est $y = 2x$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la condition $(a, b) \neq (0, 0)$ pour l'équation cartésienne.
Confondre le coefficient directeur avec l'ordonnée à l'origine.
Penser que deux droites sont perpendiculaires si $m = m'$ (c'est pour le parallélisme).

L'essentiel du cours

Toute droite $(D)$ dans le plan muni d'un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ admet une équation de la forme :

$ax + by + c = 0$ (équation cartésienne), avec $(a, b) \neq (0, 0)$.
$y = mx + p$ (équation réduite), si la droite n'est pas verticale.
$m$ est le coefficient directeur : $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ pour deux points $A$ et $B$ distincts.
$p$ est l'ordonnée à l'origine.

Méthodes à maîtriser

Déterminer l'équation d'une droite passant par deux points $A$ et $B$.
Vérifier si un point appartient à une droite en remplaçant ses coordonnées dans l'équation.
Étudier le parallélisme : deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur ($m = m'$).
Étudier la perpendicularité : deux droites sont perpendiculaires si le produit de leurs coefficients directeurs est $-1$ ($m \times m' = -1$).

Exemples corrigés

Exemple 1 : Déterminer l'équation de la droite $(AB)$ avec $A(1, 2)$ et $B(3, 6)$. $m = \frac{6-2}{3-1} = \frac{4}{2} = 2$. L'équation est $y = 2x + p$. Comme $A(1, 2) \in (AB)$, alors $2 = 2(1) + p \implies p = 0$. L'équation est $y = 2x$.

Erreurs fréquentes

Oublier la condition $(a, b) \neq (0, 0)$ pour l'équation cartésienne.
Confondre le coefficient directeur avec l'ordonnée à l'origine.
Penser que deux droites sont perpendiculaires si $m = m'$ (c'est pour le parallélisme).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 المستقيم في المستوى الجذع المشترك آداب وعلوم انسانية

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Quelle est l'équation d'une droite horizontale ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que toutes les droites ont une équation réduite y = mx + p ?

Non. Les droites verticales (parallèles à l'axe des ordonnées) n'ont pas de coefficient directeur. Leur équation est de la forme $x = k$ .

💡 À retenir : Seules les droites non verticales s'écrivent sous la forme $y = mx + p$ .

Non. Les droites verticales (parallèles à l'axe des ordonnées) n'ont pas de coefficient directeur. Leur équation est de la forme $x = k$.

💡 À retenir : Seules les droites non verticales s'écrivent sous la forme $y = mx + p$.

Kifach n3ref wach l'bointa A kayna f'l'moustaqim D ?

Khoud l'ihdathiyat dyal $A(x_A, y_A)$ .
3awd $x_A$ f'l'équation dyal l'moustaqim.
Ila lqiti l'natija hiya $y_A$ , rah $A$ kayna f'l'moustaqim.

💡 À retenir : Il faut que l'égalité soit vérifiée : $y_A = m x_A + p$ .

Khoud l'ihdathiyat dyal $A(x_A, y_A)$.
3awd $x_A$ f'l'équation dyal l'moustaqim.
Ila lqiti l'natija hiya $y_A$, rah $A$ kayna f'l'moustaqim.

💡 À retenir : Il faut que l'égalité soit vérifiée : $y_A = m x_A + p$.

Comment calculer le coefficient directeur avec deux points ?

Utilise la formule : $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ .

Soustrais les ordonnées au numérateur.
Soustrais les abscisses au dénominateur.
Fais la division.

💡 À retenir : Attention à l'ordre des points, il doit être le même en haut et en bas.

Utilise la formule : $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.

Soustrais les ordonnées au numérateur.
Soustrais les abscisses au dénominateur.
Fais la division.

💡 À retenir : Attention à l'ordre des points, il doit être le même en haut et en bas.

Chno hiya l'farq bin l'mo3adala l'cartésiya w'l'mo3adala l'moukhassara ?

L'équation cartésienne est $ax + by + c = 0$ (toutes les droites).
L'équation réduite est $y = mx + p$ (sauf droites verticales).

💡 À retenir : L'équation réduite est plus pratique pour tracer la droite.

L'équation cartésienne est $ax + by + c = 0$ (toutes les droites).
L'équation réduite est $y = mx + p$ (sauf droites verticales).

💡 À retenir : L'équation réduite est plus pratique pour tracer la droite.

Kifach n3ref wach jouj moustaqimat mta3amdin ?

Hseb l'mo3amil l'mouwajjah dyal l'moustaqim lawal ( $m$ ).
Hseb l'mo3amil l'mouwajjah dyal l'moustaqim tani ( $m'$ ).
Ila lqiti $m \times m' = -1$ , rah mta3amdin.

💡 À retenir : Le produit des pentes doit être égal à $-1$ .

Hseb l'mo3amil l'mouwajjah dyal l'moustaqim lawal ($m$).
Hseb l'mo3amil l'mouwajjah dyal l'moustaqim tani ($m'$).
Ila lqiti $m \times m' = -1$, rah mta3amdin.

💡 À retenir : Le produit des pentes doit être égal à $-1$.

Si une droite passe par l'origine, combien vaut p ?

Si la droite passe par l'origine $(0,0)$ , alors $0 = m(0) + p$ , donc $p = 0$ . L'équation est $y = mx$ .

💡 À retenir : Une droite passant par l'origine est une fonction linéaire.

Si la droite passe par l'origine $(0,0)$, alors $0 = m(0) + p$, donc $p = 0$. L'équation est $y = mx$.

💡 À retenir : Une droite passant par l'origine est une fonction linéaire.

Comment tracer une droite à partir de son équation ?

Choisis deux valeurs pour $x$ (ex: $0$ et $1$ ).
Calcule les $y$ correspondants pour trouver deux points.
Place les points dans le repère et trace la droite avec une règle.

💡 À retenir : Deux points suffisent pour définir une droite.

Choisis deux valeurs pour $x$ (ex: $0$ et $1$).
Calcule les $y$ correspondants pour trouver deux points.
Place les points dans le repère et trace la droite avec une règle.

💡 À retenir : Deux points suffisent pour définir une droite.

Est-ce que x = 3 est une droite ?

Oui, c'est une droite verticale qui passe par tous les points ayant pour abscisse 3.

💡 À retenir : C'est une droite parallèle à l'axe des ordonnées.

Est-ce que le coefficient directeur peut être négatif ?

Oui, cela signifie que la droite est "descendante" (elle descend quand on va vers la droite).

💡 À retenir : Si $m < 0$ , la droite descend ; si $m > 0$ , elle monte.

Oui, cela signifie que la droite est "descendante" (elle descend quand on va vers la droite).

💡 À retenir : Si $m < 0$, la droite descend ; si $m > 0$, elle monte.

Comment trouver l'intersection de deux droites ?

Écris les deux équations.
Résous le système formé par ces deux équations.
La solution $(x, y)$ est le point d'intersection.

💡 À retenir : Le point d'intersection vérifie les deux équations simultanément.

Écris les deux équations.
Résous le système formé par ces deux équations.
La solution $(x, y)$ est le point d'intersection.

💡 À retenir : Le point d'intersection vérifie les deux équations simultanément.

Wach momkin n'lqaw l'mo3adala dyal moustaqim ila 3tani ghir bointa w'l'mayl ?

Oui, tu utilises $y = mx + p$ . Tu remplaces $m$ par la valeur donnée, et $x$ et $y$ par les coordonnées du point pour trouver $p$ .

💡 À retenir : $p = y - mx$ .

Oui, tu utilises $y = mx + p$. Tu remplaces $m$ par la valeur donnée, et $x$ et $y$ par les coordonnées du point pour trouver $p$.

💡 À retenir : $p = y - mx$.

Pourquoi on dit "ordonnée à l'origine" ?

Parce que c'est la valeur de $y$ quand $x = 0$ (c'est-à-dire au point d'intersection avec l'axe des ordonnées).

💡 À retenir : C'est la valeur de $y$ quand la droite coupe l'axe vertical.

Parce que c'est la valeur de $y$ quand $x = 0$ (c'est-à-dire au point d'intersection avec l'axe des ordonnées).

💡 À retenir : C'est la valeur de $y$ quand la droite coupe l'axe vertical.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soient $A(1, 3)$ et $B(2, 5)$ . Déterminer l'équation réduite de la droite $(AB)$ .

Exercice 1

Soient $A(1, 3)$ et $B(2, 5)$. Déterminer l'équation réduite de la droite $(AB)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $(D) : y = 3x - 2$ . Déterminer l'équation de la droite $(\Delta)$ passant par $C(1, 1)$ et parallèle à $(D)$ .

Exercice 2

Soit $(D) : y = 3x - 2$. Déterminer l'équation de la droite $(\Delta)$ passant par $C(1, 1)$ et parallèle à $(D)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $(D) : y = 2x + 1$ et $(\Delta) : y = -\frac{1}{2}x + 3$ . Montrer que $(D) \perp (\Delta)$ .

Exercice 3

Soit $(D) : y = 2x + 1$ et $(\Delta) : y = -\frac{1}{2}x + 3$. Montrer que $(D) \perp (\Delta)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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