Mathématiques · Tronc Commun — Lettres

الدوال العددية 1 : عموميات

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. Notion de fonction et ensemble de définition

Une fonction numérique $f$ associe à chaque réel $x$ d'une partie $D$ de $\mathbb{R}$ un unique réel noté $f(x)$ .

L'ensemble de définition $D_f$ est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels $f(x)$ existe.
Si $f(x)$ est un polynôme : $D_f = \mathbb{R}$ .
Si $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ : $D_f = \{x \in \mathbb{R} / Q(x) \neq 0\}$ .

2. Parité d'une fonction

Fonction Paire : Si pour tout $x \in D_f$ , on a $-x \in D_f$ et $f(-x) = f(x)$ . La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Fonction Impaire : Si pour tout $x \in D_f$ , on a $-x \in D_f$ et $f(-x) = -f(x)$ . La courbe est symétrique par rapport à l'origine $O$ .

3. Variations d'une fonction

Soient $x_1$ et $x_2$ deux éléments d'un intervalle $I$ tel que $x_1 < x_2$ :

$f$ est croissante si $f(x_1) \leq f(x_2)$ (l'ordre est conservé).
$f$ est décroissante si $f(x_1) \geq f(x_2)$ (l'ordre est inversé).

Méthodes à maîtriser

Calculer une image : Remplacer $x$ par sa valeur dans l'expression de $f(x)$ .
Chercher un antécédent : Résoudre l'équation $f(x) = a$ .
Déterminer $D_f$ : Identifier les valeurs interdites (dénominateur nul).
Étudier la parité : Calculer $f(-x)$ et comparer avec $f(x)$ ou $-f(x)$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f(x) = 2x + 3$ . L'image de $1$ est $f(1) = 2(1) + 3 = 5$ .
Exemple 2 : Soit $g(x) = \frac{1}{x-2}$ . $D_g = \{x \in \mathbb{R} / x-2 \neq 0\} = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ .
Exemple 3 : Soit $h(x) = x^2$ . $h(-x) = (-x)^2 = x^2 = h(x)$ , donc $h$ est paire.

Erreurs fréquentes

Confondre l'image et l'antécédent (l'image est le résultat, l'antécédent est la valeur de départ).
Oublier de vérifier que $-x \in D_f$ avant de calculer $f(-x)$ pour la parité.
Dire qu'une fonction est décroissante juste parce qu'il y a un signe "moins" sans faire le calcul.

L'essentiel du cours

1. Notion de fonction et ensemble de définition

Une fonction numérique $f$ associe à chaque réel $x$ d'une partie $D$ de $\mathbb{R}$ un unique réel noté $f(x)$.

L'ensemble de définition $D_f$ est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels $f(x)$ existe.
Si $f(x)$ est un polynôme : $D_f = \mathbb{R}$.
Si $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ : $D_f = {x \in \mathbb{R} / Q(x) \neq 0}$.

2. Parité d'une fonction

Fonction Paire : Si pour tout $x \in D_f$, on a $-x \in D_f$ et $f(-x) = f(x)$. La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Fonction Impaire : Si pour tout $x \in D_f$, on a $-x \in D_f$ et $f(-x) = -f(x)$. La courbe est symétrique par rapport à l'origine $O$.

3. Variations d'une fonction

Soient $x_1$ et $x_2$ deux éléments d'un intervalle $I$ tel que $x_1 < x_2$ :

$f$ est croissante si $f(x_1) \leq f(x_2)$ (l'ordre est conservé).
$f$ est décroissante si $f(x_1) \geq f(x_2)$ (l'ordre est inversé).

Méthodes à maîtriser

Calculer une image : Remplacer $x$ par sa valeur dans l'expression de $f(x)$.
Chercher un antécédent : Résoudre l'équation $f(x) = a$.
Déterminer $D_f$ : Identifier les valeurs interdites (dénominateur nul).
Étudier la parité : Calculer $f(-x)$ et comparer avec $f(x)$ ou $-f(x)$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f(x) = 2x + 3$. L'image de $1$ est $f(1) = 2(1) + 3 = 5$.
Exemple 2 : Soit $g(x) = \frac{1}{x-2}$. $D_g = {x \in \mathbb{R} / x-2 \neq 0} = \mathbb{R} \setminus {2}$.
Exemple 3 : Soit $h(x) = x^2$. $h(-x) = (-x)^2 = x^2 = h(x)$, donc $h$ est paire.

Erreurs fréquentes

Confondre l'image et l'antécédent (l'image est le résultat, l'antécédent est la valeur de départ).
Oublier de vérifier que $-x \in D_f$ avant de calculer $f(-x)$ pour la parité.
Dire qu'une fonction est décroissante juste parce qu'il y a un signe "moins" sans faire le calcul.

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🎯 الدوال العددية 1 : عموميات

1/4

Quel est l'ensemble de définition de la fonction $f(x) = \frac{x+1}{x-3}$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment calculer l'image d'un nombre par une fonction ?

Pour calculer l'image d'un nombre $a$ , il suffit de remplacer la lettre $x$ par le nombre $a$ dans l'expression de $f(x)$ et d'effectuer le calcul.

Prenez l'expression de $f(x)$ .
Remplacez chaque $x$ par la valeur donnée.
Respectez les priorités opératoires (puissances, puis multiplications, puis additions).

💡 À retenir : L'image de $x$ est notée $f(x)$ .

Pour calculer l'image d'un nombre $a$, il suffit de remplacer la lettre $x$ par le nombre $a$ dans l'expression de $f(x)$ et d'effectuer le calcul.

Prenez l'expression de $f(x)$.
Remplacez chaque $x$ par la valeur donnée.
Respectez les priorités opératoires (puissances, puis multiplications, puis additions).

💡 À retenir : L'image de $x$ est notée $f(x)$.

Kifach n7seb l'ensemble de définition Df l-chi fonction fiha l-kassr (fraction) ?

F-l-mostawa dial Tronc Commun Lettres, l-mochkila l-wa7ida li 3ndkom f-l-kassr hiya l-maqam (dénominateur) khasso maykonch fih zero.

Ktab $D_f = \{x \in \mathbb{R} / \text{maqam} \neq 0\}$ .
7el l-mo3adala : maqam = 0.
Dik l-qima li lqiti, khrejha mn $\mathbb{R}$ .

💡 À retenir : $D_f$ houwa ga3 l-a3dad mn ghir li kayrej3o l-maqam fih zero.

F-l-mostawa dial Tronc Commun Lettres, l-mochkila l-wa7ida li 3ndkom f-l-kassr hiya l-maqam (dénominateur) khasso maykonch fih zero.

Ktab $D_f = {x \in \mathbb{R} / \text{maqam} \neq 0}$.
7el l-mo3adala : maqam = 0.
Dik l-qima li lqiti, khrejha mn $\mathbb{R}$.

💡 À retenir : $D_f$ houwa ga3 l-a3dad mn ghir li kayrej3o l-maqam fih zero.

C'est quoi un antécédent et comment le trouver ?

L'antécédent est la valeur de $x$ qui donne un résultat $y$ précis.

Pour trouver l'antécédent de $k$ , on résout l'équation $f(x) = k$ .
On isole $x$ pour trouver sa valeur.
Une fonction peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

💡 À retenir : Trouver l'antécédent revient à résoudre une équation.

L'antécédent est la valeur de $x$ qui donne un résultat $y$ précis.

Pour trouver l'antécédent de $k$, on résout l'équation $f(x) = k$.
On isole $x$ pour trouver sa valeur.
Une fonction peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

💡 À retenir : Trouver l'antécédent revient à résoudre une équation.

Chno hiya fonction paire o chno l-farq binha o bin impaire ?

Ddala l-zawjiya (paire) o l-fardiya (impaire) homa sifat dial ttmator :

Paire : $f(-x) = f(x)$ . L-mon7ana mtmater m3a l-mi7war l-waqef (ordonnées).
Impaire : $f(-x) = -f(x)$ . L-mon7ana mtmater m3a l-point O (origine).
Ila malqiti la hadi la hadi, ddala "ni paire ni impaire".

💡 À retenir : Paire = symétrie axiale ; Impaire = symétrie centrale.

Ddala l-zawjiya (paire) o l-fardiya (impaire) homa sifat dial ttmator :

Paire : $f(-x) = f(x)$. L-mon7ana mtmater m3a l-mi7war l-waqef (ordonnées).
Impaire : $f(-x) = -f(x)$. L-mon7ana mtmater m3a l-point O (origine).
Ila malqiti la hadi la hadi, ddala "ni paire ni impaire".

💡 À retenir : Paire = symétrie axiale ; Impaire = symétrie centrale.

Comment savoir si une fonction est croissante ou décroissante sur un intervalle ?

On compare l'ordre des images par rapport à l'ordre des nombres de départ.

Soient $x_1$ et $x_2$ deux nombres tels que $x_1 < x_2$ .
Si $f(x_1) < f(x_2)$ , l'ordre ne change pas : la fonction est croissante.
Si $f(x_1) > f(x_2)$ , l'ordre s'inverse : la fonction est décroissante.

💡 À retenir : Croissante = elle monte ; Décroissante = elle descend.

On compare l'ordre des images par rapport à l'ordre des nombres de départ.

Soient $x_1$ et $x_2$ deux nombres tels que $x_1 < x_2$.
Si $f(x_1) < f(x_2)$, l'ordre ne change pas : la fonction est croissante.
Si $f(x_1) > f(x_2)$, l'ordre s'inverse : la fonction est décroissante.

💡 À retenir : Croissante = elle monte ; Décroissante = elle descend.

Kifach n3ref l-valeur maximale (valeur maximale) mn l-jdwel dial tghayorat ?

Sahla bzaf, tchouf ghir f-l-jdwel (tableau de variations) :

Chouf l-as-hom (flèches).
Fin kaysali s-hem li tal3 o kybda s-hem li hbet, dik l-qima l-foqaniya hiya l-maximum.
Kat-koun hiya akbar sora f-dak l-majal.

💡 À retenir : Le maximum est le "sommet" de la montagne dans le tableau.

Est-ce qu'une fonction peut être ni paire ni impaire ?

Oui, c'est d'ailleurs le cas de la plupart des fonctions.

Si $f(-x)$ n'est pas égal à $f(x)$ , elle n'est pas paire.
Si $f(-x)$ n'est pas égal à $-f(x)$ , elle n'est pas impaire.
Exemple : $f(x) = x^2 + x$ .

💡 À retenir : La parité est une propriété particulière, pas une règle générale.

Oui, c'est d'ailleurs le cas de la plupart des fonctions.

Si $f(-x)$ n'est pas égal à $f(x)$, elle n'est pas paire.
Si $f(-x)$ n'est pas égal à $-f(x)$, elle n'est pas impaire.
Exemple : $f(x) = x^2 + x$.

💡 À retenir : La parité est une propriété particulière, pas une règle générale.

Que signifie graphiquement f(x) = g(x) ?

Graphiquement, l'égalité $f(x) = g(x)$ correspond aux points où les deux courbes se croisent.

Les solutions sont les abscisses ( $x$ ) des points d'intersection.
Si les courbes ne se touchent jamais, l'équation n'a pas de solution.

💡 À retenir : Intersection des courbes = égalité des fonctions.

Graphiquement, l'égalité $f(x) = g(x)$ correspond aux points où les deux courbes se croisent.

Les solutions sont les abscisses ($x$) des points d'intersection.
Si les courbes ne se touchent jamais, l'équation n'a pas de solution.

💡 À retenir : Intersection des courbes = égalité des fonctions.

Comment dresser un tableau de variations ?

C'est un résumé du comportement de la fonction.

Première ligne : les valeurs de $x$ (bornes de $D_f$ et points de changement).
Deuxième ligne : des flèches qui montent ( $\nearrow$ ) ou qui descendent ( $\searrow$ ).
On inscrit les images des valeurs importantes aux extrémités des flèches.

💡 À retenir : Le tableau montre si la fonction "monte" ou "descend".

C'est un résumé du comportement de la fonction.

Première ligne : les valeurs de $x$ (bornes de $D_f$ et points de changement).
Deuxième ligne : des flèches qui montent ($\nearrow$) ou qui descendent ($\searrow$).
On inscrit les images des valeurs importantes aux extrémités des flèches.

💡 À retenir : Le tableau montre si la fonction "monte" ou "descend".

C'est quoi la différence entre f(x) et f ?

C'est une nuance de notation importante.

$f$ est le nom de la machine (la fonction elle-même).
$f(x)$ est le résultat (le nombre) qui sort de la machine quand on y entre $x$ .

💡 À retenir : $f$ est l'objet mathématique, $f(x)$ est une valeur réelle.

C'est une nuance de notation importante.

$f$ est le nom de la machine (la fonction elle-même).
$f(x)$ est le résultat (le nombre) qui sort de la machine quand on y entre $x$.

💡 À retenir : $f$ est l'objet mathématique, $f(x)$ est une valeur réelle.

Comment déterminer Df pour un polynôme comme f(x) = 3x^2 - 5x + 1 ?

Pour les polynômes, il n'y a aucune restriction (pas de division par zéro, pas de racine carrée).

On peut calculer l'image de n'importe quel nombre réel.
Donc, l'ensemble de définition est toujours $\mathbb{R}$ .

💡 À retenir : Pour tout polynôme, $D_f = \mathbb{R} = ]-\infty ; +\infty[$ .

Pour les polynômes, il n'y a aucune restriction (pas de division par zéro, pas de racine carrée).

On peut calculer l'image de n'importe quel nombre réel.
Donc, l'ensemble de définition est toujours $\mathbb{R}$.

💡 À retenir : Pour tout polynôme, $D_f = \mathbb{R} = ]-\infty ; +\infty[$.

Peut-on trouver l'image d'un nombre qui n'est pas dans Df ?

Non, c'est impossible par définition.

Si $a \notin D_f$ , alors $f(a)$ n'existe pas.
Par exemple, pour $f(x) = 1/x$ , on ne peut pas calculer l'image de $0$ .

💡 À retenir : On ne peut calculer des images que pour les éléments de $D_f$ .

Non, c'est impossible par définition.

Si $a \notin D_f$, alors $f(a)$ n'existe pas.
Par exemple, pour $f(x) = 1/x$, on ne peut pas calculer l'image de $0$.

💡 À retenir : On ne peut calculer des images que pour les éléments de $D_f$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit la fonction numérique $f$ définie par : $f(x) = x^2 - 4x + 3$ .

Déterminer $D_f$ .
Calculer les images de $0$ et de $2$ par $f$ .
Montrer que l'antécédent de $3$ par $f$ sont les nombres $0$ et $4$ .
Étudier la parité de la fonction $f$ .

Exercice 1

Soit la fonction numérique $f$ définie par : $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

Déterminer $D_f$.
Calculer les images de $0$ et de $2$ par $f$.
Montrer que l'antécédent de $3$ par $f$ sont les nombres $0$ et $4$.
Étudier la parité de la fonction $f$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit la fonction $g$ définie par : $g(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ .

Déterminer $D_g$ .
Étudier la parité de $g$ . Que peut-on en déduire pour sa courbe $C_g$ ?
Calculer $g(1)$ .
Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $g(x) \leq 1$ . (Indication : Étudier le signe de $g(x) - 1$ ).

Exercice 2

Soit la fonction $g$ définie par : $g(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$.

Déterminer $D_g$.
Étudier la parité de $g$. Que peut-on en déduire pour sa courbe $C_g$ ?
Calculer $g(1)$.
Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $g(x) \leq 1$. (Indication : Étudier le signe de $g(x) - 1$).

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

On considère une fonction $h$ dont le tableau de variations est le suivant sur l'intervalle $[-3 ; 5]$ :

$x$	-3	0	2	5
$h(x)$	4	$\searrow$ -2	$\nearrow$ 1	$\searrow$ -5

Quel est l'ensemble de définition de $h$ ?
Donner les images de $-3$ , $0$ et $5$ .
Déterminer les variations de $h$ (sur quels intervalles elle est croissante/décroissante).
Quel est le maximum de $h$ sur $[-3 ; 5]$ ? En quel point est-il atteint ?

Exercice 3

On considère une fonction $h$ dont le tableau de variations est le suivant sur l'intervalle $[-3 ; 5]$ :

$x$	-3	0	2	5
$h(x)$	4	$\searrow$ -2	$\nearrow$ 1	$\searrow$ -5

Quel est l'ensemble de définition de $h$ ?
Donner les images de $-3$, $0$ et $5$.
Déterminer les variations de $h$ (sur quels intervalles elle est croissante/décroissante).
Quel est le maximum de $h$ sur $[-3 ; 5]$ ? En quel point est-il atteint ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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