Mathématiques · Tronc Commun — Lettres

الدوال العددية 2 : تمثيلات مبيانية و قراءة

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La représentation graphique d'une fonction $f$ est l'ensemble des points de coordonnées $(x, f(x))$ dans un repère.

Lire une image : Pour trouver l'image d'un nombre $a$ , on cherche le point sur la courbe qui a pour abscisse $a$ , puis on lit sa valeur sur l'axe des ordonnées ( $y$ ).
Lire un antécédent : Pour trouver les antécédents d'un nombre $b$ , on cherche l'intersection de la courbe avec la droite horizontale d'équation $y=b$ , puis on lit les valeurs sur l'axe des abscisses ( $x$ ).
Domaine de définition ( $D_f$ ) : C'est l'intervalle sur l'axe des abscisses (l'axe horizontal) où la courbe est dessinée.
Variations :
- La fonction est croissante si la courbe "monte".
- La fonction est décroissante si la courbe "descend".
Signe de la fonction :
- $f(x) > 0$ (positive) quand la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses.
- $f(x) < 0$ (négative) quand la courbe est en-dessous de l'axe des abscisses.

Méthodes à maîtriser

Méthode pour l'image : Partir de $x$ sur l'axe horizontal $\rightarrow$ monter ou descendre verticalement jusqu'à la courbe $\rightarrow$ aller horizontalement vers l'axe vertical pour lire $y$ .
Méthode pour l'antécédent : Partir de $y$ sur l'axe vertical $\rightarrow$ aller horizontalement jusqu'à la courbe $\rightarrow$ descendre verticalement vers l'axe horizontal pour lire $x$ .
Méthode pour le domaine : Regarder de quelle valeur de $x$ à quelle valeur de $x$ la courbe existe.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit une courbe qui passe par le point $A(2, 5)$ .

Quelle est l'image de $2$ ?
Réponse : L'image de $2$ est $5$ car le point a pour abscisse $2$ et pour ordonnée $5$ .

Exemple 2 : Sur un graphique, la courbe monte entre $x = -1$ et $x = 3$ .

Quelle est la variation de la fonction sur $[-1, 3]$ ?
Réponse : La fonction est croissante sur l'intervalle $[-1, 3]$ .

Erreurs fréquentes

Confondre image et antécédent : L'image est sur l'axe vertical ( $y$ ), l'antécédent est sur l'axe horizontal ( $x$ ).
Mauvaise lecture du signe : Croire qu'une fonction est positive parce qu'elle monte. Attention : "positive" signifie "au-dessus de l'axe $x$ ", pas "monte".
Inverser les axes : Lire l'abscisse sur l'axe des ordonnées.

L'essentiel du cours

La représentation graphique d'une fonction $f$ est l'ensemble des points de coordonnées $(x, f(x))$ dans un repère.

Lire une image : Pour trouver l'image d'un nombre $a$, on cherche le point sur la courbe qui a pour abscisse $a$, puis on lit sa valeur sur l'axe des ordonnées ($y$).
Lire un antécédent : Pour trouver les antécédents d'un nombre $b$, on cherche l'intersection de la courbe avec la droite horizontale d'équation $y=b$, puis on lit les valeurs sur l'axe des abscisses ($x$).
Domaine de définition ($D_f$) : C'est l'intervalle sur l'axe des abscisses (l'axe horizontal) où la courbe est dessinée.
Variations :
- La fonction est croissante si la courbe "monte".
- La fonction est décroissante si la courbe "descend".
Signe de la fonction :
- $f(x) > 0$ (positive) quand la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses.
- $f(x) < 0$ (négative) quand la courbe est en-dessous de l'axe des abscisses.

Méthodes à maîtriser

Méthode pour l'image : Partir de $x$ sur l'axe horizontal $\rightarrow$ monter ou descendre verticalement jusqu'à la courbe $\rightarrow$ aller horizontalement vers l'axe vertical pour lire $y$.
Méthode pour l'antécédent : Partir de $y$ sur l'axe vertical $\rightarrow$ aller horizontalement jusqu'à la courbe $\rightarrow$ descendre verticalement vers l'axe horizontal pour lire $x$.
Méthode pour le domaine : Regarder de quelle valeur de $x$ à quelle valeur de $x$ la courbe existe.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit une courbe qui passe par le point $A(2, 5)$.

Quelle est l'image de $2$ ?
Réponse : L'image de $2$ est $5$ car le point a pour abscisse $2$ et pour ordonnée $5$.

Exemple 2 : Sur un graphique, la courbe monte entre $x = -1$ et $x = 3$.

Quelle est la variation de la fonction sur $[-1, 3]$ ?
Réponse : La fonction est croissante sur l'intervalle $[-1, 3]$.

Erreurs fréquentes

Confondre image et antécédent : L'image est sur l'axe vertical ($y$), l'antécédent est sur l'axe horizontal ($x$).
Mauvaise lecture du signe : Croire qu'une fonction est positive parce qu'elle monte. Attention : "positive" signifie "au-dessus de l'axe $x$", pas "monte".
Inverser les axes : Lire l'abscisse sur l'axe des ordonnées.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 الدوال العددية 2 : تمثيلات مبيانية و قراءة

1/4

Quelle est l'image de $x=5$ si le point $(5, -2)$ appartient à la courbe ?

❓ Questions fréquentes

Chno hiya l-image dyal 3?

Pour trouver l'image de $3$ :

Place le nombre $3$ sur l'axe horizontal (abscisses).
Déplace-toi verticalement (vers le haut ou le bas) jusqu'à toucher la courbe.
Depuis ce point sur la courbe, déplace-toi horizontalement vers l'axe vertical (ordonnées).
La valeur lue sur l'axe vertical est l'image.

💡 À retenir : L'image est toujours la valeur sur l'axe vertical ( $y$ ).

Pour trouver l'image de $3$ :

Place le nombre $3$ sur l'axe horizontal (abscisses).
Déplace-toi verticalement (vers le haut ou le bas) jusqu'à toucher la courbe.
Depuis ce point sur la courbe, déplace-toi horizontalement vers l'axe vertical (ordonnées).
La valeur lue sur l'axe vertical est l'image.

💡 À retenir : L'image est toujours la valeur sur l'axe vertical ($y$).

Kifach n3ref wach l-fonction positive awla negative?

On regarde la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses (l'axe horizontal) :

Si la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses, la fonction est positive ( $f(x) > 0$ ).
Si la courbe est en-dessous de l'axe des abscisses, la fonction est négative ( $f(x) < 0$ ).
Si la courbe touche l'axe, la fonction est nulle ( $f(x) = 0$ ).

💡 À retenir : Positif = au-dessus de l'axe $x$ ; Négatif = en-dessous de l'axe $x$ .

On regarde la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses (l'axe horizontal) :

Si la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses, la fonction est positive ($f(x) > 0$).
Si la courbe est en-dessous de l'axe des abscisses, la fonction est négative ($f(x) < 0$).
Si la courbe touche l'axe, la fonction est nulle ($f(x) = 0$).

💡 À retenir : Positif = au-dessus de l'axe $x$ ; Négatif = en-dessous de l'axe $x$.

Chno l-far9 bin l-image w l-antécédent?

C'est une confusion très courante :

L'image : C'est le résultat $y$ . On cherche $y$ quand on connaît $x$ .
L'antécédent : C'est la valeur de départ $x$ . On cherche $x$ quand on connaît $y$ . Un nombre peut avoir plusieurs antécédents, mais une fonction n'a qu'une seule image pour chaque $x$ .

💡 À retenir : $x$ est l'antécédent, $y$ est l'image.

C'est une confusion très courante :

L'image : C'est le résultat $y$. On cherche $y$ quand on connaît $x$.
L'antécédent : C'est la valeur de départ $x$. On cherche $x$ quand on connaît $y$. Un nombre peut avoir plusieurs antécédents, mais une fonction n'a qu'une seule image pour chaque $x$.

💡 À retenir : $x$ est l'antécédent, $y$ est l'image.

Comment lire le domaine de définition sur un graphique ?

Le domaine de définition $D_f$ est l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe existe.

Regarde l'axe horizontal (abscisses).
Repère le point le plus à gauche où la courbe commence.
Repère le point le plus à droite où la courbe s'arrête.
L'intervalle entre ces deux points est le domaine de définition.

💡 À retenir : Le domaine se lit toujours sur l'axe horizontal.

Le domaine de définition $D_f$ est l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe existe.

Regarde l'axe horizontal (abscisses).
Repère le point le plus à gauche où la courbe commence.
Repère le point le plus à droite où la courbe s'arrête.
L'intervalle entre ces deux points est le domaine de définition.

💡 À retenir : Le domaine se lit toujours sur l'axe horizontal.

Comment savoir si une fonction est croissante ?

Il faut observer le mouvement de la courbe de la gauche vers la droite :

Si la courbe "monte" (les valeurs de $y$ augmentent quand $x$ augmente), la fonction est croissante.
Si la courbe "descend" (les valeurs de $y$ diminuent quand $x$ augmente), la fonction est décroissante.

💡 À retenir : Croissante = la courbe monte.

Il faut observer le mouvement de la courbe de la gauche vers la droite :

Si la courbe "monte" (les valeurs de $y$ augmentent quand $x$ augmente), la fonction est croissante.
Si la courbe "descend" (les valeurs de $y$ diminuent quand $x$ augmente), la fonction est décroissante.

💡 À retenir : Croissante = la courbe monte.

Qu'est-ce qu'un maximum ?

Le maximum est la valeur la plus haute atteinte par la fonction sur un intervalle donné.

Cherche le "sommet" ou le point le plus haut de la courbe.
La valeur de l'ordonnée ( $y$ ) à ce point est la valeur du maximum.

💡 À retenir : Le maximum est la valeur la plus haute sur l'axe vertical.

Le maximum est la valeur la plus haute atteinte par la fonction sur un intervalle donné.

Cherche le "sommet" ou le point le plus haut de la courbe.
La valeur de l'ordonnée ($y$) à ce point est la valeur du maximum.

💡 À retenir : Le maximum est la valeur la plus haute sur l'axe vertical.

Comment trouver les points d'intersection avec l'axe des abscisses ?

Ces points sont les endroits où la courbe coupe l'axe horizontal.

Repère les points où la courbe traverse l'axe des $x$ .
Les valeurs de $x$ à ces points sont les antécédents de $0$ .

💡 À retenir : Intersection avec l'axe $x \implies f(x) = 0$ .

Ces points sont les endroits où la courbe coupe l'axe horizontal.

Repère les points où la courbe traverse l'axe des $x$.
Les valeurs de $x$ à ces points sont les antécédents de $0$.

💡 À retenir : Intersection avec l'axe $x \implies f(x) = 0$.

Peut-on avoir plusieurs antécédents pour une même image ?

Oui, c'est possible.

Trace une ligne horizontale passant par la valeur $y$ choisie.
Si cette ligne coupe la courbe en plusieurs points, alors chaque point correspond à un antécédent différent.

💡 À retenir : Une image est unique, mais les antécédents peuvent être multiples.

Oui, c'est possible.

Trace une ligne horizontale passant par la valeur $y$ choisie.
Si cette ligne coupe la courbe en plusieurs points, alors chaque point correspond à un antécédent différent.

💡 À retenir : Une image est unique, mais les antécédents peuvent être multiples.

Comment lire le minimum d'une fonction ?

Le minimum est la valeur la plus basse atteinte par la fonction.

Cherche le "creux" ou le point le plus bas de la courbe.
La valeur de l'ordonnée ( $y$ ) à ce point est la valeur du minimum.

💡 À retenir : Le minimum est la valeur la plus basse sur l'axe vertical.

Le minimum est la valeur la plus basse atteinte par la fonction.

Cherche le "creux" ou le point le plus bas de la courbe.
La valeur de l'ordonnée ($y$) à ce point est la valeur du minimum.

💡 À retenir : Le minimum est la valeur la plus basse sur l'axe vertical.

Si la courbe est une ligne droite qui descend, est-elle décroissante ?

Oui.

Puisque la courbe descend de la gauche vers la droite, les valeurs de $y$ diminuent.
Par définition, une fonction dont les valeurs diminuent est une fonction décroissante.

💡 À retenir : Direction de la courbe = variation.

Oui.

Puisque la courbe descend de la gauche vers la droite, les valeurs de $y$ diminuent.
Par définition, une fonction dont les valeurs diminuent est une fonction décroissante.

💡 À retenir : Direction de la courbe = variation.

Comment interpréter une courbe qui ne touche pas l'axe des abscisses et reste au-dessus ?

Si la courbe est toujours au-dessus de l'axe des $x$ , alors $f(x) > 0$ pour tout $x$ .
On dit que la fonction est strictement positive sur son domaine de définition.

💡 À retenir : Au-dessus de l'axe $x \implies$ fonction positive.

Si la courbe est toujours au-dessus de l'axe des $x$, alors $f(x) > 0$ pour tout $x$.
On dit que la fonction est strictement positive sur son domaine de définition.

💡 À retenir : Au-dessus de l'axe $x \implies$ fonction positive.

Comment lire l'image de 0 ?

L'image de 0 est l'ordonnée du point où la courbe coupe l'axe vertical (axe des ordonnées).

Repère l'intersection de la courbe avec l'axe vertical.
Lis la valeur sur cet axe.

💡 À retenir : Image de $0$ = intersection avec l'axe vertical.

L'image de 0 est l'ordonnée du point où la courbe coupe l'axe vertical (axe des ordonnées).

Repère l'intersection de la courbe avec l'axe vertical.
Lis la valeur sur cet axe.

💡 À retenir : Image de $0$ = intersection avec l'axe vertical.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ une fonction représentée par une courbe sur un repère. On observe les informations suivantes sur le graphique :

La courbe commence à $x = -4$ et s'arrête à $x = 5$ .
La courbe monte de $x = -4$ jusqu'à $x = 0$ .
À $x = 0$ , la courbe atteint un point très haut avec une ordonnée de $4$ .
De $x = 0$ à $x = 5$ , la courbe descend.
La courbe coupe l'axe des abscisses en $x = 3$ .

Questions : a) Déterminer le domaine de définition $D_f$ . b) Étudier les variations de $f$ sur $[-4, 5]$ . c) Calculer l'image de $0$ . d) Trouver l'antécédent de $0$ .

Exercice 1

Soit $f$ une fonction représentée par une courbe sur un repère. On observe les informations suivantes sur le graphique :

La courbe commence à $x = -4$ et s'arrête à $x = 5$.
La courbe monte de $x = -4$ jusqu'à $x = 0$.
À $x = 0$, la courbe atteint un point très haut avec une ordonnée de $4$.
De $x = 0$ à $x = 5$, la courbe descend.
La courbe coupe l'axe des abscisses en $x = 3$.

Questions : a) Déterminer le domaine de définition $D_f$. b) Étudier les variations de $f$ sur $[-4, 5]$. c) Calculer l'image de $0$. d) Trouver l'antécédent de $0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

On considère la courbe d'une fonction $g$ (non nommée) :

La courbe est située entièrement au-dessus de l'axe des abscisses.
Elle présente un point le plus bas au point $M(2, 1)$ .
Elle présente un point le plus haut au point $N(4, 6)$ .
Elle est définie sur l'intervalle $[0, 6]$ .

Questions : a) Quel est le signe de la fonction $g$ sur $[0, 6]$ ? b) Déterminer le minimum de la fonction $g$ . c) Déterminer le maximum de la fonction $g$ . d) La fonction est-elle croissante sur $[2, 4]$ ?

Exercice 2

On considère la courbe d'une fonction $g$ (non nommée) :

La courbe est située entièrement au-dessus de l'axe des abscisses.
Elle présente un point le plus bas au point $M(2, 1)$.
Elle présente un point le plus haut au point $N(4, 6)$.
Elle est définie sur l'intervalle $[0, 6]$.

Questions : a) Quel est le signe de la fonction $g$ sur $[0, 6]$ ? b) Déterminer le minimum de la fonction $g$. c) Déterminer le maximum de la fonction $g$. d) La fonction est-elle croissante sur $[2, 4]$ ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit une fonction $h$ dont la courbe est représentée. On donne les points suivants sur la courbe : $A(-2, -3)$ , $B(0, 0)$ , $C(2, 3)$ et $D(4, -1)$ . On sait que la courbe est continue entre ces points.

Questions : a) Calculer les images de $-2$ , $0$ et $2$ . b) Trouver les antécédents de $0$ . c) Sur l'intervalle $[-2, 2]$ , la fonction est-elle croissante ou décroissante ? d) Existe-t-il un antécédent de $-1$ entre $x=2$ et $x=4$ ? Justifier.

Exercice 3

Soit une fonction $h$ dont la courbe est représentée. On donne les points suivants sur la courbe : $A(-2, -3)$, $B(0, 0)$, $C(2, 3)$ et $D(4, -1)$. On sait que la courbe est continue entre ces points.

Questions : a) Calculer les images de $-2$, $0$ et $2$. b) Trouver les antécédents de $0$. c) Sur l'intervalle $[-2, 2]$, la fonction est-elle croissante ou décroissante ? d) Existe-t-il un antécédent de $-1$ entre $x=2$ et $x=4$ ? Justifier.

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