Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences et Technologies Électriques

Fonctions logarithmiques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$ , est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Elle est définie sur $]0, +\infty[$ .

Propriétés algébriques : Pour tous $a, b \in ]0, +\infty[$ : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ ; $\ln(1/a) = -\ln(a)$ ; $\ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b)$ ; $\ln(a^r) = r\ln(a)$ ( $r \in \mathbb{Q}$ ).
Limites fondamentales : $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ ; $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ . $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ ; $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ ( $n > 0$ ).
Dérivation : La fonction $\ln(u(x))$ est dérivable là où $u(x) > 0$ . Sa dérivée est $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$ .

Méthodes à maîtriser

Déterminer le domaine de définition : Résoudre l'inéquation $u(x) > 0$ .
Résoudre des équations/inéquations : Utiliser $\ln(a) = \ln(b) \iff a = b$ (avec $a, b > 0$ ).
Étude de fonction : Calculer la dérivée, étudier son signe, dresser le tableau de variations.
Calcul de limites : Utiliser les croissances comparées pour lever les indéterminations.

Exemples corrigés

Résoudre $\ln(x) + \ln(x-1) = \ln(2)$ : Domaine : $x > 0$ et $x > 1 \implies D = ]1, +\infty[$ . $\ln(x(x-1)) = \ln(2) \implies x^2 - x - 2 = 0$ . Solutions : $x = 2$ ou $x = -1$ . Seul $x=2$ appartient à $D$ .
Dériver $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ : $f'(x) = \frac{(x^2+1)'}{x^2+1} = \frac{2x}{x^2+1}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de déterminer le domaine de définition avant de résoudre une équation.
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln(a) + \ln(b)$ (ce qui est faux).
Oublier la valeur absolue dans la primitive de $1/x$ : $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$ .

L'essentiel du cours

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Elle est définie sur $]0, +\infty[$.

Propriétés algébriques : Pour tous $a, b \in ]0, +\infty[$ : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ ; $\ln(1/a) = -\ln(a)$ ; $\ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b)$ ; $\ln(a^r) = r\ln(a)$ ($r \in \mathbb{Q}$).
Limites fondamentales : $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ ; $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$. $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ ; $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ ($n > 0$).
Dérivation : La fonction $\ln(u(x))$ est dérivable là où $u(x) > 0$. Sa dérivée est $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$.

Méthodes à maîtriser

Déterminer le domaine de définition : Résoudre l'inéquation $u(x) > 0$.
Résoudre des équations/inéquations : Utiliser $\ln(a) = \ln(b) \iff a = b$ (avec $a, b > 0$).
Étude de fonction : Calculer la dérivée, étudier son signe, dresser le tableau de variations.
Calcul de limites : Utiliser les croissances comparées pour lever les indéterminations.

Exemples corrigés

Résoudre $\ln(x) + \ln(x-1) = \ln(2)$ : Domaine : $x > 0$ et $x > 1 \implies D = ]1, +\infty[$. $\ln(x(x-1)) = \ln(2) \implies x^2 - x - 2 = 0$. Solutions : $x = 2$ ou $x = -1$. Seul $x=2$ appartient à $D$.
Dériver $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ : $f'(x) = \frac{(x^2+1)'}{x^2+1} = \frac{2x}{x^2+1}$.

Erreurs fréquentes

Oublier de déterminer le domaine de définition avant de résoudre une équation.
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln(a) + \ln(b)$ (ce qui est faux).
Oublier la valeur absolue dans la primitive de $1/x$ : $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Fonctions logarithmiques

1/4

Quel est le domaine de définition de $f(x) = \ln(3-x)$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment étudier le signe de ln(x) ?

$\ln(x) = 0 \iff x = 1$ .
$\ln(x) > 0 \iff x > 1$ .
$\ln(x) < 0 \iff 0 < x < 1$ .

💡 À retenir : La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$ .

$\ln(x) = 0 \iff x = 1$.
$\ln(x) > 0 \iff x > 1$.
$\ln(x) < 0 \iff 0 < x < 1$.

💡 À retenir : La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$.

Kifach n7seb domaine de définition dyal ln(x^2-4) ?

La fonction $\ln(u)$ existe si et seulement si $u > 0$ .
Ici, il faut résoudre $x^2 - 4 > 0$ .
Le trinôme $x^2 - 4$ s'annule en $-2$ et $2$ .
Le signe est positif à l'extérieur des racines.
Donc $D = ]-\infty, -2[ \cup ]2, +\infty[$ .

💡 À retenir : Toujours résoudre l'inéquation $u(x) > 0$ avant de commencer.

La fonction $\ln(u)$ existe si et seulement si $u > 0$.
Ici, il faut résoudre $x^2 - 4 > 0$.
Le trinôme $x^2 - 4$ s'annule en $-2$ et $2$.
Le signe est positif à l'extérieur des racines.
Donc $D = ]-\infty, -2[ \cup ]2, +\infty[$.

💡 À retenir : Toujours résoudre l'inéquation $u(x) > 0$ avant de commencer.

Est-ce que ln(x^2) = 2ln(x) est toujours vrai ?

Non, ce n'est vrai que si $x > 0$ . Si $x < 0$ , alors $x^2 > 0$ donc $\ln(x^2)$ existe, mais $\ln(x)$ n'existe pas. La formule générale est $\ln(x^2) = 2\ln|x|$ .

💡 À retenir : $\ln(x^2) = 2\ln|x|$ pour tout $x \neq 0$ .

Non, ce n'est vrai que si $x > 0$. Si $x < 0$, alors $x^2 > 0$ donc $\ln(x^2)$ existe, mais $\ln(x)$ n'existe pas. La formule générale est $\ln(x^2) = 2\ln|x|$.

💡 À retenir : $\ln(x^2) = 2\ln|x|$ pour tout $x \neq 0$.

Kifach n7seb la limite lim{x to 0^+} x ln(x) ?

C'est une limite usuelle de croissance comparée.

Elle est égale à $0$ .
C'est une forme indéterminée du type $0 \times (-\infty)$ .
La fonction $\ln$ est "plus faible" que n'importe quelle puissance de $x$ au voisinage de $0$ .

💡 À retenir : $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ pour tout $n > 0$ .

C'est une limite usuelle de croissance comparée.

Elle est égale à $0$.
C'est une forme indéterminée du type $0 \times (-\infty)$.
La fonction $\ln$ est "plus faible" que n'importe quelle puissance de $x$ au voisinage de $0$.

💡 À retenir : $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ pour tout $n > 0$.

Comment dériver ln(3x+1) ?

On utilise la formule $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ .

Ici $u(x) = 3x+1$ .
La dérivée $u'(x) = 3$ .
Donc $(\ln(3x+1))' = \frac{3}{3x+1}$ .

💡 À retenir : Identifie bien $u(x)$ et sa dérivée $u'(x)$ avant d'appliquer la formule.

On utilise la formule $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$.

Ici $u(x) = 3x+1$.
La dérivée $u'(x) = 3$.
Donc $(\ln(3x+1))' = \frac{3}{3x+1}$.

💡 À retenir : Identifie bien $u(x)$ et sa dérivée $u'(x)$ avant d'appliquer la formule.

Kifach n7seb ln(e^3) ?

La fonction $\ln$ et la fonction exponentielle sont réciproques.

$\ln(e^x) = x$ pour tout $x$ .
Donc $\ln(e^3) = 3$ .

💡 À retenir : $\ln(e^a) = a$ et $e^{\ln(a)} = a$ (pour $a > 0$ ).

La fonction $\ln$ et la fonction exponentielle sont réciproques.

$\ln(e^x) = x$ pour tout $x$.
Donc $\ln(e^3) = 3$.

💡 À retenir : $\ln(e^a) = a$ et $e^{\ln(a)} = a$ (pour $a > 0$).

Peut-on simplifier ln(a) - ln(b) si b est négatif ?

Non, la fonction $\ln$ n'est définie que pour des nombres strictement positifs. Si $b \leq 0$ , l'expression $\ln(b)$ n'a pas de sens dans $\mathbb{R}$ .

💡 À retenir : Vérifie toujours que les arguments du $\ln$ sont strictement positifs.

Non, la fonction $\ln$ n'est définie que pour des nombres strictement positifs. Si $b \leq 0$, l'expression $\ln(b)$ n'a pas de sens dans $\mathbb{R}$.

💡 À retenir : Vérifie toujours que les arguments du $\ln$ sont strictement positifs.

Quelle est la primitive de f(x) = frac{1}{2x+3} ?

On reconnaît la forme $\frac{u'}{u}$ avec $u(x) = 2x+3$ .
$u'(x) = 2$ .
On écrit $f(x) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{2x+3}$ .
La primitive est $\frac{1}{2} \ln|2x+3| + C$ .

💡 À retenir : La primitive de $\frac{u'}{u}$ est $\ln|u| + C$ .

On reconnaît la forme $\frac{u'}{u}$ avec $u(x) = 2x+3$.
$u'(x) = 2$.
On écrit $f(x) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{2x+3}$.
La primitive est $\frac{1}{2} \ln|2x+3| + C$.

💡 À retenir : La primitive de $\frac{u'}{u}$ est $\ln|u| + C$.

Est-ce que ln(1) = 0 ?

Oui, c'est une valeur fondamentale. De même, $\ln(e) = 1$ .

💡 À retenir : $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$ .

Oui, c'est une valeur fondamentale. De même, $\ln(e) = 1$.

💡 À retenir : $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$.

Comment résoudre ln(x) = 5 ?

On applique la fonction exponentielle des deux côtés : $e^{\ln(x)} = e^5$ .
On obtient $x = e^5$ .
Vérification : $e^5 > 0$ , donc la solution est valide.

💡 À retenir : $\ln(x) = a \iff x = e^a$ .

On applique la fonction exponentielle des deux côtés : $e^{\ln(x)} = e^5$.
On obtient $x = e^5$.
Vérification : $e^5 > 0$, donc la solution est valide.

💡 À retenir : $\ln(x) = a \iff x = e^a$.

Est-ce que (ln(x))^2 = ln(x^2) ?

Non. $(\ln(x))^2$ signifie $\ln(x) \times \ln(x)$ , alors que $\ln(x^2) = 2\ln(x)$ .

💡 À retenir : Ne confonds pas le carré de la fonction et la puissance de l'argument.

Non. $(\ln(x))^2$ signifie $\ln(x) \times \ln(x)$, alors que $\ln(x^2) = 2\ln(x)$.

💡 À retenir : Ne confonds pas le carré de la fonction et la puissance de l'argument.

Quelle est la dérivée de x ln(x) - x ?

On dérive le produit $x \ln(x)$ avec $(uv)' = u'v + uv'$ .
$(x)' \ln(x) + x (\ln(x))' = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$ .
On soustrait la dérivée de $x$ , qui est $1$ .
Résultat : $\ln(x) + 1 - 1 = \ln(x)$ .

💡 À retenir : Cette dérivée est très utile pour les primitives.

On dérive le produit $x \ln(x)$ avec $(uv)' = u'v + uv'$.
$(x)' \ln(x) + x (\ln(x))' = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$.
On soustrait la dérivée de $x$, qui est $1$.
Résultat : $\ln(x) + 1 - 1 = \ln(x)$.

💡 À retenir : Cette dérivée est très utile pour les primitives.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : $\ln(x+1) + \ln(x+2) = \ln(2)$ .

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : $\ln(x+1) + \ln(x+2) = \ln(2)$.

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Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ . Étudier les variations de $f$ sur $]0, +\infty[$ .

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$. Étudier les variations de $f$ sur $]0, +\infty[$.

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Exercice 3

Calculer $\lim_{x \to +\infty} (\ln(x) - x)$ .

Exercice 3

Calculer $\lim_{x \to +\infty} (\ln(x) - x)$.

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