Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences et Technologies Électriques

Calcul de probabilités

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Univers ( $\Omega$ ) : L'ensemble de toutes les issues possibles.
Probabilité $P(A)$ : Pour un univers fini, $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$ .
Propriétés : $0 \leq P(A) \leq 1$ , $P(\Omega) = 1$ , $P(\emptyset) = 0$ .
Événement contraire : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ .
Réunion : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .
Dénombrement :
- Ordre important (avec remise) : $n^p$ .
- Ordre important (sans remise) : $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$ .
- Ordre non important : $C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ .

Méthodes à maîtriser

Identifier le type de tirage : Avec ou sans remise ? Ordre important ou non ?
Calculer le cardinal : Toujours commencer par calculer $\text{card}(\Omega)$ .
Utiliser les combinaisons : Pour les tirages simultanés ou successifs sans remise sans ordre.
Passer par le contraire : Si l'énoncé contient "au moins un", calculez $1 - P(\text{aucun})$ .

Exemples corrigés

Exemple : Une urne contient 3 boules rouges et 2 vertes. On tire 2 boules simultanément.

$\text{card}(\Omega) = C_5^2 = 10$ .
$P(\text{2 rouges}) = \frac{C_3^2}{C_5^2} = \frac{3}{10} = 0,3$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que $C_n^0 = 1$ et $C_n^n = 1$ .
Confondre tirage simultané (combinaison) et tirage successif avec remise (puissance).
Ne pas vérifier si la somme des probabilités est égale à 1.

L'essentiel du cours

Univers ($\Omega$) : L'ensemble de toutes les issues possibles.
Probabilité $P(A)$ : Pour un univers fini, $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$.
Propriétés : $0 \leq P(A) \leq 1$, $P(\Omega) = 1$, $P(\emptyset) = 0$.
Événement contraire : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
Réunion : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
Dénombrement :
- Ordre important (avec remise) : $n^p$.
- Ordre important (sans remise) : $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$.
- Ordre non important : $C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!}$.

Méthodes à maîtriser

Identifier le type de tirage : Avec ou sans remise ? Ordre important ou non ?
Calculer le cardinal : Toujours commencer par calculer $\text{card}(\Omega)$.
Utiliser les combinaisons : Pour les tirages simultanés ou successifs sans remise sans ordre.
Passer par le contraire : Si l'énoncé contient "au moins un", calculez $1 - P(\text{aucun})$.

Exemples corrigés

Exemple : Une urne contient 3 boules rouges et 2 vertes. On tire 2 boules simultanément.

$\text{card}(\Omega) = C_5^2 = 10$.
$P(\text{2 rouges}) = \frac{C_3^2}{C_5^2} = \frac{3}{10} = 0,3$.

Erreurs fréquentes

Oublier que $C_n^0 = 1$ et $C_n^n = 1$.
Confondre tirage simultané (combinaison) et tirage successif avec remise (puissance).
Ne pas vérifier si la somme des probabilités est égale à 1.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Calcul de probabilités

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❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre An^p et Cn^p ?

$A_n^p$ (Arrangement) s'utilise quand l'ordre de tirage est important (ex: podium, tirage successif sans remise).
$C_n^p$ (Combinaison) s'utilise quand l'ordre n'a pas d'importance (ex: tirage simultané, main de cartes).

💡 À retenir : Si tu peux échanger deux objets tirés sans changer le résultat, utilise $C_n^p$ .

$A_n^p$ (Arrangement) s'utilise quand l'ordre de tirage est important (ex: podium, tirage successif sans remise).
$C_n^p$ (Combinaison) s'utilise quand l'ordre n'a pas d'importance (ex: tirage simultané, main de cartes).

💡 À retenir : Si tu peux échanger deux objets tirés sans changer le résultat, utilise $C_n^p$.

Kifach n3ref wach nkhdem b Cn^p wla An^p f'tari9a d's7ab?

Ila galik "simultanément" (f'de9a wehda), dima $C_n^p$ .
Ila galik "successivement sans remise" (wahed mor wahed bla rjou3), l'ordre kayhem, khdem b $A_n^p$ .
Ila galik "successivement avec remise" (wahed mor wahed m3a rjou3), khdem b $n^p$ .

💡 À retenir : Simultané = Combinaison. Successif = Arrangement ou Puissance.

Ila galik "simultanément" (f'de9a wehda), dima $C_n^p$.
Ila galik "successivement sans remise" (wahed mor wahed bla rjou3), l'ordre kayhem, khdem b $A_n^p$.
Ila galik "successivement avec remise" (wahed mor wahed m3a rjou3), khdem b $n^p$.

💡 À retenir : Simultané = Combinaison. Successif = Arrangement ou Puissance.

Chno hiya l'khassa dyal P(A cup B)?

C'est la probabilité que l'événement A ou B se réalise. La formule est $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ . On soustrait l'intersection pour ne pas compter les éléments communs deux fois.

💡 À retenir : Si $A$ et $B$ sont incompatibles ( $A \cap B = \emptyset$ ), alors $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

C'est la probabilité que l'événement A ou B se réalise. La formule est $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. On soustrait l'intersection pour ne pas compter les éléments communs deux fois.

💡 À retenir : Si $A$ et $B$ sont incompatibles ($A \cap B = \emptyset$), alors $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Est-ce que la somme des probabilités peut dépasser 1 ?

Non, jamais. La probabilité d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1. Si tu trouves un résultat supérieur à 1, c'est qu'il y a une erreur dans ton calcul de cardinal ou de fraction.

💡 À retenir : $0 \leq P(A) \leq 1$ .

Non, jamais. La probabilité d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1. Si tu trouves un résultat supérieur à 1, c'est qu'il y a une erreur dans ton calcul de cardinal ou de fraction.

💡 À retenir : $0 \leq P(A) \leq 1$.

Chno hiya l'fayda dyal l'événement contraire ?

L'événement contraire $\bar{A}$ permet de simplifier les calculs. Au lieu de calculer plusieurs cas, on fait $1 - P(\bar{A})$ . C'est très utile quand l'énoncé dit "au moins un".

💡 À retenir : $P(A) = 1 - P(\bar{A})$ .

L'événement contraire $\bar{A}$ permet de simplifier les calculs. Au lieu de calculer plusieurs cas, on fait $1 - P(\bar{A})$. C'est très utile quand l'énoncé dit "au moins un".

💡 À retenir : $P(A) = 1 - P(\bar{A})$.

Comment calculer le cardinal d'un tirage avec remise ?

Si on tire $p$ objets parmi $n$ avec remise, chaque tirage a $n$ possibilités. Comme les tirages sont indépendants, on multiplie les possibilités : $n \times n \times ... \times n$ ( $p$ fois), soit $n^p$ .

💡 À retenir : Tirage avec remise = $n^p$ .

💡 À retenir : Tirage avec remise = $n^p$.

Est-ce que l'ordre compte dans un tirage simultané ?

Non, dans un tirage simultané, on considère que toutes les boules sont prises en même temps, donc l'ordre n'a aucune importance. C'est pour cela qu'on utilise toujours les combinaisons ( $C_n^p$ ).

💡 À retenir : Simultané = Pas d'ordre.

Non, dans un tirage simultané, on considère que toutes les boules sont prises en même temps, donc l'ordre n'a aucune importance. C'est pour cela qu'on utilise toujours les combinaisons ($C_n^p$).

💡 À retenir : Simultané = Pas d'ordre.

Kifach n7seb n! (factorielle) ?

$n!$ est le produit des entiers de 1 à $n$ . Par exemple, $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ . Note que $0! = 1$ par convention.

💡 À retenir : $n! = n \times (n-1)!$ .

$n!$ est le produit des entiers de 1 à $n$. Par exemple, $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$. Note que $0! = 1$ par convention.

💡 À retenir : $n! = n \times (n-1)!$.

Si on tire deux boules, est-ce que c'est la même chose que de tirer une boule puis une autre ?

Si le tirage est "sans remise", tirer deux boules simultanément est équivalent à tirer deux boules successivement sans remise. Le résultat est le même.

💡 À retenir : Le résultat numérique est identique.

Qu'est-ce qu'un événement impossible ?

C'est un événement qui ne peut jamais se produire. Sa probabilité est égale à 0. Par exemple, tirer une boule noire dans une urne qui ne contient que des boules rouges.

💡 À retenir : $P(\emptyset) = 0$ .

C'est un événement qui ne peut jamais se produire. Sa probabilité est égale à 0. Par exemple, tirer une boule noire dans une urne qui ne contient que des boules rouges.

💡 À retenir : $P(\emptyset) = 0$.

Comment savoir si deux événements sont incompatibles ?

Deux événements sont incompatibles si leur intersection est vide ( $A \cap B = \emptyset$ ), c'est-à-dire qu'ils ne peuvent pas se produire en même temps.

💡 À retenir : $A \cap B = \emptyset \implies P(A \cap B) = 0$ .

Deux événements sont incompatibles si leur intersection est vide ($A \cap B = \emptyset$), c'est-à-dire qu'ils ne peuvent pas se produire en même temps.

💡 À retenir : $A \cap B = \emptyset \implies P(A \cap B) = 0$.

Est-ce que je dois simplifier les fractions à l'examen ?

Oui, c'est fortement recommandé. Une fraction simplifiée montre une meilleure maîtrise du calcul. Si le résultat est une décimale, tu peux aussi donner une valeur approchée si demandé.

💡 À retenir : Simplifie toujours tes fractions au maximum.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 6 boules : 4 rouges et 2 vertes. On tire simultanément 2 boules.

Calculer le nombre de tirages possibles.
Calculer la probabilité de tirer 2 boules rouges.
Calculer la probabilité de tirer une boule de chaque couleur.

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Exercice 2

Une urne contient 5 jetons numérotés de 1 à 5. On tire 2 jetons successivement avec remise.

Quel est le nombre de résultats possibles ?
Calculer la probabilité que les deux jetons portent le même numéro.

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Exercice 3

Une urne contient 3 boules blanches et 5 boules noires. On tire 3 boules successivement sans remise.

Calculer la probabilité d'obtenir au moins une boule blanche.

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