Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences et Technologies Électriques

Nombres complexes (Partie 2)

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dans cette seconde partie, nous abordons les transformations du plan et la résolution d'équations spécifiques :

Interprétation géométrique :
- Soit $M(z)$ $M (z)$ et $M'(z')$ $M^{'} (z^{'})$ . La transformation $z' = az + b$ $z^{'} = a z + b$ ( $a \in \mathbb{C}^*, b \in \mathbb{C}$ $a \in C^{*}, b \in C$ ) :
  - Si $a=1$ , c'est une translation de vecteur $\vec{u}$ d'affixe $b$ .
  - Si $a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$ , c'est une homothétie de rapport $a$ et de centre $\Omega$ d'affixe $\omega = \frac{b}{1-a}$ .
  - Si $|a|=1$ et $a \neq 1$ , c'est une rotation d'angle $\theta = \arg(a)$ et de centre $\Omega$ d'affixe $\omega = \frac{b}{1-a}$ .
Équations du second degré : Résolution de $az^2 + bz + c = 0$ avec $a, b, c \in \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ . On utilise le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ . Si $\Delta \neq 0$ , les solutions sont $z = \frac{-b \pm \delta}{2a}$ où $\delta^2 = \Delta$ .

Méthodes à maîtriser

Déterminer la nature d'une transformation à partir de son écriture complexe.
Trouver le centre, le rapport ou l'angle d'une transformation.
Résoudre une équation du second degré à coefficients complexes (en déterminant la racine carrée de $\Delta$ sous forme algébrique).
Utiliser les nombres complexes pour démontrer des propriétés géométriques (alignement, orthogonalité).

Exemples corrigés

Nature d'une transformation : Soit $f(z) = iz + 1 - i$ $f (z) = i z + 1 - i$ .
- Ici $a=i$ . $|i|=1$ et $\arg(i) = \frac{\pi}{2} [2\pi]$ . C'est une rotation.
- Centre $\omega = \frac{1-i}{1-i} = 1$ . $f$ est la rotation de centre $A(1)$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ .
Équation : $z^2 - (3+i)z + 2+2i = 0$ $z^{2} - (3 + i) z + 2 + 2 i = 0$ .
- $\Delta = (-(3+i))^2 - 4(2+2i) = 9 + 6i - 1 - 8 - 8i = -2i$ .
- On cherche $\delta = x+iy$ tel que $(x+iy)^2 = -2i$ . On trouve $\delta = 1-i$ .
- $z_1 = \frac{3+i + 1-i}{2} = 2$ et $z_2 = \frac{3+i - 1+i}{2} = 1+i$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la condition $a \neq 1$ pour le centre d'une homothétie ou rotation.
Se tromper dans le calcul de la racine carrée d'un nombre complexe (utiliser le système $x^2-y^2 = \text{Re}(\Delta)$ et $x^2+y^2 = |\Delta|$ ).
Confondre l'angle de la rotation avec l'argument du centre.

L'essentiel du cours

Dans cette seconde partie, nous abordons les transformations du plan et la résolution d'équations spécifiques :

Interprétation géométrique :
- Soit $M(z)$ et $M'(z')$. La transformation $z' = az + b$ ($a \in \mathbb{C}^*, b \in \mathbb{C}$) :
  - Si $a=1$, c'est une translation de vecteur $\vec{u}$ d'affixe $b$.
  - Si $a \in \mathbb{R} \setminus {0, 1}$, c'est une homothétie de rapport $a$ et de centre $\Omega$ d'affixe $\omega = \frac{b}{1-a}$.
  - Si $|a|=1$ et $a \neq 1$, c'est une rotation d'angle $\theta = \arg(a)$ et de centre $\Omega$ d'affixe $\omega = \frac{b}{1-a}$.
Équations du second degré : Résolution de $az^2 + bz + c = 0$ avec $a, b, c \in \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On utilise le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. Si $\Delta \neq 0$, les solutions sont $z = \frac{-b \pm \delta}{2a}$ où $\delta^2 = \Delta$.

Méthodes à maîtriser

Déterminer la nature d'une transformation à partir de son écriture complexe.
Trouver le centre, le rapport ou l'angle d'une transformation.
Résoudre une équation du second degré à coefficients complexes (en déterminant la racine carrée de $\Delta$ sous forme algébrique).
Utiliser les nombres complexes pour démontrer des propriétés géométriques (alignement, orthogonalité).

Exemples corrigés

Nature d'une transformation : Soit $f(z) = iz + 1 - i$.
- Ici $a=i$. $|i|=1$ et $\arg(i) = \frac{\pi}{2} [2\pi]$. C'est une rotation.
- Centre $\omega = \frac{1-i}{1-i} = 1$. $f$ est la rotation de centre $A(1)$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$.
Équation : $z^2 - (3+i)z + 2+2i = 0$.
- $\Delta = (-(3+i))^2 - 4(2+2i) = 9 + 6i - 1 - 8 - 8i = -2i$.
- On cherche $\delta = x+iy$ tel que $(x+iy)^2 = -2i$. On trouve $\delta = 1-i$.
- $z_1 = \frac{3+i + 1-i}{2} = 2$ et $z_2 = \frac{3+i - 1+i}{2} = 1+i$.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la condition $a \neq 1$ pour le centre d'une homothétie ou rotation.
Se tromper dans le calcul de la racine carrée d'un nombre complexe (utiliser le système $x^2-y^2 = \text{Re}(\Delta)$ et $x^2+y^2 = |\Delta|$).
Confondre l'angle de la rotation avec l'argument du centre.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Nombres complexes (Partie 2)

1/4

Quelle est la nature de $z' = z + 3 + 2i$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si une transformation est une rotation ou une homothétie ?

Regarde le coefficient $a$ devant $z$ dans $z' = az + b$ .
Si $|a| = 1$ , c'est une rotation (ou une translation si $a=1$ ).
Si $a$ est un réel différent de 1, c'est une homothétie.

💡 À retenir : Le module $|a|$ détermine la nature : 1 pour rotation, réel pour homothétie.

Regarde le coefficient $a$ devant $z$ dans $z' = az + b$.
Si $|a| = 1$, c'est une rotation (ou une translation si $a=1$).
Si $a$ est un réel différent de 1, c'est une homothétie.

💡 À retenir : Le module $|a|$ détermine la nature : 1 pour rotation, réel pour homothétie.

Kifach n7seb la racine carrée dyal chi nombre complexe Delta ?

Pose $\delta = x+iy$ tel que $(x+iy)^2 = \Delta$ .
Utilise le système : $x^2 - y^2 = \text{Re}(\Delta)$ , $x^2 + y^2 = \sqrt{\text{Re}(\Delta)^2 + \text{Im}(\Delta)^2}$ et $2xy = \text{Im}(\Delta)$ .
Résous pour trouver $x$ et $y$ .

💡 À retenir : Le module est ton meilleur allié pour éviter les erreurs de signe.

Pose $\delta = x+iy$ tel que $(x+iy)^2 = \Delta$.
Utilise le système : $x^2 - y^2 = \text{Re}(\Delta)$, $x^2 + y^2 = \sqrt{\text{Re}(\Delta)^2 + \text{Im}(\Delta)^2}$ et $2xy = \text{Im}(\Delta)$.
Résous pour trouver $x$ et $y$.

💡 À retenir : Le module est ton meilleur allié pour éviter les erreurs de signe.

Est-ce que le centre d'une rotation est toujours l'origine ?

Non, seulement si $b=0$ dans $z' = az$ . Si $b \neq 0$ , le centre $\omega$ est le point invariant tel que $f(\omega) = \omega$ , soit $\omega = a\omega + b$ .

💡 À retenir : Résous toujours l'équation $z = az + b$ pour trouver le centre.

Non, seulement si $b=0$ dans $z' = az$. Si $b \neq 0$, le centre $\omega$ est le point invariant tel que $f(\omega) = \omega$, soit $\omega = a\omega + b$.

💡 À retenir : Résous toujours l'équation $z = az + b$ pour trouver le centre.

Chno hiya l'affixe dyal le milieu dyal segment ?

Si tu as deux points $A(z_A)$ et $B(z_B)$ , l'affixe du milieu $I$ est $z_I = \frac{z_A + z_B}{2}$ .

💡 À retenir : C'est la moyenne arithmétique des affixes.

Si tu as deux points $A(z_A)$ et $B(z_B)$, l'affixe du milieu $I$ est $z_I = \frac{z_A + z_B}{2}$.

💡 À retenir : C'est la moyenne arithmétique des affixes.

Comment démontrer que trois points sont alignés avec les complexes ?

Calcule le rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ .
Si ce rapport est un nombre réel, alors les points $A, B$ et $C$ sont alignés.

💡 À retenir : Un rapport réel signifie que les vecteurs sont colinéaires.

Calcule le rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$.
Si ce rapport est un nombre réel, alors les points $A, B$ et $C$ sont alignés.

💡 À retenir : Un rapport réel signifie que les vecteurs sont colinéaires.

Kifach n3ref l'angle dyal rotation ?

L'angle $\theta$ de la rotation est donné par $\theta \equiv \arg(a) [2\pi]$ , où $a$ est le coefficient devant $z$ .

💡 À retenir : L'argument du coefficient complexe donne directement l'angle.

L'angle $\theta$ de la rotation est donné par $\theta \equiv \arg(a) [2\pi]$, où $a$ est le coefficient devant $z$.

💡 À retenir : L'argument du coefficient complexe donne directement l'angle.

Si Delta = 0, est-ce qu'on a deux solutions ?

Non, on a une seule solution dite "double" : $z_0 = -\frac{b}{2a}$ .

💡 À retenir : Le discriminant nul signifie une racine unique.

Non, on a une seule solution dite "double" : $z_0 = -\frac{b}{2a}$.

💡 À retenir : Le discriminant nul signifie une racine unique.

Est-ce que la translation est une homothétie ?

Non, la translation est un cas particulier où $a=1$ . L'homothétie nécessite $a \neq 1$ .

💡 À retenir : La translation n'a pas de centre fixe dans le plan fini.

Non, la translation est un cas particulier où $a=1$. L'homothétie nécessite $a \neq 1$.

💡 À retenir : La translation n'a pas de centre fixe dans le plan fini.

Comment prouver qu'un triangle est rectangle ?

Calcule $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ . Si le résultat est imaginaire pur (ex: $ki$ avec $k \in \mathbb{R}$ ), alors le triangle est rectangle en $A$ .

💡 À retenir : Un rapport imaginaire pur signifie un angle de $\pm \frac{\pi}{2}$ .

Calcule $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$. Si le résultat est imaginaire pur (ex: $ki$ avec $k \in \mathbb{R}$), alors le triangle est rectangle en $A$.

💡 À retenir : Un rapport imaginaire pur signifie un angle de $\pm \frac{\pi}{2}$.

Est-ce que je peux utiliser la forme exponentielle pour résoudre z^2 = Delta ?

Oui, si $\Delta$ est facile à mettre sous forme exponentielle $re^{i\theta}$ , alors les racines sont $\sqrt{r}e^{i\theta/2}$ et $\sqrt{r}e^{i(\theta/2 + \pi)}$ .

💡 À retenir : C'est souvent plus rapide que la méthode algébrique.

Oui, si $\Delta$ est facile à mettre sous forme exponentielle $re^{i\theta}$, alors les racines sont $\sqrt{r}e^{i\theta/2}$ et $\sqrt{r}e^{i(\theta/2 + \pi)}$.

💡 À retenir : C'est souvent plus rapide que la méthode algébrique.

Pourquoi on dit que a neq 1 pour une rotation ?

Si $a=1$ , l'équation $z = z + b$ devient $0 = b$ . Si $b \neq 0$ , il n'y a pas de point invariant, donc pas de centre.

💡 À retenir : $a=1$ correspond à une translation.

Si $a=1$, l'équation $z = z + b$ devient $0 = b$. Si $b \neq 0$, il n'y a pas de point invariant, donc pas de centre.

💡 À retenir : $a=1$ correspond à une translation.

Est-ce que le rapport d'une homothétie peut être négatif ?

Oui, si le rapport est négatif, l'homothétie inverse le sens des vecteurs par rapport au centre.

💡 À retenir : Le signe du rapport indique si le point est du même côté ou de l'autre côté du centre.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ l'application qui à tout point $M(z)$ associe $M'(z')$ tel que $z' = (1+i)z - 2i$ . Déterminer la nature de $f$ et ses éléments caractéristiques.

Exercice 1

Soit $f$ l'application qui à tout point $M(z)$ associe $M'(z')$ tel que $z' = (1+i)z - 2i$. Déterminer la nature de $f$ et ses éléments caractéristiques.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2 - 2z + 2 = 0$ .

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2 - 2z + 2 = 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soient $A(1+i)$ , $B(3-i)$ et $C(2+2i)$ . Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle isocèle.

Exercice 3

Soient $A(1+i)$, $B(3-i)$ et $C(2+2i)$. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle isocèle.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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