Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences et Technologies Électriques

Suites numériques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une suite numérique est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ ou une partie de $\mathbb{N}$ .

Suites arithmétiques : $u_{n+1} = u_n + r$ . Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$ .
Suites géométriques : $u_{n+1} = q \cdot u_n$ . Terme général : $u_n = u_p \cdot q^{n-p}$ .
Monotonie : On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$ . Si $u_n > 0$ , on peut comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1.
Convergence : Une suite est convergente si elle admet une limite finie $L$ .
Suites adjacentes : Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante et $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$ . Elles convergent vers la même limite.

Méthodes à maîtriser

Démonstration par récurrence : Initialisation, Hérédité, Conclusion. Indispensable pour les propriétés sur $n$ .
Calcul de limite : Utiliser les limites usuelles des suites ( $n^p$ , $q^n$ avec $|q|<1$ ).
Suites de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$ : Si $f$ est continue, $L$ est solution de $f(L) = L$ .

Exemples corrigés

Récurrence : Montrer que $u_n \geq 1$ $u_{n} \geq 1$ pour $u_0=2$ $u_{0} = 2$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n+2}$ $u_{n + 1} = u_{n} + 2$ .
- Initialisation : $u_0 = 2 \geq 1$ (Vrai).
- Hérédité : Supposons $u_n \geq 1$ . Alors $u_n+2 \geq 3$ , donc $\sqrt{u_n+2} \geq \sqrt{3} > 1$ .
Limite : $\lim_{n \to +\infty} (3^n - 2^n) = \lim_{n \to +\infty} 3^n(1 - (\frac{2}{3})^n) = +\infty \cdot (1-0) = +\infty$ .

Erreurs fréquentes

Oublier l'initialisation dans la récurrence.
Confondre la limite de $q^n$ : si $q \leq -1$ , la suite diverge.
Affirmer qu'une suite bornée est convergente (Faux : ex $u_n = (-1)^n$ ).

L'essentiel du cours

Une suite numérique est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ ou une partie de $\mathbb{N}$.

Suites arithmétiques : $u_{n+1} = u_n + r$. Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$.
Suites géométriques : $u_{n+1} = q \cdot u_n$. Terme général : $u_n = u_p \cdot q^{n-p}$.
Monotonie : On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$. Si $u_n > 0$, on peut comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1.
Convergence : Une suite est convergente si elle admet une limite finie $L$.
Suites adjacentes : Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante et $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$. Elles convergent vers la même limite.

Méthodes à maîtriser

Démonstration par récurrence : Initialisation, Hérédité, Conclusion. Indispensable pour les propriétés sur $n$.
Calcul de limite : Utiliser les limites usuelles des suites ($n^p$, $q^n$ avec $|q|<1$).
Suites de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$ : Si $f$ est continue, $L$ est solution de $f(L) = L$.

Exemples corrigés

Récurrence : Montrer que $u_n \geq 1$ pour $u_0=2$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n+2}$.
- Initialisation : $u_0 = 2 \geq 1$ (Vrai).
- Hérédité : Supposons $u_n \geq 1$. Alors $u_n+2 \geq 3$, donc $\sqrt{u_n+2} \geq \sqrt{3} > 1$.
Limite : $\lim_{n \to +\infty} (3^n - 2^n) = \lim_{n \to +\infty} 3^n(1 - (\frac{2}{3})^n) = +\infty \cdot (1-0) = +\infty$.

Erreurs fréquentes

Oublier l'initialisation dans la récurrence.
Confondre la limite de $q^n$ : si $q \leq -1$, la suite diverge.
Affirmer qu'une suite bornée est convergente (Faux : ex $u_n = (-1)^n$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Suites numériques

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La limite de la suite $u_n = \frac{3^n + 2^n}{3^n}$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si une suite est arithmétique ou géométrique ?

Pour une suite arithmétique, calcule la différence $u_{n+1} - u_n$ . Si le résultat est une constante $r$ indépendante de $n$ , elle est arithmétique.
Pour une suite géométrique, calcule le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (si $u_n \neq 0$ ). Si le résultat est une constante $q$ , elle est géométrique.

💡 À retenir : Ne confonds pas la différence (arithmétique) et le quotient (géométrique).

Pour une suite arithmétique, calcule la différence $u_{n+1} - u_n$. Si le résultat est une constante $r$ indépendante de $n$, elle est arithmétique.
Pour une suite géométrique, calcule le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (si $u_n \neq 0$). Si le résultat est une constante $q$, elle est géométrique.

💡 À retenir : Ne confonds pas la différence (arithmétique) et le quotient (géométrique).

kifach n7seb l'hadd l3am (terme général) ila kan 3ndi u{n+1} = a un + b ?

C'est une suite arithmético-géométrique.

Résous l'équation $L = aL + b$ pour trouver le point fixe $L$ .
Définis une nouvelle suite $v_n = u_n - L$ .
Montre que $v_n$ est géométrique : $v_{n+1} = u_{n+1} - L = a u_n + b - (aL + b) = a(u_n - L) = a v_n$ .
Calcule $v_n = v_0 \cdot a^n$ , puis déduis $u_n = v_n + L$ .

💡 À retenir : La méthode du point fixe transforme une suite complexe en une suite géométrique simple.

C'est une suite arithmético-géométrique.

Résous l'équation $L = aL + b$ pour trouver le point fixe $L$.
Définis une nouvelle suite $v_n = u_n - L$.
Montre que $v_n$ est géométrique : $v_{n+1} = u_{n+1} - L = a u_n + b - (aL + b) = a(u_n - L) = a v_n$.
Calcule $v_n = v_0 \cdot a^n$, puis déduis $u_n = v_n + L$.

💡 À retenir : La méthode du point fixe transforme une suite complexe en une suite géométrique simple.

Est-ce qu'une suite croissante est toujours convergente ?

Non, pas forcément. Une suite croissante peut tendre vers $+\infty$ . Exemple : $u_n = n$ est croissante mais diverge vers $+\infty$ . Pour qu'une suite croissante converge, il faut qu'elle soit majorée.

💡 À retenir : Théorème de la convergence monotone : toute suite croissante et majorée est convergente.

Non, pas forcément. Une suite croissante peut tendre vers $+\infty$. Exemple : $u_n = n$ est croissante mais diverge vers $+\infty$. Pour qu'une suite croissante converge, il faut qu'elle soit majorée.

💡 À retenir : Théorème de la convergence monotone : toute suite croissante et majorée est convergente.

wach darouri nst3ml l'burhan b taraju3 f ga3 l'as'ila ?

Non, pas dans toutes les questions. Tu l'utilises uniquement quand on te demande de montrer une propriété qui dépend de $n$ (ex: $u_n > 0$ ou $u_n \leq 3$ ). Si on te demande de calculer une limite ou la monotonie, la récurrence n'est pas nécessaire.

💡 À retenir : La récurrence est un outil pour prouver une assertion vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

Non, pas dans toutes les questions. Tu l'utilises uniquement quand on te demande de montrer une propriété qui dépend de $n$ (ex: $u_n > 0$ ou $u_n \leq 3$). Si on te demande de calculer une limite ou la monotonie, la récurrence n'est pas nécessaire.

💡 À retenir : La récurrence est un outil pour prouver une assertion vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Comment montrer qu'une suite est bornée ?

Pour montrer que $m \leq u_n \leq M$ :

Utilise souvent un raisonnement par récurrence.
Étudie les variations de la fonction associée $f$ si $u_{n+1} = f(u_n)$ .
Si $f$ est croissante sur $[m, M]$ , alors $f(m) \leq f(u_n) \leq f(M)$ .

💡 À retenir : Le plus souvent, la récurrence est la méthode la plus robuste pour encadrer une suite.

Pour montrer que $m \leq u_n \leq M$ :

Utilise souvent un raisonnement par récurrence.
Étudie les variations de la fonction associée $f$ si $u_{n+1} = f(u_n)$.
Si $f$ est croissante sur $[m, M]$, alors $f(m) \leq f(u_n) \leq f(M)$.

💡 À retenir : Le plus souvent, la récurrence est la méthode la plus robuste pour encadrer une suite.

chhal hiya l'limite dial q^n ila kan q f'salb ?

Si $q > 1$ , $\lim q^n = +\infty$ .
Si $-1 < q < 1$ , $\lim q^n = 0$ .
Si $q = 1$ , $\lim q^n = 1$ .
Si $q \leq -1$ , la suite n'a pas de limite (elle oscille).

💡 À retenir : La limite de $q^n$ dépend uniquement de la valeur de $q$ .

Si $q > 1$, $\lim q^n = +\infty$.
Si $-1 < q < 1$, $\lim q^n = 0$.
Si $q = 1$, $\lim q^n = 1$.
Si $q \leq -1$, la suite n'a pas de limite (elle oscille).

💡 À retenir : La limite de $q^n$ dépend uniquement de la valeur de $q$.

Si un leq vn et lim un = +infty, alors lim vn = +infty ?

Oui, c'est le théorème de comparaison. Si une suite est supérieure à une suite qui tend vers $+\infty$ , alors elle tend elle-même vers $+\infty$ .

💡 À retenir : C'est un outil puissant pour lever les indéterminations.

Oui, c'est le théorème de comparaison. Si une suite est supérieure à une suite qui tend vers $+\infty$, alors elle tend elle-même vers $+\infty$.

💡 À retenir : C'est un outil puissant pour lever les indéterminations.

C'est quoi la différence entre une suite majorée et une suite convergente ?

Une suite majorée signifie qu'il existe un nombre $M$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n$ . Une suite convergente signifie que $u_n$ se rapproche d'une valeur finie $L$ quand $n$ devient très grand. Une suite majorée n'est pas forcément convergente (ex: $u_n = -n$ est majorée par 0 mais tend vers $-\infty$ ).

💡 À retenir : La convergence est une condition beaucoup plus forte que le fait d'être majoré.

Une suite majorée signifie qu'il existe un nombre $M$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n$. Une suite convergente signifie que $u_n$ se rapproche d'une valeur finie $L$ quand $n$ devient très grand. Une suite majorée n'est pas forcément convergente (ex: $u_n = -n$ est majorée par 0 mais tend vers $-\infty$).

💡 À retenir : La convergence est une condition beaucoup plus forte que le fait d'être majoré.

Comment calculer la limite d'une suite définie par u{n+1} = f(un) ?

Vérifie que la suite est convergente (croissante et majorée ou décroissante et minorée).
Résous l'équation $f(L) = L$ .
La limite est la solution de cette équation qui appartient à l'intervalle où se trouve la suite.

💡 À retenir : La continuité de $f$ est indispensable pour passer à la limite.

Vérifie que la suite est convergente (croissante et majorée ou décroissante et minorée).
Résous l'équation $f(L) = L$.
La limite est la solution de cette équation qui appartient à l'intervalle où se trouve la suite.

💡 À retenir : La continuité de $f$ est indispensable pour passer à la limite.

Est-ce que le terme général d'une suite doit toujours commencer par n=0 ?

Non, cela dépend de l'énoncé. Parfois la suite est définie pour $n \geq 1$ . La formule reste la même, il faut juste adapter l'indice de départ dans les formules de suites arithmétiques ou géométriques.

💡 À retenir : Regarde toujours l'indice de départ donné dans l'énoncé.

Non, cela dépend de l'énoncé. Parfois la suite est définie pour $n \geq 1$. La formule reste la même, il faut juste adapter l'indice de départ dans les formules de suites arithmétiques ou géométriques.

💡 À retenir : Regarde toujours l'indice de départ donné dans l'énoncé.

kifach n'biyen bli suite adjacente ?

Il faut montrer trois choses :

$(u_n)$ est croissante.
$(v_n)$ est décroissante.
$\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$ .

💡 À retenir : Les trois conditions sont obligatoires pour conclure.

Il faut montrer trois choses :

$(u_n)$ est croissante.
$(v_n)$ est décroissante.
$\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$.

💡 À retenir : Les trois conditions sont obligatoires pour conclure.

Si un est une suite géométrique de raison q, est-ce que un converge toujours ?

Non.

Si $|q| < 1$ , elle converge vers 0.
Si $q = 1$ , elle est constante et converge vers $u_0$ .
Si $q > 1$ ou $q \leq -1$ , elle diverge.

💡 À retenir : La raison $q$ détermine tout le comportement de la suite.

Non.

Si $|q| < 1$, elle converge vers 0.
Si $q = 1$, elle est constante et converge vers $u_0$.
Si $q > 1$ ou $q \leq -1$, elle diverge.

💡 À retenir : La raison $q$ détermine tout le comportement de la suite.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$ .

Montrer par récurrence que $u_n < 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .
Étudier la monotonie de $(u_n)$ .
En déduire que $(u_n)$ est convergente et calculer sa limite.

Exercice 1

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$.

Montrer par récurrence que $u_n < 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Étudier la monotonie de $(u_n)$.
En déduire que $(u_n)$ est convergente et calculer sa limite.

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Exercice 2

Soit $(u_n)$ définie par $u_n = \frac{2n+3}{n+1}$ .

Montrer que $u_n = 2 + \frac{1}{n+1}$ .
Étudier la monotonie de $(u_n)$ .
Déterminer la limite de $(u_n)$ quand $n \to +\infty$ .

Exercice 2

Soit $(u_n)$ définie par $u_n = \frac{2n+3}{n+1}$.

Montrer que $u_n = 2 + \frac{1}{n+1}$.
Étudier la monotonie de $(u_n)$.
Déterminer la limite de $(u_n)$ quand $n \to +\infty$.

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Exercice 3

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_3 = 7$ et $u_8 = 22$ .

Calculer la raison $r$ et le premier terme $u_0$ .
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
Calculer la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{10}$ .

Exercice 3

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_3 = 7$ et $u_8 = 22$.

Calculer la raison $r$ et le premier terme $u_0$.
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Calculer la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{10}$.

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