Fonctions primitives

Non, une fonction admet une infinité de primitives. Si $F$ est une primitive, alors $F+c$ est aussi une primitive pour tout réel $c$. Cependant, si on impose une condition initiale (ex: $F(1)=2$), alors la constante $c$ est unique.

💡 À retenir : Une fonction admet une infinité de primitives qui diffèrent d'une constante.

C'est simple : il suffit de dériver ton résultat $F(x)$. Si tu retrouves la fonction de départ $f(x)$, alors ton calcul est correct.

1. Calcule $F'(x)$.
2. Simplifie l'expression obtenue.
3. Vérifie si $F'(x) = f(x)$.

💡 À retenir : La dérivation est la preuve ultime de la justesse de ta primitive.

Absolument pas ! C'est une erreur grave. La primitive d'un produit $f \times g$ n'est pas égale à $F \times G$. Il faut toujours essayer de transformer l'expression pour la ramener à une forme connue comme $u'u^n$ ou $u'f'(u)$.

💡 À retenir : Il n'existe pas de règle simple pour la primitive d'un produit.

Attention, cette fonction n'est pas au programme dans ce chapitre (elle est liée aux fonctions logarithmes qui viennent après). Pour l'instant, concentre-toi sur les puissances $x^n$ avec $n \neq -1$.

💡 À retenir : La primitive de $\frac{1}{x}$ sera vue dans le chapitre des fonctions logarithmes.

Oui, c'est très important. Une fonction n'admet des primitives que sur un intervalle où elle est continue. Si la fonction n'est pas définie en un point (ex: $1/x^2$ en 0), tu dois préciser l'intervalle, par exemple $]0, +\infty[$.

💡 À retenir : La continuité est la condition nécessaire pour l'existence d'une primitive.

Oui, la formule $F(x) = \frac{u^{n+1}}{n+1}$ fonctionne pour n'importe quel $n \neq -1$, qu'il soit grand, petit ou même négatif (tant que $u \neq 0$).

1. Identifie $u(x)$.
2. Vérifie que $u'(x)$ est présent.
3. Applique la formule.

💡 À retenir : La forme $u'u^n$ est la plus fréquente aux examens.

Tu peux multiplier et diviser par ce coefficient. Par exemple, pour $f(x) = x(x^2+1)^3$, il manque un $2$ pour avoir $u' = 2x$.

1. Écris $f(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x(x^2+1)^3$.
2. La primitive est $\frac{1}{2} \cdot \frac{(x^2+1)^4}{4} = \frac{(x^2+1)^4}{8}$.

💡 À retenir : On peut ajuster les constantes multiplicatives, mais jamais les variables $x$.

Oui, c'est la règle de linéarité. Si $f(x) = g(x) + h(x)$, alors $F(x) = G(x) + H(x) + c$. Cela permet de traiter chaque terme séparément.

💡 À retenir : La primitive respecte l'addition et la multiplication par un réel.

Regarde la structure de ta fonction :

1. Si c'est une puissance de parenthèses, pense à $u'u^n$.
2. Si c'est une fraction avec un carré au dénominateur, pense à $u'/u^2$.
3. Si c'est un polynôme simple, utilise les formules de base.

💡 À retenir : Analyse toujours la forme avant de commencer.

Oui, pour une fonction donnée sur un intervalle, on utilise une seule constante $c$. Si on te donne deux intervalles différents, tu peux avoir deux constantes différentes, mais c'est rare au bac.

💡 À retenir : Une seule constante $c$ suffit pour l'expression générale.

Non, il suffit de connaître les dérivées par cœur.

1. Dérivée de $\sin$ est $\cos$.
2. Dérivée de $\cos$ est $-\sin$. Donc, la primitive de $\cos$ est $\sin$, et celle de $\sin$ est $-\cos$.

💡 À retenir : $\int \cos(x) dx = \sin(x) + c$ et $\int \sin(x) dx = -\cos(x) + c$.

Il est fortement conseillé de simplifier au maximum. Un examinateur préfère voir $\frac{1}{8}(x^2+1)^4$ plutôt qu'une expression complexe non réduite.

💡 À retenir : La clarté et la simplification sont valorisées dans la correction.