Mathématiques · 2ème Année Bac — Langue arabe

دراسة الدوال العددية للسنة الثانية باكالوريا

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Pour une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ :

Domaine de définition $D_f$ : Ensemble des $x$ tels que $f(x)$ existe.
Limites aux bornes : Étude du comportement de $f$ vers $\pm \infty$ ou aux bornes finies.
Dérivabilité et variations : Si $f'(x) > 0$ , $f$ est strictement croissante. Si $f'(x) < 0$ , $f$ est strictement décroissante.
Extremums : Si $f'$ s'annule en changeant de signe, $f$ admet un extremum local.
Représentation graphique : Utilisation des asymptotes (horizontales, verticales) et des points d'intersection avec les axes $(Ox)$ et $(Oy)$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul de dérivée : Appliquer les formules usuelles $(x^n)' = nx^{n-1}$ , $(uv)' = u'v + uv'$ , $(u+v)' = u'+v'$ .
Tableau de variations : Placer $x$ , le signe de $f'(x)$ et les variations de $f$ avec les limites.
Équation de la tangente : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ au point d'abscisse $a$ .

Exemples corrigés

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$ .

$f'(x) = 2x - 4$ .
$f'(x) = 0 \iff x = 2$ .
$f$ décroît sur $]-\infty, 2]$ et croît sur $[2, +\infty[$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser le domaine de définition avant de calculer la dérivée.
Confondre le signe de la dérivée avec le signe de la fonction.
Ne pas calculer les images des bornes dans le tableau de variations.

L'essentiel du cours

Pour une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ :

Domaine de définition $D_f$ : Ensemble des $x$ tels que $f(x)$ existe.
Limites aux bornes : Étude du comportement de $f$ vers $\pm \infty$ ou aux bornes finies.
Dérivabilité et variations : Si $f'(x) > 0$, $f$ est strictement croissante. Si $f'(x) < 0$, $f$ est strictement décroissante.
Extremums : Si $f'$ s'annule en changeant de signe, $f$ admet un extremum local.
Représentation graphique : Utilisation des asymptotes (horizontales, verticales) et des points d'intersection avec les axes $(Ox)$ et $(Oy)$.

Méthodes à maîtriser

Calcul de dérivée : Appliquer les formules usuelles $(x^n)' = nx^{n-1}$, $(uv)' = u'v + uv'$, $(u+v)' = u'+v'$.
Tableau de variations : Placer $x$, le signe de $f'(x)$ et les variations de $f$ avec les limites.
Équation de la tangente : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ au point d'abscisse $a$.

Exemples corrigés

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

$f'(x) = 2x - 4$.
$f'(x) = 0 \iff x = 2$.
$f$ décroît sur $]-\infty, 2]$ et croît sur $[2, +\infty[$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser le domaine de définition avant de calculer la dérivée.
Confondre le signe de la dérivée avec le signe de la fonction.
Ne pas calculer les images des bornes dans le tableau de variations.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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La dérivée de $f(x) = 5x^2 - 3x + 1$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si une fonction est croissante ou décroissante ?

Calcule la dérivée $f'(x)$ .
Étudie le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle donné.
Si $f'(x) \geq 0$ , alors $f$ est croissante.
Si $f'(x) \leq 0$ , alors $f$ est décroissante.

💡 À retenir : Le signe de la dérivée donne le sens de variation.

Calcule la dérivée $f'(x)$.
Étudie le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle donné.
Si $f'(x) \geq 0$, alors $f$ est croissante.
Si $f'(x) \leq 0$, alors $f$ est décroissante.

💡 À retenir : Le signe de la dérivée donne le sens de variation.

Kifach n7seb l'image dyal wahed l'intervalle [a, b] ?

Si $f$ est croissante sur $[a, b]$ , alors $f([a, b]) = [f(a), f(b)]$ .
Si $f$ est décroissante sur $[a, b]$ , alors $f([a, b]) = [f(b), f(a)]$ .

💡 À retenir : Si la fonction est croissante, on garde l'ordre ; si elle est décroissante, on l'inverse.

Si $f$ est croissante sur $[a, b]$, alors $f([a, b]) = [f(a), f(b)]$.
Si $f$ est décroissante sur $[a, b]$, alors $f([a, b]) = [f(b), f(a)]$.

💡 À retenir : Si la fonction est croissante, on garde l'ordre ; si elle est décroissante, on l'inverse.

C'est quoi une asymptote horizontale ?

C'est une droite d'équation $y = L$ telle que la courbe se rapproche de cette droite quand $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ .

Calcule $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ .
Si $L$ est un nombre réel, alors $y=L$ est une asymptote horizontale.

💡 À retenir : Une limite infinie à l'infini exclut l'asymptote horizontale.

C'est une droite d'équation $y = L$ telle que la courbe se rapproche de cette droite quand $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$.

Calcule $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$.
Si $L$ est un nombre réel, alors $y=L$ est une asymptote horizontale.

💡 À retenir : Une limite infinie à l'infini exclut l'asymptote horizontale.

Wach darouri n7seb les limites f les bornes dyal Df ?

Oui, c'est obligatoire pour tracer la courbe et comprendre le comportement de la fonction.

Identifie les bornes de $D_f$ (ex: $-\infty, +\infty$ ou des nombres).
Calcule la limite pour chaque borne.

💡 À retenir : Les limites aux bornes sont indispensables pour le tableau de variations.

Oui, c'est obligatoire pour tracer la courbe et comprendre le comportement de la fonction.

Identifie les bornes de $D_f$ (ex: $-\infty, +\infty$ ou des nombres).
Calcule la limite pour chaque borne.

💡 À retenir : Les limites aux bornes sont indispensables pour le tableau de variations.

Comment déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse a ?

Utilise la formule : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .

Calcule $f(a)$ .
Calcule $f'(x)$ puis $f'(a)$ .
Remplace dans la formule et développe.

💡 À retenir : La tangente est une droite, son équation est toujours de la forme $y = mx + p$ .

Utilise la formule : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.

Calcule $f(a)$.
Calcule $f'(x)$ puis $f'(a)$.
Remplace dans la formule et développe.

💡 À retenir : La tangente est une droite, son équation est toujours de la forme $y = mx + p$.

Kifach n3ref wach l'extremum est un maximum ou un minimum ?

Si $f'(x)$ passe de $+$ à $-$ en $a$ , $f(a)$ est un maximum local.
Si $f'(x)$ passe de $-$ à $+$ en $a$ , $f(a)$ est un minimum local.

💡 À retenir : Le changement de signe de la dérivée est la clé.

Si $f'(x)$ passe de $+$ à $-$ en $a$, $f(a)$ est un maximum local.
Si $f'(x)$ passe de $-$ à $+$ en $a$, $f(a)$ est un minimum local.

💡 À retenir : Le changement de signe de la dérivée est la clé.

Est-ce que je dois toujours calculer la dérivée seconde ?

Non, au programme de 2ème Bac Lettres, l'étude de la dérivée seconde (concavité/point d'inflexion) n'est pas systématiquement exigée (à vérifier par le professeur).

💡 À retenir : Concentre-toi sur la dérivée première pour les variations.

Comment trouver les points d'intersection avec l'axe des abscisses ?

Résous l'équation $f(x) = 0$ .
Les solutions $x_1, x_2...$ sont les abscisses des points d'intersection $(x_1, 0), (x_2, 0)$ .

💡 À retenir : L'axe des abscisses a pour équation $y=0$ .

Résous l'équation $f(x) = 0$.
Les solutions $x_1, x_2...$ sont les abscisses des points d'intersection $(x_1, 0), (x_2, 0)$.

💡 À retenir : L'axe des abscisses a pour équation $y=0$.

Si f'(x) ne s'annule jamais, que dire des variations ?

Si $f'(x)$ ne s'annule jamais, alors $f$ est strictement monotone (toujours croissante ou toujours décroissante) sur son intervalle.

💡 À retenir : Il n'y a pas d'extremum dans ce cas.

Si $f'(x)$ ne s'annule jamais, alors $f$ est strictement monotone (toujours croissante ou toujours décroissante) sur son intervalle.

💡 À retenir : Il n'y a pas d'extremum dans ce cas.

C'est quoi le domaine de définition d'une fonction rationnelle ?

C'est l'ensemble des réels sauf ceux qui annulent le dénominateur.

Pose $D(x) = 0$ .
Résous l'équation.
$D_f = \mathbb{R} \setminus \{solutions\}$ .

💡 À retenir : On ne divise jamais par zéro.

C'est l'ensemble des réels sauf ceux qui annulent le dénominateur.

Pose $D(x) = 0$.
Résous l'équation.
$D_f = \mathbb{R} \setminus {solutions}$.

💡 À retenir : On ne divise jamais par zéro.

Comment tracer la courbe si j'ai une asymptote verticale ?

Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$ , alors la droite $x=a$ est une asymptote verticale.

Trace la droite en pointillés.
Fais approcher la courbe de cette droite près de $a$ .

💡 À retenir : La courbe ne traverse jamais une asymptote verticale.

Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$, alors la droite $x=a$ est une asymptote verticale.

Trace la droite en pointillés.
Fais approcher la courbe de cette droite près de $a$.

💡 À retenir : La courbe ne traverse jamais une asymptote verticale.

Est-ce que je peux utiliser la calculatrice pour trouver les variations ?

Non, tu dois rédiger les étapes mathématiques (calcul de dérivée, signe, tableau) pour obtenir les points.

💡 À retenir : Seule la méthode algébrique est acceptée à l'examen.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f(x) = x^2 - 2x - 3$ .

Déterminer $D_f$ .
Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations.

Exercice 1

Soit $f(x) = x^2 - 2x - 3$.

Déterminer $D_f$.
Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$ .

Déterminer $D_f$ .
Calculer $f'(x)$ .
Donner le sens de variation.

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$.

Déterminer $D_f$.
Calculer $f'(x)$.
Donner le sens de variation.

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Exercice 3

Soit $f(x) = x^3 - 3x$ .

Étudier les limites en $\pm \infty$ .
Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations.
Déterminer les points d'intersection avec l'axe des abscisses.

Exercice 3

Soit $f(x) = x^3 - 3x$.

Étudier les limites en $\pm \infty$.
Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations.
Déterminer les points d'intersection avec l'axe des abscisses.

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