Mathématiques · 2ème Année Bac — Langue arabe

التعداد مادة الرياضيات للسنة الثانية باكالوريا آداب وعلوم انسانية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le dénombrement permet de compter le nombre de possibilités dans une situation donnée.

Le principe multiplicatif : Si une opération se fait en $n$ étapes, avec $p_1$ choix pour la première, $p_2$ pour la deuxième, ..., $p_n$ pour la dernière, le nombre total est $p_1 \times p_2 \times ... \times p_n$ .
Le Factoriel : Pour tout entier $n \in \mathbb{N}^*$ , $n! = n \times (n-1) \times ... \times 1$ . Par convention $0! = 1$ .
Arrangements : Le nombre de façons de choisir et d'ordonner $p$ éléments parmi $n$ est $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$ .
Permutations : Le nombre de façons d'ordonner $n$ éléments est $n!$ .
Combinaisons : Le nombre de façons de choisir $p$ éléments parmi $n$ (sans ordre) est $C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ .

Méthodes à maîtriser

Identifier l'ordre : Si l'ordre compte, on utilise les arrangements ou le principe multiplicatif. Si l'ordre ne compte pas, on utilise les combinaisons.
Tirages :
- Avec remise : On utilise le principe multiplicatif ( $n^p$ ).
- Sans remise (successif) : On utilise les arrangements $A_n^p$ .
- Simultané : On utilise les combinaisons $C_n^p$ .

Exemples corrigés

Combinaison : Choisir 3 élèves parmi 10 pour un comité : $C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ .
Arrangement : Choisir un président et un secrétaire parmi 10 élèves : $A_{10}^2 = 10 \times 9 = 90$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^p$ et $C_n^p$ : Rappelez-vous que $C_n^p$ est plus petit car on divise par l'ordre ( $p!$ ).
Oublier que $C_n^n = 1$ et $C_n^1 = n$ .
Penser que l'ordre compte quand il n'est pas précisé (ex: "tirer 3 boules simultanément" signifie toujours sans ordre).

L'essentiel du cours

Le dénombrement permet de compter le nombre de possibilités dans une situation donnée.

Le principe multiplicatif : Si une opération se fait en $n$ étapes, avec $p_1$ choix pour la première, $p_2$ pour la deuxième, ..., $p_n$ pour la dernière, le nombre total est $p_1 \times p_2 \times ... \times p_n$.
Le Factoriel : Pour tout entier $n \in \mathbb{N}^*$, $n! = n \times (n-1) \times ... \times 1$. Par convention $0! = 1$.
Arrangements : Le nombre de façons de choisir et d'ordonner $p$ éléments parmi $n$ est $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$.
Permutations : Le nombre de façons d'ordonner $n$ éléments est $n!$.
Combinaisons : Le nombre de façons de choisir $p$ éléments parmi $n$ (sans ordre) est $C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!}$.

Méthodes à maîtriser

Identifier l'ordre : Si l'ordre compte, on utilise les arrangements ou le principe multiplicatif. Si l'ordre ne compte pas, on utilise les combinaisons.
Tirages :
- Avec remise : On utilise le principe multiplicatif ($n^p$).
- Sans remise (successif) : On utilise les arrangements $A_n^p$.
- Simultané : On utilise les combinaisons $C_n^p$.

Exemples corrigés

Combinaison : Choisir 3 élèves parmi 10 pour un comité : $C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.
Arrangement : Choisir un président et un secrétaire parmi 10 élèves : $A_{10}^2 = 10 \times 9 = 90$.

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^p$ et $C_n^p$ : Rappelez-vous que $C_n^p$ est plus petit car on divise par l'ordre ($p!$).
Oublier que $C_n^n = 1$ et $C_n^1 = n$.
Penser que l'ordre compte quand il n'est pas précisé (ex: "tirer 3 boules simultanément" signifie toujours sans ordre).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 التعداد مادة الرياضيات للسنة الثانية باكالوريا آداب وعلوم انسانية

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Combien vaut $3!$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que l'ordre est important dans les combinaisons ?

Non, dans les combinaisons, l'ordre n'a aucune importance. On s'intéresse uniquement à la composition du groupe. Par exemple, choisir les élèves A et B est la même chose que choisir B et A.

💡 À retenir : Combinaison = Groupe (pas d'ordre).

Kifach n3ref wach nkhdem b An^p wla Cn^p ?

Pose-toi la question : "Est-ce que si j'inverse deux éléments, le résultat change ?"
Si oui (ex: un podium, un code secret), utilise $A_n^p$ .
Si non (ex: une main de cartes, un groupe d'élèves), utilise $C_n^p$ .

💡 À retenir : Si l'ordre compte, c'est un arrangement. Sinon, c'est une combinaison.

Pose-toi la question : "Est-ce que si j'inverse deux éléments, le résultat change ?"
Si oui (ex: un podium, un code secret), utilise $A_n^p$.
Si non (ex: une main de cartes, un groupe d'élèves), utilise $C_n^p$.

💡 À retenir : Si l'ordre compte, c'est un arrangement. Sinon, c'est une combinaison.

Que signifie le symbole n! ?

C'est le produit de tous les entiers de 1 jusqu'à $n$ . Par exemple : $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ .

💡 À retenir : $n!$ représente le nombre de façons d'ordonner $n$ objets.

C'est le produit de tous les entiers de 1 jusqu'à $n$. Par exemple : $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

💡 À retenir : $n!$ représente le nombre de façons d'ordonner $n$ objets.

Chno hiya lfer9 bin tirage successif avec remise et sans remise ?

Avec remise : Après chaque tirage, on remet l'objet dans l'urne. Le nombre de choix reste constant ( $n^p$ ).
Sans remise : On ne remet pas l'objet. Le nombre de choix diminue à chaque étape ( $A_n^p$ ).

💡 À retenir : "Avec remise" = puissance, "Sans remise" = arrangement.

Avec remise : Après chaque tirage, on remet l'objet dans l'urne. Le nombre de choix reste constant ($n^p$).
Sans remise : On ne remet pas l'objet. Le nombre de choix diminue à chaque étape ($A_n^p$).

💡 À retenir : "Avec remise" = puissance, "Sans remise" = arrangement.

Comment calculer Cn^p rapidement sans calculatrice ?

Utilise la formule simplifiée : $C_n^p = \frac{n \times (n-1) \times ... \times (n-p+1)}{p!}$ . Exemple pour $C_5^2$ : $\frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ .

💡 À retenir : Simplifie toujours les fractions avant de multiplier.

Utilise la formule simplifiée : $C_n^p = \frac{n \times (n-1) \times ... \times (n-p+1)}{p!}$. Exemple pour $C_5^2$ : $\frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.

💡 À retenir : Simplifie toujours les fractions avant de multiplier.

Wach Cn^0 kayn f l'examen ?

Oui, il faut savoir que $C_n^0 = 1$ (il n'y a qu'une seule façon de ne rien choisir). De même, $C_n^n = 1$ .

💡 À retenir : $C_n^0 = 1$ et $C_n^n = 1$ .

Oui, il faut savoir que $C_n^0 = 1$ (il n'y a qu'une seule façon de ne rien choisir). De même, $C_n^n = 1$.

💡 À retenir : $C_n^0 = 1$ et $C_n^n = 1$.

Est-ce que je peux utiliser le principe multiplicatif pour tout ?

Oui, c'est la base de tout le dénombrement. Si tu es bloqué, décompose ton problème en étapes simples et multiplie le nombre de choix pour chaque étape.

💡 À retenir : Le principe multiplicatif est l'outil le plus puissant.

Si on tire 3 boules simultanément, est-ce que c'est An^p ?

Non, un tirage simultané est par définition un tirage sans ordre. On utilise toujours $C_n^p$ .

💡 À retenir : Simultané = Combinaison.

Non, un tirage simultané est par définition un tirage sans ordre. On utilise toujours $C_n^p$.

💡 À retenir : Simultané = Combinaison.

Combien de façons de ranger 5 livres sur une étagère ?

C'est une permutation de 5 éléments, donc $5!$ . $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ .

💡 À retenir : Ranger $n$ objets = $n!$ .

C'est une permutation de 5 éléments, donc $5!$. $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

💡 À retenir : Ranger $n$ objets = $n!$.

Est-ce que Cn^p = Cn^{n-p} ?

Oui, c'est une propriété très utile. Choisir $p$ objets à garder revient à choisir $n-p$ objets à laisser.

💡 À retenir : $C_n^p = C_n^{n-p}$ .

Oui, c'est une propriété très utile. Choisir $p$ objets à garder revient à choisir $n-p$ objets à laisser.

💡 À retenir : $C_n^p = C_n^{n-p}$.

Est-ce que je dois justifier le choix de la formule ?

Oui, à l'examen, écris toujours : "Le nombre de façons de choisir... est donné par la combinaison..." ou "Comme l'ordre compte, on utilise...".

💡 À retenir : La justification montre que tu as compris le problème.

Chhal hiya 0! ?

Par convention mathématique, $0! = 1$ . C'est indispensable pour que les formules des arrangements et combinaisons fonctionnent.

💡 À retenir : $0! = 1$ .

Par convention mathématique, $0! = 1$. C'est indispensable pour que les formules des arrangements et combinaisons fonctionnent.

💡 À retenir : $0! = 1$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 8 boules : 5 rouges et 3 noires. On tire simultanément 3 boules de l'urne. Calculer le nombre de tirages possibles.

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Exercice 2

Un club compte 10 membres. On veut élire un président et un vice-président. Combien de choix y a-t-il ?

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Exercice 3

Dans une classe de 20 élèves, on veut former un comité de 3 élèves. Combien de comités différents peut-on former ?

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