Mathématiques · 2ème Année Bac — Langue arabe

الاشتقاق و دراسة الدوال الجذرية للثانية باك آداب وعلوم إنسانية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Nombre dérivé : Le nombre dérivé de $f$ en $a$ , noté $f'(a)$ , est la limite $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ . Il représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe $(C_f)$ au point d'abscisse $a$ .
Fonction dérivée : La fonction qui associe à chaque $x$ le nombre $f'(x)$ .
Formules usuelles : $(x^n)' = nx^{n-1}$ ; $(ax+b)' = a$ ; $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ .
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$ ; $(uv)' = u'v + uv'$ ; $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ .
Fonctions rationnelles : $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ . Le domaine de définition $D_f$ est $\{x \in \mathbb{R} / Q(x) \neq 0\}$ .

Méthodes à maîtriser

Calculer une dérivée : Identifier la forme de la fonction (somme, produit, quotient) et appliquer la formule correspondante.
Étudier le signe de $f'(x)$ : Résoudre $f'(x) = 0$ puis dresser le tableau de signe pour déterminer les variations.
Équation de la tangente : Utiliser la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .
Tableau de variations : Inclure les limites aux bornes et le signe de la dérivée.

Exemples corrigés

Dérivée : Soit $f(x) = x^2 + 3x - 1$ . Alors $f'(x) = 2x + 3$ .
Tangente : Pour $f(x) = x^2$ en $a=1$ : $f(1)=1$ et $f'(1)=2(1)=2$ . L'équation est $y = 2(x-1) + 1 = 2x - 1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser le domaine de définition avant de dériver.
Confondre la dérivée d'un produit $(uv)'$ avec $u'v'$ .
Se tromper dans le signe de la dérivée d'un quotient (oublier le signe « - »).

L'essentiel du cours

Nombre dérivé : Le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$, est la limite $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$. Il représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe $(C_f)$ au point d'abscisse $a$.
Fonction dérivée : La fonction qui associe à chaque $x$ le nombre $f'(x)$.
Formules usuelles : $(x^n)' = nx^{n-1}$ ; $(ax+b)' = a$ ; $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$ ; $(uv)' = u'v + uv'$ ; $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Fonctions rationnelles : $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$. Le domaine de définition $D_f$ est ${x \in \mathbb{R} / Q(x) \neq 0}$.

Méthodes à maîtriser

Calculer une dérivée : Identifier la forme de la fonction (somme, produit, quotient) et appliquer la formule correspondante.
Étudier le signe de $f'(x)$ : Résoudre $f'(x) = 0$ puis dresser le tableau de signe pour déterminer les variations.
Équation de la tangente : Utiliser la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
Tableau de variations : Inclure les limites aux bornes et le signe de la dérivée.

Exemples corrigés

Dérivée : Soit $f(x) = x^2 + 3x - 1$. Alors $f'(x) = 2x + 3$.
Tangente : Pour $f(x) = x^2$ en $a=1$ : $f(1)=1$ et $f'(1)=2(1)=2$. L'équation est $y = 2(x-1) + 1 = 2x - 1$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser le domaine de définition avant de dériver.
Confondre la dérivée d'un produit $(uv)'$ avec $u'v'$.
Se tromper dans le signe de la dérivée d'un quotient (oublier le signe « - »).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 الاشتقاق و دراسة الدوال الجذرية للثانية باك آداب وعلوم إنسانية

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La dérivée de $f(x) = 5x^2$ est :

❓ Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une fonction rationnelle ?

Une fonction rationnelle est le quotient de deux fonctions polynômes, c'est-à-dire qu'elle s'écrit sous la forme $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ où $P$ et $Q$ sont des polynômes.

💡 À retenir : Le domaine de définition est toujours $\mathbb{R}$ privé des valeurs qui annulent le dénominateur $Q(x)$ .

Une fonction rationnelle est le quotient de deux fonctions polynômes, c'est-à-dire qu'elle s'écrit sous la forme $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ où $P$ et $Q$ sont des polynômes.

💡 À retenir : Le domaine de définition est toujours $\mathbb{R}$ privé des valeurs qui annulent le dénominateur $Q(x)$.

Kifach n7seb l'equation dyal la tangente?

Pour calculer l'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ :

Calcule l'image $f(a)$ .
Calcule la dérivée $f'(x)$ puis $f'(a)$ .
Applique la formule : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .

💡 À retenir : La tangente est une droite, son équation est toujours de la forme $y = mx + p$ .

Pour calculer l'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ :

Calcule l'image $f(a)$.
Calcule la dérivée $f'(x)$ puis $f'(a)$.
Applique la formule : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.

💡 À retenir : La tangente est une droite, son équation est toujours de la forme $y = mx + p$.

Est-ce que la dérivée d'une constante est toujours nulle ?

Oui, absolument. Si $f(x) = k$ (où $k$ est un nombre réel), alors $f'(x) = 0$ . Cela signifie que la courbe est une droite horizontale.

💡 À retenir : La dérivée mesure la variation ; une constante ne varie pas, donc sa dérivée est nulle.

Oui, absolument. Si $f(x) = k$ (où $k$ est un nombre réel), alors $f'(x) = 0$. Cela signifie que la courbe est une droite horizontale.

💡 À retenir : La dérivée mesure la variation ; une constante ne varie pas, donc sa dérivée est nulle.

Chno hiya l'utilité dyal tableau de variations ?

Le tableau de variations sert à visualiser le comportement de la fonction :

Savoir où la fonction monte (croissante) ou descend (décroissante).
Identifier les valeurs maximales et minimales.
Représenter graphiquement la courbe plus facilement.

💡 À retenir : Si $f'(x) > 0$ , $f$ est croissante. Si $f'(x) < 0$ , $f$ est décroissante.

Le tableau de variations sert à visualiser le comportement de la fonction :

Savoir où la fonction monte (croissante) ou descend (décroissante).
Identifier les valeurs maximales et minimales.
Représenter graphiquement la courbe plus facilement.

💡 À retenir : Si $f'(x) > 0$, $f$ est croissante. Si $f'(x) < 0$, $f$ est décroissante.

Comment savoir si une fonction est dérivable en un point ?

Une fonction est dérivable en $a$ si la limite $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ existe et est un nombre réel fini.

💡 À retenir : Si la limite est $\infty$ , la fonction n'est pas dérivable en ce point.

Une fonction est dérivable en $a$ si la limite $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ existe et est un nombre réel fini.

💡 À retenir : Si la limite est $\infty$, la fonction n'est pas dérivable en ce point.

Wach darouri n7seb les limites f tableau de variations ?

Oui, c'est obligatoire. Le tableau de variations doit montrer le comportement de la fonction aux bornes de son domaine de définition (en $+\infty$ , $-\infty$ ou aux valeurs interdites).

💡 À retenir : Les limites permettent de savoir d'où vient la courbe et vers où elle se dirige.

Oui, c'est obligatoire. Le tableau de variations doit montrer le comportement de la fonction aux bornes de son domaine de définition (en $+\infty$, $-\infty$ ou aux valeurs interdites).

💡 À retenir : Les limites permettent de savoir d'où vient la courbe et vers où elle se dirige.

Quelle est la dérivée de frac{1}{x} ?

La dérivée de $f(x) = \frac{1}{x}$ est $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ .

💡 À retenir : Cette formule est très utile pour les fonctions rationnelles.

La dérivée de $f(x) = \frac{1}{x}$ est $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.

💡 À retenir : Cette formule est très utile pour les fonctions rationnelles.

Comment dériver f(x) = (2x+1)^2 ?

Tu as deux choix :

Développer d'abord : $f(x) = 4x^2 + 4x + 1$ , donc $f'(x) = 8x + 4$ .
Utiliser la formule $(u^n)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}$ : $f'(x) = 2 \cdot (2)' \cdot (2x+1) = 4(2x+1) = 8x + 4$ .

💡 À retenir : Le développement est souvent plus simple pour les polynômes de degré 2.

Tu as deux choix :

Développer d'abord : $f(x) = 4x^2 + 4x + 1$, donc $f'(x) = 8x + 4$.
Utiliser la formule $(u^n)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}$ : $f'(x) = 2 \cdot (2)' \cdot (2x+1) = 4(2x+1) = 8x + 4$.

💡 À retenir : Le développement est souvent plus simple pour les polynômes de degré 2.

Est-ce que la dérivée d'une somme est la somme des dérivées ?

Oui, c'est une règle fondamentale : $(f+g)' = f' + g'$ .

💡 À retenir : Tu peux dériver chaque terme séparément sans problème.

Oui, c'est une règle fondamentale : $(f+g)' = f' + g'$.

💡 À retenir : Tu peux dériver chaque terme séparément sans problème.

Kifach n3ref wach la fonction croissante wla décroissante ?

Il suffit de regarder le signe de la dérivée $f'(x)$ :

Si $f'(x) \geq 0$ , la fonction est croissante.
Si $f'(x) \leq 0$ , la fonction est décroissante.

💡 À retenir : Le signe de $f'$ dicte le sens de variation de $f$ .

Il suffit de regarder le signe de la dérivée $f'(x)$ :

Si $f'(x) \geq 0$, la fonction est croissante.
Si $f'(x) \leq 0$, la fonction est décroissante.

💡 À retenir : Le signe de $f'$ dicte le sens de variation de $f$.

C'est quoi le nombre dérivé ?

C'est la valeur de la dérivée en un point précis $a$ . Il nous donne la pente de la tangente à la courbe en ce point.

💡 À retenir : $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$ .

C'est la valeur de la dérivée en un point précis $a$. Il nous donne la pente de la tangente à la courbe en ce point.

💡 À retenir : $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$.

Est-ce que le domaine de définition change après la dérivation ?

Oui, parfois. Le domaine de définition de $f'$ est souvent inclus dans celui de $f$ . Par exemple, pour $f(x) = \sqrt{x}$ , $D_f = [0, +\infty[$ mais $D_{f'} = ]0, +\infty[$ .

💡 À retenir : Vérifie toujours où la dérivée est définie.

Oui, parfois. Le domaine de définition de $f'$ est souvent inclus dans celui de $f$. Par exemple, pour $f(x) = \sqrt{x}$, $D_f = [0, +\infty[$ mais $D_{f'} = ]0, +\infty[$.

💡 À retenir : Vérifie toujours où la dérivée est définie.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ par $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$ .

Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$ .
Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus {1}$ par $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$.

Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus {1}$.
Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$ .

Calculer $f'(x)$ .
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe $(C_f)$ au point d'abscisse $a=2$ .

Exercice 2

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

Calculer $f'(x)$.
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe $(C_f)$ au point d'abscisse $a=2$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x$ .

Calculer $f'(x)$ .
Résoudre $f'(x) = 0$ .
En déduire les extremums de la fonction.

Exercice 3

Soit $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x$.

Calculer $f'(x)$.
Résoudre $f'(x) = 0$.
En déduire les extremums de la fonction.

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