Mathématiques · 2ème Année Bac — Langue arabe

المتتالية الترجعية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une suite récurrente est définie par son premier terme $u_0$ (ou $u_1$ ) et une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ .

Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$ . Terme général : $u_n = u_0 + n \cdot r$ .
Suite géométrique : $u_{n+1} = q \cdot u_n$ . Terme général : $u_n = u_0 \cdot q^n$ .
Monotonie : On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$ . Si $u_{n+1} - u_n > 0$ , la suite est croissante.

Méthodes à maîtriser

Calcul des premiers termes : Remplacer $n$ par les valeurs successives.
Démontrer qu'une suite est arithmétique ou géométrique : Calculer $u_{n+1} - u_n$ (pour arithmétique) ou le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (pour géométrique).
Utilisation du terme général : Calculer $u_n$ en fonction de $n$ pour trouver une valeur précise sans calculer tous les termes précédents.

Exemples corrigés

Exemple : Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r=3$ et $u_0=2$ . Calculer $u_n$ : $u_n = u_0 + n \cdot r = 2 + 3n$ . Pour $n=10$ , $u_{10} = 2 + 3(10) = 32$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $u_{n+1} = u_n + r$ et $u_n = u_0 + nr$ .
Oublier que pour une suite géométrique, $u_n = u_p \cdot q^{n-p}$ .
Se tromper dans l'indice de départ (commencer par $n=0$ ou $n=1$ selon l'énoncé).

L'essentiel du cours

Une suite récurrente est définie par son premier terme $u_0$ (ou $u_1$) et une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$.

Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$. Terme général : $u_n = u_0 + n \cdot r$.
Suite géométrique : $u_{n+1} = q \cdot u_n$. Terme général : $u_n = u_0 \cdot q^n$.
Monotonie : On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$. Si $u_{n+1} - u_n > 0$, la suite est croissante.

Méthodes à maîtriser

Calcul des premiers termes : Remplacer $n$ par les valeurs successives.
Démontrer qu'une suite est arithmétique ou géométrique : Calculer $u_{n+1} - u_n$ (pour arithmétique) ou le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (pour géométrique).
Utilisation du terme général : Calculer $u_n$ en fonction de $n$ pour trouver une valeur précise sans calculer tous les termes précédents.

Exemples corrigés

Exemple : Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r=3$ et $u_0=2$. Calculer $u_n$ : $u_n = u_0 + n \cdot r = 2 + 3n$. Pour $n=10$, $u_{10} = 2 + 3(10) = 32$.

Erreurs fréquentes

Confondre $u_{n+1} = u_n + r$ et $u_n = u_0 + nr$.
Oublier que pour une suite géométrique, $u_n = u_p \cdot q^{n-p}$.
Se tromper dans l'indice de départ (commencer par $n=0$ ou $n=1$ selon l'énoncé).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Si $u_n = 3n + 2$ , quelle est la raison de cette suite arithmétique ?

Si $u_n = 3n + 2$, quelle est la raison de cette suite arithmétique ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre une suite arithmétique et géométrique ?

Une suite est arithmétique si on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ (la raison).
Une suite est géométrique si on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$ (la raison).

💡 À retenir : Arithmétique = Addition, Géométrique = Multiplication.

Une suite est arithmétique si on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ (la raison).
Une suite est géométrique si on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$ (la raison).

💡 À retenir : Arithmétique = Addition, Géométrique = Multiplication.

Kifach n7seb un ila 3tani u0 o r ?

Utilise la formule du terme général : $u_n = u_0 + n \times r$ .
Remplace $u_0$ et $r$ par les valeurs données dans l'énoncé.
Laisse le $n$ tel quel, c'est lui qui définit la position du terme.

💡 À retenir : La formule $u_n = u_0 + nr$ est ton outil principal pour les suites arithmétiques.

Utilise la formule du terme général : $u_n = u_0 + n \times r$.
Remplace $u_0$ et $r$ par les valeurs données dans l'énoncé.
Laisse le $n$ tel quel, c'est lui qui définit la position du terme.

💡 À retenir : La formule $u_n = u_0 + nr$ est ton outil principal pour les suites arithmétiques.

Comment savoir si une suite est croissante ou décroissante ?

Calcule la différence $D = u_{n+1} - u_n$ .
Si $D > 0$ , alors la suite est croissante.
Si $D < 0$ , alors la suite est décroissante.

💡 À retenir : Le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ détermine le sens de variation.

Calcule la différence $D = u_{n+1} - u_n$.
Si $D > 0$, alors la suite est croissante.
Si $D < 0$, alors la suite est décroissante.

💡 À retenir : Le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ détermine le sens de variation.

Chno hiya l'utilité dyal un en fonction de n ?

Elle permet de calculer n'importe quel terme directement.
Sans elle, tu devrais calculer tous les termes précédents un par un (ce qui est très long).
Elle permet d'étudier le comportement de la suite quand $n$ devient très grand.

💡 À retenir : Le terme général est un raccourci mathématique puissant.

Elle permet de calculer n'importe quel terme directement.
Sans elle, tu devrais calculer tous les termes précédents un par un (ce qui est très long).
Elle permet d'étudier le comportement de la suite quand $n$ devient très grand.

💡 À retenir : Le terme général est un raccourci mathématique puissant.

Est-ce que la raison r peut être négative ?

Oui, tout à fait. Si $r < 0$ , la suite arithmétique est décroissante car on ajoute un nombre négatif à chaque étape.

💡 À retenir : Une raison négative fait diminuer les termes de la suite.

Oui, tout à fait. Si $r < 0$, la suite arithmétique est décroissante car on ajoute un nombre négatif à chaque étape.

💡 À retenir : Une raison négative fait diminuer les termes de la suite.

Kifach n3ref wach l'exercice 3la suite arithmétique wla géométrique ?

Regarde la relation donnée : si c'est $u_{n+1} = u_n + \text{nombre}$ , c'est arithmétique.
Si c'est $u_{n+1} = u_n \times \text{nombre}$ , c'est géométrique.
Si l'énoncé ne précise rien, calcule $u_1-u_0$ et $u_2-u_1$ pour voir s'il y a une différence constante.

💡 À retenir : Observe bien l'opération entre $u_n$ et le nombre.

Regarde la relation donnée : si c'est $u_{n+1} = u_n + \text{nombre}$, c'est arithmétique.
Si c'est $u_{n+1} = u_n \times \text{nombre}$, c'est géométrique.
Si l'énoncé ne précise rien, calcule $u_1-u_0$ et $u_2-u_1$ pour voir s'il y a une différence constante.

💡 À retenir : Observe bien l'opération entre $u_n$ et le nombre.

Si u0 = 5 et r = 2, combien vaut u3 ?

$u_1 = u_0 + 2 = 5 + 2 = 7$ .
$u_2 = u_1 + 2 = 7 + 2 = 9$ .
$u_3 = u_2 + 2 = 9 + 2 = 11$ . (Ou avec la formule : $u_3 = 5 + 3 \times 2 = 11$ ).

💡 À retenir : Tu peux calculer terme à terme ou utiliser la formule directe.

$u_1 = u_0 + 2 = 5 + 2 = 7$.
$u_2 = u_1 + 2 = 7 + 2 = 9$.
$u_3 = u_2 + 2 = 9 + 2 = 11$. (Ou avec la formule : $u_3 = 5 + 3 \times 2 = 11$).

💡 À retenir : Tu peux calculer terme à terme ou utiliser la formule directe.

Est-ce qu'une suite peut être ni arithmétique ni géométrique ?

Oui, absolument. Il existe des suites définies par des relations plus complexes, comme $u_{n+1} = 2u_n + 3$ . Elle n'est ni arithmétique ni géométrique.

💡 À retenir : Ne suppose jamais qu'une suite est arithmétique ou géométrique sans le démontrer.

Oui, absolument. Il existe des suites définies par des relations plus complexes, comme $u_{n+1} = 2u_n + 3$. Elle n'est ni arithmétique ni géométrique.

💡 À retenir : Ne suppose jamais qu'une suite est arithmétique ou géométrique sans le démontrer.

Comment calculer la raison d'une suite géométrique si on a u0 et u1 ?

Utilise la relation $u_1 = u_0 \times q$ .
Donc $q = \frac{u_1}{u_0}$ .
Fais le calcul avec les valeurs données.

💡 À retenir : La raison $q$ est le rapport entre deux termes consécutifs.

Utilise la relation $u_1 = u_0 \times q$.
Donc $q = \frac{u_1}{u_0}$.
Fais le calcul avec les valeurs données.

💡 À retenir : La raison $q$ est le rapport entre deux termes consécutifs.

Pourquoi on utilise souvent n comme indice ?

$n$ représente le rang (la position) du terme dans la suite.
C'est une convention universelle en mathématiques pour les suites.
Cela permet de manipuler les suites comme des fonctions.

💡 À retenir : $n$ est un entier naturel ( $n \in \mathbb{N}$ ).

$n$ représente le rang (la position) du terme dans la suite.
C'est une convention universelle en mathématiques pour les suites.
Cela permet de manipuler les suites comme des fonctions.

💡 À retenir : $n$ est un entier naturel ($n \in \mathbb{N}$).

Est-ce que un peut être égal à zéro ?

Oui, cela dépend de la définition de la suite. Par exemple, si $u_n = 2n - 4$ , alors $u_2 = 0$ .

💡 À retenir : La valeur d'un terme peut être nulle, positive ou négative.

Oui, cela dépend de la définition de la suite. Par exemple, si $u_n = 2n - 4$, alors $u_2 = 0$.

💡 À retenir : La valeur d'un terme peut être nulle, positive ou négative.

Comment démontrer qu'une suite est géométrique ?

Calcule le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ .
Si tu obtiens un nombre constant $q$ (qui ne dépend pas de $n$ ), alors la suite est géométrique.
Précise que $q$ est la raison.

💡 À retenir : Le rapport doit être indépendant de $n$ .

Calcule le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$.
Si tu obtiens un nombre constant $q$ (qui ne dépend pas de $n$), alors la suite est géométrique.
Précise que $q$ est la raison.