Mathématiques · 2ème Année Bac — Langue arabe

نهاية متتالية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une suite numérique $(u_n)_{n \geq n_0}$ est une fonction définie sur une partie de $\mathbb{N}$ .

Limite finie : La suite $(u_n)$ converge vers $L$ si, pour $n$ très grand, $u_n$ est aussi proche de $L$ que l'on veut. On note $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$ .
Limite infinie : La suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ (ou $-\infty$ ) si $u_n$ devient arbitrairement grand (ou petit).
Suites usuelles :
- Si $q > 1$ , $\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$ .
- Si $-1 < q < 1$ , $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$ .
- $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0$ pour tout $k > 0$ .

Méthodes à maîtriser

Calculer la limite d'une suite explicite : Utiliser les opérations sur les limites (somme, produit, quotient).
Lever une indétermination : Factoriser par le terme de plus haut degré ou utiliser la quantité conjuguée.
Utiliser les théorèmes de comparaison : Si $u_n \leq v_n$ et $\lim u_n = +\infty$ , alors $\lim v_n = +\infty$ .
Théorème des gendarmes : Si $a_n \leq u_n \leq b_n$ et $\lim a_n = \lim b_n = L$ , alors $\lim u_n = L$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : $\lim_{n \to +\infty} (3n^2 - 5n + 1) = \lim_{n \to +\infty} n^2(3 - \frac{5}{n} + \frac{1}{n^2}) = +\infty \times 3 = +\infty$ .
Exemple 2 : $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n+1}{n-3} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n(2 + 1/n)}{n(1 - 3/n)} = \frac{2}{1} = 2$ .

Erreurs fréquentes

Confondre la limite d'une suite avec celle d'une fonction.
Oublier que $n$ tend toujours vers $+\infty$ dans les suites.
Appliquer des règles sur les puissances $q^n$ sans vérifier la valeur de $q$ .

L'essentiel du cours

Une suite numérique $(u_n)_{n \geq n_0}$ est une fonction définie sur une partie de $\mathbb{N}$.

Limite finie : La suite $(u_n)$ converge vers $L$ si, pour $n$ très grand, $u_n$ est aussi proche de $L$ que l'on veut. On note $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$.
Limite infinie : La suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ (ou $-\infty$) si $u_n$ devient arbitrairement grand (ou petit).
Suites usuelles :
- Si $q > 1$, $\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$.
- Si $-1 < q < 1$, $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$.
- $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0$ pour tout $k > 0$.

Méthodes à maîtriser

Calculer la limite d'une suite explicite : Utiliser les opérations sur les limites (somme, produit, quotient).
Lever une indétermination : Factoriser par le terme de plus haut degré ou utiliser la quantité conjuguée.
Utiliser les théorèmes de comparaison : Si $u_n \leq v_n$ et $\lim u_n = +\infty$, alors $\lim v_n = +\infty$.
Théorème des gendarmes : Si $a_n \leq u_n \leq b_n$ et $\lim a_n = \lim b_n = L$, alors $\lim u_n = L$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $\lim_{n \to +\infty} (3n^2 - 5n + 1) = \lim_{n \to +\infty} n^2(3 - \frac{5}{n} + \frac{1}{n^2}) = +\infty \times 3 = +\infty$.
Exemple 2 : $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n+1}{n-3} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n(2 + 1/n)}{n(1 - 3/n)} = \frac{2}{1} = 2$.

Erreurs fréquentes

Confondre la limite d'une suite avec celle d'une fonction.
Oublier que $n$ tend toujours vers $+\infty$ dans les suites.
Appliquer des règles sur les puissances $q^n$ sans vérifier la valeur de $q$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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Quelle est la limite de $\frac{1}{n^2}$ quand $n \to +\infty$ ?

❓ Questions fréquentes

Monsieur, est-ce qu'on peut avoir une limite qui n'existe pas ?

Oui, absolument. On dit alors que la suite est divergente. Par exemple, la suite $u_n = (-1)^n$ prend alternativement les valeurs $1$ et $-1$ . Comme elle ne se stabilise pas vers une valeur unique, on dit qu'elle n'admet pas de limite.

💡 À retenir : Une suite convergente possède une limite unique et finie.

Oui, absolument. On dit alors que la suite est divergente. Par exemple, la suite $u_n = (-1)^n$ prend alternativement les valeurs $1$ et $-1$. Comme elle ne se stabilise pas vers une valeur unique, on dit qu'elle n'admet pas de limite.

💡 À retenir : Une suite convergente possède une limite unique et finie.

Kifach n3ref wach l-limite ghadi tkon +infini wla -infini f chi fonction kbir ?

Regarde le terme de plus haut degré (celui avec la plus grande puissance de $n$ ).
Calcule la limite de ce terme seul quand $n \to +\infty$ .
Le signe dépendra du coefficient devant ce terme.

💡 À retenir : Le comportement à l'infini est dicté par le terme dominant.

Regarde le terme de plus haut degré (celui avec la plus grande puissance de $n$).
Calcule la limite de ce terme seul quand $n \to +\infty$.
Le signe dépendra du coefficient devant ce terme.

💡 À retenir : Le comportement à l'infini est dicté par le terme dominant.

Est-ce que le théorème des gendarmes marche toujours ?

Oui, il fonctionne toujours, mais il faut trouver deux suites encadrantes ( $a_n$ et $b_n$ ) qui convergent vers la même limite $L$ . C'est très utile pour les suites avec des sinus ou cosinus.

💡 À retenir : Encadrer est la clé pour lever les indéterminations complexes.

Oui, il fonctionne toujours, mais il faut trouver deux suites encadrantes ($a_n$ et $b_n$) qui convergent vers la même limite $L$. C'est très utile pour les suites avec des sinus ou cosinus.

💡 À retenir : Encadrer est la clé pour lever les indéterminations complexes.

Chno hiya l-far9 bin suite convergente w suite divergente ?

Une suite convergente se rapproche d'un nombre réel fixe $L$ quand $n$ augmente.
Une suite divergente soit tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ , soit elle oscille sans jamais se fixer (comme $(-1)^n$ ).

💡 À retenir : Convergence = limite finie ; Divergence = limite infinie ou inexistante.

Une suite convergente se rapproche d'un nombre réel fixe $L$ quand $n$ augmente.
Une suite divergente soit tend vers $+\infty$ ou $-\infty$, soit elle oscille sans jamais se fixer (comme $(-1)^n$).

💡 À retenir : Convergence = limite finie ; Divergence = limite infinie ou inexistante.

Est-ce qu'on utilise la règle de L'Hôpital pour les suites ?

Non, ce n'est pas au programme de 2ème Bac Lettres. On utilise uniquement les opérations sur les limites, la factorisation et les théorèmes de comparaison.

💡 À retenir : Reste sur les méthodes algébriques classiques.

Kifach n7seb limite dyal q^n ila kan q negatif ?

Si $q \leq -1$ , la suite n'a pas de limite car elle oscille en changeant de signe. Si $-1 < q < 0$ , la limite est $0$ car la valeur absolue $|q^n|$ tend vers $0$ .

💡 À retenir : La limite de $q^n$ n'existe que si $q \in ]-1, 1]$ .

Si $q \leq -1$, la suite n'a pas de limite car elle oscille en changeant de signe. Si $-1 < q < 0$, la limite est $0$ car la valeur absolue $|q^n|$ tend vers $0$.

💡 À retenir : La limite de $q^n$ n'existe que si $q \in ]-1, 1]$.

Si j'ai une forme indéterminée infty - infty, que dois-je faire ?

Il faut factoriser par le terme de plus haut degré pour transformer l'expression en un produit ou un quotient dont on connaît la limite.

💡 À retenir : La factorisation est l'outil principal contre les formes indéterminées.

Est-ce que la limite d'une suite peut être un nombre non entier ?

Bien sûr ! La suite $u_n = \frac{1}{n}$ a pour limite $0$ , et la suite $u_n = \frac{2n+1}{n}$ a pour limite $2$ . La limite n'a aucun lien avec la nature des termes de la suite.

💡 À retenir : La limite est une valeur réelle, peu importe les termes de la suite.

Bien sûr ! La suite $u_n = \frac{1}{n}$ a pour limite $0$, et la suite $u_n = \frac{2n+1}{n}$ a pour limite $2$. La limite n'a aucun lien avec la nature des termes de la suite.

💡 À retenir : La limite est une valeur réelle, peu importe les termes de la suite.

Comment savoir si une suite est croissante ou décroissante ?

Il faut étudier le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ . Si c'est positif, la suite est croissante. Si c'est négatif, elle est décroissante.

💡 À retenir : Le signe de la différence donne le sens de variation.

Il faut étudier le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$. Si c'est positif, la suite est croissante. Si c'est négatif, elle est décroissante.

💡 À retenir : Le signe de la différence donne le sens de variation.

Est-ce que la limite d'une suite constante est la suite elle-même ?

Oui, si $u_n = c$ pour tout $n$ , alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = c$ . C'est la limite la plus simple !

💡 À retenir : Une suite constante est toujours convergente.

Oui, si $u_n = c$ pour tout $n$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = c$. C'est la limite la plus simple !

💡 À retenir : Une suite constante est toujours convergente.

Pourquoi on ne calcule pas la limite en -infty ?

Parce qu'une suite est définie sur $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$ ), donc $n$ ne peut prendre que des valeurs entières positives ou nulles. On ne peut pas aller vers $-\infty$ .

💡 À retenir : Pour les suites, $n$ tend toujours vers $+\infty$ .

Parce qu'une suite est définie sur $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$), donc $n$ ne peut prendre que des valeurs entières positives ou nulles. On ne peut pas aller vers $-\infty$.

💡 À retenir : Pour les suites, $n$ tend toujours vers $+\infty$.

Est-ce que le résultat d'une limite doit être écrit avec des symboles mathématiques ?

Oui, utilise toujours la notation $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$ . C'est la forme exigée dans les examens nationaux.

💡 À retenir : La rigueur de notation est essentielle pour obtenir tous les points.

Oui, utilise toujours la notation $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$. C'est la forme exigée dans les examens nationaux.

💡 À retenir : La rigueur de notation est essentielle pour obtenir tous les points.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer les limites suivantes :

$\lim_{n \to +\infty} (n^2 - 3n + 5)$
$\lim_{n \to +\infty} \frac{3n^2 + 1}{n^2 - 2}$
$\lim_{n \to +\infty} (2^n - n)$

Exercice 1

Calculer les limites suivantes :

$\lim_{n \to +\infty} (n^2 - 3n + 5)$
$\lim_{n \to +\infty} \frac{3n^2 + 1}{n^2 - 2}$
$\lim_{n \to +\infty} (2^n - n)$

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Exercice 2

Soit $(u_n)$ une suite telle que pour tout $n \geq 1$ , $u_n = \frac{\sin(n)}{n}$ . Déterminer la limite de $(u_n)$ .

Exercice 2

Soit $(u_n)$ une suite telle que pour tout $n \geq 1$, $u_n = \frac{\sin(n)}{n}$. Déterminer la limite de $(u_n)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n = \frac{3^n - 2^n}{3^n + 1}$ . Calculer sa limite.

Exercice 3

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n = \frac{3^n - 2^n}{3^n + 1}$. Calculer sa limite.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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