Sciences de l'Ingénieur · Prépa concours post-bac — ENSA & ENSAM

Cinématique du point et du solide

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La cinématique étudie le mouvement des solides sans s'intéresser aux forces.

Vecteur vitesse : $\vec{V}_{M \in S/R} = \frac{d\vec{OM}}{dt} |_R$
Vecteur accélération : $\vec{\Gamma}_{M \in S/R} = \frac{d\vec{V}_{M \in S/R}}{dt} |_R$
Champ des vitesses : Pour deux points A et B d'un solide $S$ : $\vec{V}_{B \in S/R} = \vec{V}_{A \in S/R} + \vec{\Omega}_{S/R} \wedge \vec{AB}$
Torseur cinématique : $\{V_{S/R}\} = \begin{Bmatrix} \vec{\Omega}_{S/R} \\ \vec{V}_{A \in S/R} \end{Bmatrix}_A$

Méthodes à maîtriser

Dérivation vectorielle : Toujours préciser le référentiel de dérivation.
Utilisation de la formule de Varignon : Indispensable pour transférer la vitesse d'un point à un autre.
Changement de base : Projeter les vecteurs dans une base orthonormée directe (B.O.D).

Exemples corrigés

Soit un solide en rotation autour de $(O, \vec{z})$ avec $\vec{\Omega} = \dot{\theta}\vec{z}$ . La vitesse d'un point $M$ est $\vec{V}_M = \vec{\Omega} \wedge \vec{OM}$ . Si $\vec{OM} = r\vec{u}_r$ , alors $\vec{V}_M = \dot{\theta}\vec{z} \wedge r\vec{u}_r = r\dot{\theta}\vec{u}_\theta$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le référentiel dans la dérivée.
Inverser l'ordre du produit vectoriel dans la formule de Varignon.
Confondre la vitesse de rotation $\vec{\Omega}$ avec la vitesse linéaire $\vec{V}$ .

L'essentiel du cours

La cinématique étudie le mouvement des solides sans s'intéresser aux forces.

Vecteur vitesse : $\vec{V}_{M \in S/R} = \frac{d\vec{OM}}{dt} |_R$
Vecteur accélération : $\vec{\Gamma}{M \in S/R} = \frac{d\vec{V}{M \in S/R}}{dt} |_R$
Champ des vitesses : Pour deux points A et B d'un solide $S$ : $\vec{V}{B \in S/R} = \vec{V}{A \in S/R} + \vec{\Omega}_{S/R} \wedge \vec{AB}$
Torseur cinématique : ${V_{S/R}} = \begin{Bmatrix} \vec{\Omega}{S/R} \ \vec{V}{A \in S/R} \end{Bmatrix}_A$

Méthodes à maîtriser

Dérivation vectorielle : Toujours préciser le référentiel de dérivation.
Utilisation de la formule de Varignon : Indispensable pour transférer la vitesse d'un point à un autre.
Changement de base : Projeter les vecteurs dans une base orthonormée directe (B.O.D).

Exemples corrigés

Soit un solide en rotation autour de $(O, \vec{z})$ avec $\vec{\Omega} = \dot{\theta}\vec{z}$. La vitesse d'un point $M$ est $\vec{V}_M = \vec{\Omega} \wedge \vec{OM}$. Si $\vec{OM} = r\vec{u}_r$, alors $\vec{V}_M = \dot{\theta}\vec{z} \wedge r\vec{u}r = r\dot{\theta}\vec{u}\theta$.

Erreurs fréquentes

Oublier le référentiel dans la dérivée.
Inverser l'ordre du produit vectoriel dans la formule de Varignon.
Confondre la vitesse de rotation $\vec{\Omega}$ avec la vitesse linéaire $\vec{V}$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Cinématique du point et du solide

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Quelle est la condition pour qu'un solide soit en translation ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que la vitesse d'un point dépend du référentiel choisi ?

Oui, absolument. La vitesse est une grandeur relative. Par exemple, un passager assis dans un train a une vitesse nulle par rapport au train, mais une vitesse importante par rapport au sol.

💡 À retenir : Toujours préciser "par rapport à R" dans vos notations.

Kifach n7seb l'accélération ila 3ndi ghir s-sor3a ?

Pour calculer l'accélération, tu dois dériver le vecteur vitesse par rapport au temps dans le référentiel donné.

Écris le vecteur vitesse $\vec{V}$ dans une base fixe.
Dérive chaque composante par rapport au temps.
Attention : si les vecteurs de la base sont mobiles, il faut dériver aussi les vecteurs de base.

💡 À retenir : $\vec{\Gamma} = \frac{d\vec{V}}{dt}$ .

Pour calculer l'accélération, tu dois dériver le vecteur vitesse par rapport au temps dans le référentiel donné.

Écris le vecteur vitesse $\vec{V}$ dans une base fixe.
Dérive chaque composante par rapport au temps.
Attention : si les vecteurs de la base sont mobiles, il faut dériver aussi les vecteurs de base.

💡 À retenir : $\vec{\Gamma} = \frac{d\vec{V}}{dt}$.

C'est quoi la différence entre translation et rotation ?

Translation : Tous les points du solide ont le même vecteur vitesse à chaque instant. $\vec{\Omega} = \vec{0}$ .
Rotation : Tous les points décrivent des cercles autour d'un axe fixe. $\vec{\Omega} \neq \vec{0}$ .

💡 À retenir : En translation, le torseur cinématique a une résultante nulle.

Translation : Tous les points du solide ont le même vecteur vitesse à chaque instant. $\vec{\Omega} = \vec{0}$.
Rotation : Tous les points décrivent des cercles autour d'un axe fixe. $\vec{\Omega} \neq \vec{0}$.

💡 À retenir : En translation, le torseur cinématique a une résultante nulle.

Chno hiya l'relation bin vec{V}A et vec{V}B f wa7d l'solide ?

C'est la formule de Varignon : $\vec{V}_B = \vec{V}_A + \vec{\Omega} \wedge \vec{AB}$ . Elle permet de trouver la vitesse de n'importe quel point si on connaît la vitesse d'un point et le vecteur rotation.

💡 À retenir : L'ordre des points dans le produit vectoriel est crucial.

C'est la formule de Varignon : $\vec{V}_B = \vec{V}_A + \vec{\Omega} \wedge \vec{AB}$. Elle permet de trouver la vitesse de n'importe quel point si on connaît la vitesse d'un point et le vecteur rotation.

💡 À retenir : L'ordre des points dans le produit vectoriel est crucial.

Est-ce que le vecteur rotation vec{Omega} est le même pour tous les points du solide ?

Oui, pour un solide indéformable, le vecteur rotation $\vec{\Omega}$ est une caractéristique du solide par rapport au référentiel, il ne dépend pas du point choisi.

💡 À retenir : $\vec{\Omega}$ est uniforme dans tout le solide.

Oui, pour un solide indéformable, le vecteur rotation $\vec{\Omega}$ est une caractéristique du solide par rapport au référentiel, il ne dépend pas du point choisi.

💡 À retenir : $\vec{\Omega}$ est uniforme dans tout le solide.

Kifach n3ref wach l'mouvement translation wla rotation ?

Regarde le vecteur rotation $\vec{\Omega}$ :

Si $\vec{\Omega} = \vec{0}$ , c'est une translation.
Si $\vec{\Omega} \neq \vec{0}$ , c'est une rotation (ou un mouvement plan).

💡 À retenir : La nature du mouvement dépend de la valeur de $\vec{\Omega}$ .

Regarde le vecteur rotation $\vec{\Omega}$ :

Si $\vec{\Omega} = \vec{0}$, c'est une translation.
Si $\vec{\Omega} \neq \vec{0}$, c'est une rotation (ou un mouvement plan).

💡 À retenir : La nature du mouvement dépend de la valeur de $\vec{\Omega}$.

Pourquoi on utilise le torseur cinématique ?

Le torseur permet de regrouper en un seul outil mathématique toutes les informations sur le mouvement d'un solide (vitesse de rotation et vitesse de translation). C'est très utile pour les calculs de mécanismes complexes.

💡 À retenir : Le torseur est l'outil standard en mécanique du solide.

Est-ce que la dérivée d'une norme est la norme de la dérivée ?

Non, jamais. La dérivée d'une norme est un scalaire, alors que la dérivée d'un vecteur est un vecteur.

💡 À retenir : $\frac{d}{dt} ||\vec{V}|| \neq ||\frac{d\vec{V}}{dt}||$ .

Non, jamais. La dérivée d'une norme est un scalaire, alors que la dérivée d'un vecteur est un vecteur.

💡 À retenir : $\frac{d}{dt} ||\vec{V}|| \neq ||\frac{d\vec{V}}{dt}||$.

Comment projeter un vecteur dans une base ?

Il faut utiliser le produit scalaire avec les vecteurs de la base. Par exemple, pour $\vec{V} = x\vec{i} + y\vec{j}$ , on a $x = \vec{V} \cdot \vec{i}$ .

💡 À retenir : Utiliser les angles de la figure plane pour projeter.

Il faut utiliser le produit scalaire avec les vecteurs de la base. Par exemple, pour $\vec{V} = x\vec{i} + y\vec{j}$, on a $x = \vec{V} \cdot \vec{i}$.

💡 À retenir : Utiliser les angles de la figure plane pour projeter.

Si vec{V}A = vec{0}, est-ce que le solide est immobile ?

Pas forcément. Le point A peut être le centre instantané de rotation. Le solide peut tourner autour de A sans que A ne bouge.

💡 À retenir : $\vec{V}_A = \vec{0}$ n'implique pas $\vec{\Omega} = \vec{0}$ .

Pas forcément. Le point A peut être le centre instantané de rotation. Le solide peut tourner autour de A sans que A ne bouge.

💡 À retenir : $\vec{V}_A = \vec{0}$ n'implique pas $\vec{\Omega} = \vec{0}$.

C'est quoi un référentiel galiléen ?

C'est un référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié. En général, on considère le référentiel terrestre comme galiléen pour les problèmes d'ingénierie.

💡 À retenir : C'est le cadre de référence pour appliquer la dynamique.

Comment dériver vec{u}r dans la base polaire ?

On utilise la relation $\frac{d\vec{u}_r}{dt} = \dot{\theta}\vec{u}_\theta$ . C'est une dérivée classique en cinématique plane.

💡 À retenir : Apprendre par cœur les dérivées des vecteurs de base polaire.

On utilise la relation $\frac{d\vec{u}r}{dt} = \dot{\theta}\vec{u}\theta$. C'est une dérivée classique en cinématique plane.

💡 À retenir : Apprendre par cœur les dérivées des vecteurs de base polaire.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un bras de robot tourne autour d'un axe fixe $(O, \vec{z})$ avec une vitesse angulaire $\omega = 2$ rad/s. Un point $M$ est situé à une distance $OM = 0.5$ m. Calculer la vitesse du point $M$ .

Exercice 1

Un bras de robot tourne autour d'un axe fixe $(O, \vec{z})$ avec une vitesse angulaire $\omega = 2$ rad/s. Un point $M$ est situé à une distance $OM = 0.5$ m. Calculer la vitesse du point $M$.

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Exercice 2

Soit un solide en translation rectiligne. $\vec{V}_A = 3\vec{i}$ m/s. Déterminer $\vec{V}_B$ sachant que $\vec{AB} = 2\vec{j}$ .

Exercice 2

Soit un solide en translation rectiligne. $\vec{V}_A = 3\vec{i}$ m/s. Déterminer $\vec{V}_B$ sachant que $\vec{AB} = 2\vec{j}$.

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Exercice 3

Un disque de rayon $R$ roule sans glissement sur un plan. Le centre $C$ a une vitesse $V_C = v\vec{i}$ . Déterminer la vitesse du point de contact $I$ avec le sol.

Exercice 3

Un disque de rayon $R$ roule sans glissement sur un plan. Le centre $C$ a une vitesse $V_C = v\vec{i}$. Déterminer la vitesse du point de contact $I$ avec le sol.

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