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Dynamique et principe fondamental de la dynamique (PFD)

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le PFD permet de relier les actions mécaniques (forces et moments) au mouvement (accélération).

Torseur dynamique : $\mathcal{D}_{S/R} = \begin{Bmatrix} \vec{\delta}_{A \in S/R} \\ \vec{\sigma}_{A \in S/R} \end{Bmatrix}_A$
PFD : Pour un solide $S$ dans un référentiel galiléen $R_g$ , le torseur des actions mécaniques extérieures est égal au torseur dynamique : $\{ \mathcal{T}_{ext \to S} \}_A = \{ \mathcal{D}_{S/R_g} \}_A$ Ce qui donne deux équations vectorielles :

$\sum \vec{F}_{ext} = m \cdot \vec{\gamma}(G \in S/R_g)$
$\sum \vec{M}_A(\vec{F}_{ext}) = \frac{d}{dt} (\vec{\sigma}_A(S/R_g))$

Méthodes à maîtriser

Isoler le solide (système).
Faire le bilan des actions mécaniques extérieures.
Choisir un point de réduction judicieux (souvent le centre de rotation).
Projeter les équations vectorielles sur les axes du repère choisi.

Exemples corrigés

Exemple : Translation rectiligne. Un bloc de masse $m$ sur un plan incliné $\alpha$ . $\sum \vec{F} = m \vec{\gamma} \implies m\vec{g} + \vec{R} = m\vec{\gamma}$ . Projection sur l'axe du mouvement : $mg \sin(\alpha) = m \gamma \implies \gamma = g \sin(\alpha)$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le poids dans le bilan des forces.
Confondre le torseur statique et dynamique.
Ne pas vérifier si le référentiel est galiléen (souvent supposé terrestre).
Erreur de signe lors de la projection des vecteurs.

L'essentiel du cours

Le PFD permet de relier les actions mécaniques (forces et moments) au mouvement (accélération).

Torseur dynamique : $\mathcal{D}{S/R} = \begin{Bmatrix} \vec{\delta}{A \in S/R} \ \vec{\sigma}_{A \in S/R} \end{Bmatrix}_A$
PFD : Pour un solide $S$ dans un référentiel galiléen $R_g$, le torseur des actions mécaniques extérieures est égal au torseur dynamique : $${ \mathcal{T}_{ext \to S} }A = { \mathcal{D}{S/R_g} }_A$$ Ce qui donne deux équations vectorielles :

$\sum \vec{F}_{ext} = m \cdot \vec{\gamma}(G \in S/R_g)$
$\sum \vec{M}A(\vec{F}{ext}) = \frac{d}{dt} (\vec{\sigma}_A(S/R_g))$

Méthodes à maîtriser

Isoler le solide (système).
Faire le bilan des actions mécaniques extérieures.
Choisir un point de réduction judicieux (souvent le centre de rotation).
Projeter les équations vectorielles sur les axes du repère choisi.

Exemples corrigés

Exemple : Translation rectiligne. Un bloc de masse $m$ sur un plan incliné $\alpha$. $\sum \vec{F} = m \vec{\gamma} \implies m\vec{g} + \vec{R} = m\vec{\gamma}$. Projection sur l'axe du mouvement : $mg \sin(\alpha) = m \gamma \implies \gamma = g \sin(\alpha)$.

Erreurs fréquentes

Oublier le poids dans le bilan des forces.
Confondre le torseur statique et dynamique.
Ne pas vérifier si le référentiel est galiléen (souvent supposé terrestre).
Erreur de signe lors de la projection des vecteurs.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Dynamique et principe fondamental de la dynamique (PFD)

1/4

Dans le PFD, que représente $m \cdot \vec{\gamma}$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que le PFD est toujours valable ?

Non, le PFD n'est strictement valable que dans un référentiel galiléen (ou inertiel). Pour les problèmes d'ingénierie au sol, on considère le référentiel terrestre comme galiléen, ce qui est une approximation suffisante.

💡 À retenir : Vérifie toujours le référentiel avant d'écrire le PFD.

Kifach n7seb l'accélération ila kan l'jism kay dor ?

Identifie l'axe de rotation.
Utilise le théorème du moment dynamique projeté sur cet axe : $\sum M_{\Delta} = J_{\Delta} \cdot \ddot{\theta}$ .
$J_{\Delta}$ est le moment d'inertie par rapport à l'axe.

💡 À retenir : Le moment dynamique est lié à la dérivée de la vitesse angulaire.

Identifie l'axe de rotation.
Utilise le théorème du moment dynamique projeté sur cet axe : $\sum M_{\Delta} = J_{\Delta} \cdot \ddot{\theta}$.
$J_{\Delta}$ est le moment d'inertie par rapport à l'axe.

💡 À retenir : Le moment dynamique est lié à la dérivée de la vitesse angulaire.

C'est quoi la différence entre la statique et la dynamique ?

En statique, le torseur dynamique est nul ( $\vec{\gamma} = 0$ et $\vec{\sigma} = \vec{cte}$ ), donc la somme des forces et des moments est nulle. En dynamique, ces sommes sont égales au torseur dynamique.

💡 À retenir : La statique est un cas particulier de la dynamique où l'accélération est nulle.

En statique, le torseur dynamique est nul ($\vec{\gamma} = 0$ et $\vec{\sigma} = \vec{cte}$), donc la somme des forces et des moments est nulle. En dynamique, ces sommes sont égales au torseur dynamique.

💡 À retenir : La statique est un cas particulier de la dynamique où l'accélération est nulle.

Chno hiya l'relation bin l'masse o l'inertie ?

La masse représente l'inertie en translation (résistance au changement de vitesse). Le moment d'inertie représente l'inertie en rotation (résistance au changement de vitesse angulaire).

💡 À retenir : Plus la masse est loin de l'axe, plus l'inertie est grande.

Est-ce que le point de réduction doit être le centre de gravité ?

Non, tu peux réduire en n'importe quel point $A$ , mais le torseur dynamique dépend du point choisi. Si tu choisis le centre de gravité $G$ , les calculs sont souvent plus simples car $\vec{\sigma}_G = m \vec{V}_G$ n'est pas vrai, mais le moment dynamique est plus direct.

💡 À retenir : Choisis le point qui annule le plus de moments.

Non, tu peux réduire en n'importe quel point $A$, mais le torseur dynamique dépend du point choisi. Si tu choisis le centre de gravité $G$, les calculs sont souvent plus simples car $\vec{\sigma}_G = m \vec{V}_G$ n'est pas vrai, mais le moment dynamique est plus direct.

💡 À retenir : Choisis le point qui annule le plus de moments.

Kifach n3ref wach l'jism fih 7araka moustaqima wla doraniya ?

Regarde les liaisons mécaniques. Une liaison pivot impose une rotation, une liaison glissière impose une translation. Si le solide est libre, il peut avoir un mouvement plan quelconque.

💡 À retenir : La liaison définit les degrés de liberté.

Est-ce que le poids est toujours m cdot g ?

Oui, dans le référentiel terrestre, le poids est $\vec{P} = m \vec{g}$ . Attention, c'est une force appliquée au centre de gravité $G$ .

💡 À retenir : Le poids est toujours vertical vers le bas.

Oui, dans le référentiel terrestre, le poids est $\vec{P} = m \vec{g}$. Attention, c'est une force appliquée au centre de gravité $G$.

💡 À retenir : Le poids est toujours vertical vers le bas.

Pourquoi on utilise le torseur dynamique ?

Il permet de traiter les problèmes de dynamique de manière rigoureuse et vectorielle, en incluant à la fois les effets de translation et de rotation dans un seul outil mathématique.

💡 À retenir : Le torseur est l'outil complet pour la mécanique du solide.

Est-ce que le PFD change si le solide est en mouvement accéléré ?

Le PFD est justement fait pour ça ! Il dit que la cause du mouvement (forces) est égale à l'effet (accélération). Si le solide accélère, la somme des forces n'est pas nulle.

💡 À retenir : $\sum \vec{F} = m \vec{\gamma}$ est la base de tout calcul d'accélération.

Le PFD est justement fait pour ça ! Il dit que la cause du mouvement (forces) est égale à l'effet (accélération). Si le solide accélère, la somme des forces n'est pas nulle.

💡 À retenir : $\sum \vec{F} = m \vec{\gamma}$ est la base de tout calcul d'accélération.

Comment calculer le moment d'inertie ?

Pour des formes simples, il existe des formules (ex: cylindre plein $J = \frac{1}{2} m R^2$ ). Pour des formes complexes, on utilise le théorème de Huygens si nécessaire.

💡 À retenir : $J$ dépend de la répartition de la masse.

Pour des formes simples, il existe des formules (ex: cylindre plein $J = \frac{1}{2} m R^2$). Pour des formes complexes, on utilise le théorème de Huygens si nécessaire.

💡 À retenir : $J$ dépend de la répartition de la masse.

Est-ce que les forces de frottement sont toujours opposées au mouvement ?

Oui, les forces de frottement solide (Coulomb) s'opposent toujours au glissement relatif entre deux surfaces.

💡 À retenir : Frottement = résistance au mouvement.

Est-ce que je dois toujours projeter sur les axes x, y, z ?

Tu dois projeter sur les axes qui facilitent le calcul. Si le mouvement est circulaire, projette sur la base de Frenet (tangentielle et normale).

💡 À retenir : Le choix du repère est 50% de la résolution.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un treuil soulève une charge de masse $m=50$ kg avec une accélération constante $\gamma = 2$ m/s². Calculer la tension $T$ du câble. (Prendre $g = 9.8$ m/s²).

Exercice 1

Un treuil soulève une charge de masse $m=50$ kg avec une accélération constante $\gamma = 2$ m/s². Calculer la tension $T$ du câble. (Prendre $g = 9.8$ m/s²).

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Exercice 2

Un disque de masse $M$ et rayon $R$ tourne autour de son axe fixe avec une accélération angulaire $\alpha$ . Calculer le couple moteur $C$ nécessaire, sachant qu'il y a un couple résistant de frottement $C_f$ .

Exercice 2

Un disque de masse $M$ et rayon $R$ tourne autour de son axe fixe avec une accélération angulaire $\alpha$. Calculer le couple moteur $C$ nécessaire, sachant qu'il y a un couple résistant de frottement $C_f$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Une barre homogène de longueur $L$ et masse $m$ est articulée en $O$ . Elle est lâchée sans vitesse initiale à l'horizontale. Calculer l'accélération angulaire initiale.

Exercice 3

Une barre homogène de longueur $L$ et masse $m$ est articulée en $O$. Elle est lâchée sans vitesse initiale à l'horizontale. Calculer l'accélération angulaire initiale.

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