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Électricité : Dipôles RC, RL et RLC

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. Le dipôle RC

Relation charge-tension : $q = C \cdot u_C$ avec $q$ en Coulomb (C) et $C$ en Farad (F).
Intensité : $i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_C}{dt}$ .
Équation différentielle (charge) : $u_C + RC \frac{du_C}{dt} = E$ .
Solution : $u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})$ avec $\tau = RC$ .
Énergie électrique : $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$ .

2. Le dipôle RL

Tension aux bornes de la bobine : $u_L = L \frac{di}{dt} + r \cdot i$ .
Équation différentielle (établissement du courant) : $L \frac{di}{dt} + (R+r)i = E$ .
Solution : $i(t) = \frac{E}{R_{tot}}(1 - e^{-t/\tau})$ avec $\tau = \frac{L}{R_{tot}}$ et $R_{tot} = R+r$ .
Énergie magnétique : $E_m = \frac{1}{2} L i^2$ .

3. Le circuit RLC libre

Trois régimes :
1. Pseudo-périodique : $R$ faible, oscillations amorties.
2. Apériodique : $R$ très forte, pas d'oscillations.
3. Critique : Limite entre les deux.
Période propre (LC idéal) : $T_0 = 2\pi \sqrt{LC}$ .
Énergie totale : $E_T = E_e + E_m = \frac{1}{2} C u_C^2 + \frac{1}{2} L i^2$ . En présence de $R$ , $\frac{dE_T}{dt} = -R_{tot} i^2 < 0$ (perte par effet Joule).

Méthodes à maîtriser

Déterminer $\tau$ graphiquement : Utiliser la tangente à $t=0$ ou l'ordonnée $0,63 \cdot E$ (charge) ou $0,37 \cdot E$ (décharge).
Vérifier l'homogénéité : Utiliser les équations aux dimensions (ex: $[RC] = [U/I] \cdot [IT/U] = [T]$ ).
Établir une équation différentielle : Appliquer la loi d'additivité des tensions et les relations de comportement ( $u_C, u_L, u_R$ ).
Calculer l'énergie dissipée : $\Delta E = E_{initiale} - E_{finale}$ .

Exemples corrigés

Exemple RC : Si $R = 1 k\Omega$ et $C = 10 \mu F$ , alors $\tau = 10^3 \cdot 10 \cdot 10^{-6} = 0,01 s = 10 ms$ .
Exemple RLC : Dans un circuit LC idéal, si $u_C$ est maximale, $i = 0$ (toute l'énergie est électrique). Si $u_C = 0$ , $i$ est maximale (toute l'énergie est magnétique).

Erreurs fréquentes

Confondre la résistance totale $R+r$ et la résistance du conducteur ohmique $R$ dans le calcul de $\tau$ pour un dipôle RL.
Oublier de convertir les unités : $\mu F \to 10^{-6} F$ , $mH \to 10^{-3} H$ , $ms \to 10^{-3} s$ .
Tracer la tangente à $t=0$ de manière imprécise.
Croire que la pseudo-période $T$ est égale à la période propre $T_0$ (en réalité $T \approx T_0$ seulement si l'amortissement est faible).

L'essentiel du cours

1. Le dipôle RC

Relation charge-tension : $q = C \cdot u_C$ avec $q$ en Coulomb (C) et $C$ en Farad (F).
Intensité : $i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_C}{dt}$.
Équation différentielle (charge) : $u_C + RC \frac{du_C}{dt} = E$.
Solution : $u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})$ avec $\tau = RC$.
Énergie électrique : $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$.

2. Le dipôle RL

Tension aux bornes de la bobine : $u_L = L \frac{di}{dt} + r \cdot i$.
Équation différentielle (établissement du courant) : $L \frac{di}{dt} + (R+r)i = E$.
Solution : $i(t) = \frac{E}{R_{tot}}(1 - e^{-t/\tau})$ avec $\tau = \frac{L}{R_{tot}}$ et $R_{tot} = R+r$.
Énergie magnétique : $E_m = \frac{1}{2} L i^2$.

3. Le circuit RLC libre

Trois régimes :
1. Pseudo-périodique : $R$ faible, oscillations amorties.
2. Apériodique : $R$ très forte, pas d'oscillations.
3. Critique : Limite entre les deux.
Période propre (LC idéal) : $T_0 = 2\pi \sqrt{LC}$.
Énergie totale : $E_T = E_e + E_m = \frac{1}{2} C u_C^2 + \frac{1}{2} L i^2$. En présence de $R$, $\frac{dE_T}{dt} = -R_{tot} i^2 < 0$ (perte par effet Joule).

Méthodes à maîtriser

Déterminer $\tau$ graphiquement : Utiliser la tangente à $t=0$ ou l'ordonnée $0,63 \cdot E$ (charge) ou $0,37 \cdot E$ (décharge).
Vérifier l'homogénéité : Utiliser les équations aux dimensions (ex: $[RC] = [U/I] \cdot [IT/U] = [T]$).
Établir une équation différentielle : Appliquer la loi d'additivité des tensions et les relations de comportement ($u_C, u_L, u_R$).
Calculer l'énergie dissipée : $\Delta E = E_{initiale} - E_{finale}$.

Exemples corrigés

Exemple RC : Si $R = 1 k\Omega$ et $C = 10 \mu F$, alors $\tau = 10^3 \cdot 10 \cdot 10^{-6} = 0,01 s = 10 ms$.
Exemple RLC : Dans un circuit LC idéal, si $u_C$ est maximale, $i = 0$ (toute l'énergie est électrique). Si $u_C = 0$, $i$ est maximale (toute l'énergie est magnétique).

Erreurs fréquentes

Confondre la résistance totale $R+r$ et la résistance du conducteur ohmique $R$ dans le calcul de $\tau$ pour un dipôle RL.
Oublier de convertir les unités : $\mu F \to 10^{-6} F$, $mH \to 10^{-3} H$, $ms \to 10^{-3} s$.
Tracer la tangente à $t=0$ de manière imprécise.
Croire que la pseudo-période $T$ est égale à la période propre $T_0$ (en réalité $T \approx T_0$ seulement si l'amortissement est faible).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Électricité : Dipôles RC, RL et RLC

1/4

Quelle est l'unité de la constante de temps $\tau$ ?

❓ Questions fréquentes

Kifach nfer9o bin régime apériodique o pseudo-périodique f l'mti7an?

C'est simple, il faut regarder la forme de la courbe de la tension $u_C(t)$ :

Régime pseudo-périodique : Tu vois des oscillations. La courbe monte et descend en dépassant le zéro (ou l'axe d'équilibre) plusieurs fois, mais l'amplitude diminue.
Régime apériodique : Il n'y a aucune oscillation. La courbe revient vers zéro (décharge) ou vers $E$ (charge) de façon monotone sans jamais "dépasser" la valeur finale.
Régime critique : C'est le retour le plus rapide à l'équilibre sans oscillation.

💡 À retenir : Oscillations = Pseudo-périodique ; Pas d'oscillations = Apériodique.

C'est simple, il faut regarder la forme de la courbe de la tension $u_C(t)$ :

Régime pseudo-périodique : Tu vois des oscillations. La courbe monte et descend en dépassant le zéro (ou l'axe d'équilibre) plusieurs fois, mais l'amplitude diminue.
Régime apériodique : Il n'y a aucune oscillation. La courbe revient vers zéro (décharge) ou vers $E$ (charge) de façon monotone sans jamais "dépasser" la valeur finale.
Régime critique : C'est le retour le plus rapide à l'équilibre sans oscillation.

💡 À retenir : Oscillations = Pseudo-périodique ; Pas d'oscillations = Apériodique.

Chno hiya dik uL f l'instant t=0 f l'établissement d'courant?

À $t=0$ , lors de la fermeture du circuit RL :

L'intensité $i(0) = 0$ car la bobine s'oppose à la variation brutale du courant.
D'après la loi d'additivité : $E = u_L(0) + u_R(0)$ .
Comme $u_R(0) = R \cdot i(0) = 0$ , alors $u_L(0) = E$ .

💡 À retenir : À $t=0$ , la bobine se comporte comme un interrupteur ouvert et prend toute la tension du générateur.

À $t=0$, lors de la fermeture du circuit RL :

L'intensité $i(0) = 0$ car la bobine s'oppose à la variation brutale du courant.
D'après la loi d'additivité : $E = u_L(0) + u_R(0)$.
Comme $u_R(0) = R \cdot i(0) = 0$, alors $u_L(0) = E$.

💡 À retenir : À $t=0$, la bobine se comporte comme un interrupteur ouvert et prend toute la tension du générateur.

Kifach n7seb l'énergie li dya3at f l'effet Joule bin deux instants?

Pour calculer l'énergie dissipée par effet Joule $E_{diss}$ entre $t_1$ et $t_2$ :

Calcule l'énergie totale à $t_1$ : $E_{T1} = \frac{1}{2}Cu_C(t_1)^2 + \frac{1}{2}Li(t_1)^2$ .
Calcule l'énergie totale à $t_2$ : $E_{T2} = \frac{1}{2}Cu_C(t_2)^2 + \frac{1}{2}Li(t_2)^2$ .
L'énergie dissipée est la différence : $E_{diss} = E_{T1} - E_{T2}$ .

💡 À retenir : L'énergie perdue est toujours égale à la variation négative de l'énergie totale du circuit.

Pour calculer l'énergie dissipée par effet Joule $E_{diss}$ entre $t_1$ et $t_2$ :

Calcule l'énergie totale à $t_1$ : $E_{T1} = \frac{1}{2}Cu_C(t_1)^2 + \frac{1}{2}Li(t_1)^2$.
Calcule l'énergie totale à $t_2$ : $E_{T2} = \frac{1}{2}Cu_C(t_2)^2 + \frac{1}{2}Li(t_2)^2$.
L'énergie dissipée est la différence : $E_{diss} = E_{T1} - E_{T2}$.

💡 À retenir : L'énergie perdue est toujours égale à la variation négative de l'énergie totale du circuit.

Pourquoi dit-on que le condensateur assure la continuité de la tension ?

La tension $u_C$ ne peut pas varier brusquement (instantanément) car cela nécessiterait une intensité $i = C \frac{du_C}{dt}$ infinie, ce qui est physiquement impossible. Ainsi, $u_C(0^-) = u_C(0^+)$ .

💡 À retenir : La courbe de $u_C(t)$ est toujours continue (pas de sauts).

Quelle est l'influence de la résistance R sur la constante de temps tau dans un circuit RC ?

Puisque $\tau = RC$ , la constante de temps est proportionnelle à $R$ . Si $R$ augmente, $\tau$ augmente, ce qui signifie que le condensateur met plus de temps à se charger ou se décharger.

💡 À retenir : Plus $R$ est grande, plus le phénomène est lent.

Puisque $\tau = RC$, la constante de temps est proportionnelle à $R$. Si $R$ augmente, $\tau$ augmente, ce qui signifie que le condensateur met plus de temps à se charger ou se décharger.

💡 À retenir : Plus $R$ est grande, plus le phénomène est lent.

Comment montrer qu'un circuit LC idéal est un oscillateur harmonique ?

Établir l'équation différentielle : $u_C + L\frac{di}{dt} = 0 \implies u_C + LC\frac{d^2u_C}{dt^2} = 0$ .
Mettre sous la forme $\frac{d^2u_C}{dt^2} + \omega_0^2 u_C = 0$ avec $\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$ .
C'est l'équation d'un oscillateur harmonique dont la solution est sinusoïdale.

💡 À retenir : L'absence de résistance permet des oscillations perpétuelles.

Établir l'équation différentielle : $u_C + L\frac{di}{dt} = 0 \implies u_C + LC\frac{d^2u_C}{dt^2} = 0$.
Mettre sous la forme $\frac{d^2u_C}{dt^2} + \omega_0^2 u_C = 0$ avec $\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$.
C'est l'équation d'un oscillateur harmonique dont la solution est sinusoïdale.

💡 À retenir : L'absence de résistance permet des oscillations perpétuelles.

Quelle est la différence entre la période propre T0 et la pseudo-période T ?

$T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ est la période du circuit LC idéal (sans résistance).
$T$ est la durée entre deux maxima successifs dans un circuit RLC réel.
Si $R$ est faible, $T \approx T_0$ . Si $R$ augmente, $T$ devient légèrement supérieure à $T_0$ .

💡 À retenir : $T \ge T_0$ (à vérifier par le professeur pour la démonstration exacte hors programme).

$T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ est la période du circuit LC idéal (sans résistance).
$T$ est la durée entre deux maxima successifs dans un circuit RLC réel.
Si $R$ est faible, $T \approx T_0$. Si $R$ augmente, $T$ devient légèrement supérieure à $T_0$.

💡 À retenir : $T \ge T_0$ (à vérifier par le professeur pour la démonstration exacte hors programme).

À quoi sert un dispositif d'entretien des oscillations dans un circuit RLC ?

Il sert à compenser l'énergie perdue par effet Joule dans les résistances du circuit. Le dispositif (souvent un montage avec amplificateur opérationnel) apporte à chaque instant une puissance $P = R_{tot} \cdot i^2$ .

💡 À retenir : L'entretien transforme le régime pseudo-périodique en régime périodique sinusoïdal.

Comment trouver la valeur de l'inductance L à partir d'une courbe d'établissement du courant ?

Déterminer $\tau$ graphiquement (tangente ou $0,63 \cdot I_{max}$ ).
Mesurer la résistance totale $R_{tot}$ du circuit.
Utiliser la formule $L = \tau \cdot R_{tot}$ .

💡 À retenir : $L$ s'exprime en Henry (H).

Déterminer $\tau$ graphiquement (tangente ou $0,63 \cdot I_{max}$).
Mesurer la résistance totale $R_{tot}$ du circuit.
Utiliser la formule $L = \tau \cdot R_{tot}$.

💡 À retenir : $L$ s'exprime en Henry (H).

Que devient l'énergie dans un circuit LC lorsque la tension uC est nulle ?

Lorsque $u_C = 0$ , l'énergie électrique $E_e = \frac{1}{2}Cu_C^2$ est nulle. Par conservation de l'énergie totale, l'énergie magnétique est alors maximale : $E_m = E_{max} = \frac{1}{2}Li_{max}^2$ .

💡 À retenir : Il y a un transfert total d'énergie du condensateur vers la bobine.

Lorsque $u_C = 0$, l'énergie électrique $E_e = \frac{1}{2}Cu_C^2$ est nulle. Par conservation de l'énergie totale, l'énergie magnétique est alors maximale : $E_m = E_{max} = \frac{1}{2}Li_{max}^2$.

💡 À retenir : Il y a un transfert total d'énergie du condensateur vers la bobine.

Pourquoi la bobine s'oppose-t-elle au passage du courant ?

C'est dû au phénomène d'auto-induction. Toute variation de courant crée une force électromotrice $e = -L\frac{di}{dt}$ qui, d'après la loi de Lenz, s'oppose à la cause qui lui a donné naissance.

💡 À retenir : La bobine "lisse" les variations d'intensité.

Comment évolue l'énergie totale dans un circuit RLC ?

L'énergie totale $E_T$ diminue au cours du temps à cause de la résistance. La puissance dissipée est $P_J = R_{tot} \cdot i^2$ . Sur un graphe, on voit les pics de $E_T$ descendre progressivement.

💡 À retenir : La décroissance de l'énergie est le signe de l'amortissement.

L'énergie totale $E_T$ diminue au cours du temps à cause de la résistance. La puissance dissipée est $P_J = R_{tot} \cdot i^2$. Sur un graphe, on voit les pics de $E_T$ descendre progressivement.

💡 À retenir : La décroissance de l'énergie est le signe de l'amortissement.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

On considère un circuit RC série comportant un générateur de tension $E = 10 V$ , un conducteur ohmique de résistance $R = 2 k\Omega$ et un condensateur de capacité $C$ initialement déchargé. À $t=0$ , on ferme l'interrupteur.

Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$ .
La solution est de la forme $u_C(t) = A(1 - e^{-t/\tau})$ . Déterminer $A$ et $\tau$ .
Calculer l'énergie emmagasinée par le condensateur en régime permanent si $C = 100 \mu F$ .

Exercice 1

On considère un circuit RC série comportant un générateur de tension $E = 10 V$, un conducteur ohmique de résistance $R = 2 k\Omega$ et un condensateur de capacité $C$ initialement déchargé. À $t=0$, on ferme l'interrupteur.

Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$.
La solution est de la forme $u_C(t) = A(1 - e^{-t/\tau})$. Déterminer $A$ et $\tau$.
Calculer l'énergie emmagasinée par le condensateur en régime permanent si $C = 100 \mu F$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Un circuit RL est composé d'une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r = 10 \Omega$ , et d'un conducteur ohmique $R = 40 \Omega$ . On applique une tension $E = 12 V$ .

Quelle est l'intensité $I_p$ du courant en régime permanent ?
On mesure $\tau = 2 ms$ . Calculer l'inductance $L$ .
Déterminer l'expression de la tension $u_L(t)$ aux bornes de la bobine lors de l'établissement du courant.

Exercice 2

Un circuit RL est composé d'une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r = 10 \Omega$, et d'un conducteur ohmique $R = 40 \Omega$. On applique une tension $E = 12 V$.

Quelle est l'intensité $I_p$ du courant en régime permanent ?
On mesure $\tau = 2 ms$. Calculer l'inductance $L$.
Déterminer l'expression de la tension $u_L(t)$ aux bornes de la bobine lors de l'établissement du courant.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Un circuit RLC série contient un condensateur $C = 10 \mu F$ chargé sous $U_0 = 6 V$ , une bobine $L = 0,4 H$ et une résistance totale $R$ .

Calculer la période propre $T_0$ .
Si $R=0$ , quelle est l'énergie totale du circuit ?
On observe un régime pseudo-périodique. L'amplitude de la tension passe de $6 V$ à $4 V$ après une pseudo-période. Calculer l'énergie perdue.

Exercice 3

Un circuit RLC série contient un condensateur $C = 10 \mu F$ chargé sous $U_0 = 6 V$, une bobine $L = 0,4 H$ et une résistance totale $R$.

Calculer la période propre $T_0$.
Si $R=0$, quelle est l'énergie totale du circuit ?
On observe un régime pseudo-périodique. L'amplitude de la tension passe de $6 V$ à $4 V$ après une pseudo-période. Calculer l'énergie perdue.

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