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📘 Fiche de cours
Vecteur normal au plan : Un plan $(P)$ est défini par un point $A(x_0, y_0, z_0)$ et un vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$. Son équation est $ax + by + cz + d = 0$.Produit vectoriel : $\vec{u} \wedge \vec{v}$ est un vecteur orthogonal à $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Sa norme est $|\vec{u} \wedge \vec{v}| = |\vec{u}| |\vec{v}| \sin(\theta)$.Distance point-plan : $d(A, (P)) = \frac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.Sphère : Équation $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$.
Déterminer l'équation d'un plan : Trouver un vecteur normal (souvent via un produit vectoriel de deux vecteurs directeurs).Étudier l'intersection plan-droite : Remplacer la représentation paramétrique de la droite dans l'équation du plan.Position relative d'une sphère et d'un plan : Comparer la distance du centre au plan avec le rayon $R$.
Plan passant par 3 points : Soient $A, B, C$. On calcule $\vec{AB} \wedge \vec{AC} = \vec{n}$. L'équation est $a(x-x_A) + b(y-y_A) + c(z-z_A) = 0$.Distance point-plan : Pour $A(1, 0, 2)$ et $(P): x+y+z-1=0$, $d = \frac{|1+0+2-1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
Oublier la valeur absolue dans la formule de la distance. Confondre vecteur directeur d'une droite et vecteur normal d'un plan. Se tromper dans le signe lors du calcul du déterminant pour le produit vectoriel. 🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.
Tout en arabe Vecteur directeur Touche pour traduire Vecteur normal Touche pour traduire Repère orthonormé Touche pour traduire Produit scalaire Touche pour traduire Produit vectoriel Touche pour traduire Représentation paramétrique Touche pour traduire Équation cartésienne Touche pour traduire Distance point-plan Touche pour traduire Orthogonalité Touche pour traduire Colinéarité Touche pour traduire Sphère Touche pour traduire Intersection Touche pour traduire
La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à Ustad Zéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit. Commencer gratuitement ❓ Questions fréquentes Comment savoir si deux plans sont parallèles ? Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux $\vec{n}$ et $\vec{n'}$ sont colinéaires, c'est-à-dire $\vec{n} = k\vec{n'}$.
💡 À retenir : Si les coefficients $(a, b, c)$ de leurs équations sont proportionnels, les plans sont parallèles.
Kifach n7seb l'equation d'un plan ila 3touni 3 d'no9at?
7seb les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
7seb l'produit vectoriel $\vec{n} = \vec{AB} \wedge \vec{AC}$.
L'equation hiya $ax + by + cz + d = 0$ et 3awd b no9ta A bach t-l9a $d$.
💡 À retenir : Le produit vectoriel donne toujours un vecteur normal au plan formé par les deux vecteurs.
Est-ce que le produit scalaire est toujours nul pour des vecteurs orthogonaux ? Oui, par définition, deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
💡 À retenir : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff \vec{u} \perp \vec{v}$.
Chno hiya l'far9 bin l'equation cartésienne d'un plan et d'une sphère ? Le plan est de degré 1 ($ax+by+cz+d=0$), tandis que la sphère est de degré 2 ($(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$).
💡 À retenir : La sphère contient des termes au carré pour $x, y$ et $z$.
Kifach n3ref wach l'droite 3amoudi 3la l'plan ? Il faut vérifier si le vecteur directeur de la droite est colinéaire au vecteur normal du plan.
💡 À retenir : $\vec{u} = k\vec{n}$ signifie que la droite est perpendiculaire au plan.
Peut-on calculer le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires ? Oui, mais le résultat sera toujours le vecteur nul $\vec{0}$.
💡 À retenir : Le produit vectoriel est nul si et seulement si les vecteurs sont colinéaires.
Comment trouver l'intersection d'une droite et d'une sphère ?
Injecter la représentation paramétrique de la droite dans l'équation de la sphère.
Résoudre l'équation du second degré obtenue en $t$.
💡 À retenir : 0 solution = pas d'intersection, 1 solution = tangente, 2 solutions = sécante.
Est-ce que la distance d'un point à une droite est au programme ? (à vérifier par le professeur) Dans le programme actuel du baccalauréat marocain, la distance point-droite n'est pas explicitement au programme, on se concentre sur la distance point-plan.
💡 À retenir : Concentrez-vous sur la distance point-plan et la distance centre-plan pour les sphères.
Comment montrer qu'une droite est incluse dans un plan ? Il faut montrer que deux points distincts de la droite appartiennent au plan, ou qu'un point de la droite est dans le plan et que le vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal.
💡 À retenir : Vérifiez toujours les deux conditions (point + orthogonalité).
Est-ce que le produit vectoriel est commutatif ? Non, il est anticommutatif : $\vec{u} \wedge \vec{v} = -(\vec{v} \wedge \vec{u})$.
💡 À retenir : L'ordre des vecteurs change le signe du résultat.
Chno hiya l'condition bach ykon l'plan tangent l'falkat ? Il faut que la distance du centre de la sphère au plan soit égale au rayon $R$ de la sphère.
💡 À retenir : $d(\Omega, (P)) = R$.
Comment normaliser un vecteur ? En divisant le vecteur par sa norme : $\vec{u}_{normé} = \frac{1}{|\vec{u}|} \vec{u}$.
💡 À retenir : Un vecteur normalisé a une norme égale à 1.
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Vecteur normal au plan : Un plan ( P ) (P) ( P ) A ( x 0 , y 0 , z 0 ) A(x_0, y_0, z_0) A ( x 0 , y 0 , z 0 ) n ⃗ ( a , b , c ) \vec{n}(a, b, c) n ( a , b , c ) a x + b y + c z + d = 0 ax + by + cz + d = 0 a x + b y + cz + d = 0 Produit vectoriel : u ⃗ ∧ v ⃗ \vec{u} \wedge \vec{v} u ∧ v u ⃗ \vec{u} u v ⃗ \vec{v} v ∥ u ⃗ ∧ v ⃗ ∥ = ∥ u ⃗ ∥ ∥ v ⃗ ∥ sin ( θ ) \|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \sin(\theta) ∥ u ∧ v ∥ = ∥ u ∥∥ v ∥ sin ( θ ) Distance point-plan : d ( A , ( P ) ) = ∣ a x A + b y A + c z A + d ∣ a 2 + b 2 + c 2 d(A, (P)) = \frac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} d ( A , ( P )) = a 2 + b 2 + c 2 ∣ a x A + b y A + c z A + d ∣ Sphère : Équation ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = R 2 (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = R 2
Déterminer l'équation d'un plan : Trouver un vecteur normal (souvent via un produit vectoriel de deux vecteurs directeurs).Étudier l'intersection plan-droite : Remplacer la représentation paramétrique de la droite dans l'équation du plan.Position relative d'une sphère et d'un plan : Comparer la distance du centre au plan avec le rayon R R R
Plan passant par 3 points : Soient A , B , C A, B, C A , B , C A B ⃗ ∧ A C ⃗ = n ⃗ \vec{AB} \wedge \vec{AC} = \vec{n} A B ∧ A C = n a ( x − x A ) + b ( y − y A ) + c ( z − z A ) = 0 a(x-x_A) + b(y-y_A) + c(z-z_A) = 0 a ( x − x A ) + b ( y − y A ) + c ( z − z A ) = 0 Distance point-plan : Pour A ( 1 , 0 , 2 ) A(1, 0, 2) A ( 1 , 0 , 2 ) ( P ) : x + y + z − 1 = 0 (P): x+y+z-1=0 ( P ) : x + y + z − 1 = 0 d = ∣ 1 + 0 + 2 − 1 ∣ 1 2 + 1 2 + 1 2 = 2 3 d = \frac{|1+0+2-1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} d = 1 2 + 1 2 + 1 2 ∣1 + 0 + 2 − 1∣ = 3 2
Oublier la valeur absolue dans la formule de la distance. Confondre vecteur directeur d'une droite et vecteur normal d'un plan. Se tromper dans le signe lors du calcul du déterminant pour le produit vectoriel. Le vecteur normal au plan 2 x − y + 3 z + 5 = 0 2x - y + 3z + 5 = 0 2 x − y + 3 z + 5 = 0
( 2 , − 1 , 3 ) (2, -1, 3) ( 2 , − 1 , 3 )
( − 2 , 1 , − 3 ) (-2, 1, -3) ( − 2 , 1 , − 3 )
( 1 , − 1 , 1 ) (1, -1, 1) ( 1 , − 1 , 1 )
Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux n ⃗ \vec{n} n n ′ ⃗ \vec{n'} n ′ n ⃗ = k n ′ ⃗ \vec{n} = k\vec{n'} n = k n ′
💡 À retenir : Si les coefficients ( a , b , c ) (a, b, c) ( a , b , c )
7seb les vecteurs A B ⃗ \vec{AB} A B A C ⃗ \vec{AC} A C
7seb l'produit vectoriel n ⃗ = A B ⃗ ∧ A C ⃗ \vec{n} = \vec{AB} \wedge \vec{AC} n = A B ∧ A C
L'equation hiya a x + b y + c z + d = 0 ax + by + cz + d = 0 a x + b y + cz + d = 0 d d d
💡 À retenir : Le produit vectoriel donne toujours un vecteur normal au plan formé par les deux vecteurs.
Oui, par définition, deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
💡 À retenir : u ⃗ ⋅ v ⃗ = 0 ⟺ u ⃗ ⊥ v ⃗ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff \vec{u} \perp \vec{v} u ⋅ v = 0 ⟺ u ⊥ v
Le plan est de degré 1 (a x + b y + c z + d = 0 ax+by+cz+d=0 a x + b y + cz + d = 0 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = R 2 (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = R 2
💡 À retenir : La sphère contient des termes au carré pour x , y x, y x , y z z z
Il faut vérifier si le vecteur directeur de la droite est colinéaire au vecteur normal du plan.
💡 À retenir : u ⃗ = k n ⃗ \vec{u} = k\vec{n} u = k n
Oui, mais le résultat sera toujours le vecteur nul 0 ⃗ \vec{0} 0
💡 À retenir : Le produit vectoriel est nul si et seulement si les vecteurs sont colinéaires.
Injecter la représentation paramétrique de la droite dans l'équation de la sphère.
Résoudre l'équation du second degré obtenue en t t t
💡 À retenir : 0 solution = pas d'intersection, 1 solution = tangente, 2 solutions = sécante.
Non, il est anticommutatif : u ⃗ ∧ v ⃗ = − ( v ⃗ ∧ u ⃗ ) \vec{u} \wedge \vec{v} = -(\vec{v} \wedge \vec{u}) u ∧ v = − ( v ∧ u )
💡 À retenir : L'ordre des vecteurs change le signe du résultat.
Il faut que la distance du centre de la sphère au plan soit égale au rayon R R R
💡 À retenir : d ( Ω , ( P ) ) = R d(\Omega, (P)) = R d ( Ω , ( P )) = R
En divisant le vecteur par sa norme : u ⃗ n o r m e ˊ = 1 ∥ u ⃗ ∥ u ⃗ \vec{u}_{normé} = \frac{1}{\|\vec{u}\|} \vec{u} u n or m e ˊ = ∥ u ∥ 1 u
💡 À retenir : Un vecteur normalisé a une norme égale à 1.
Exercice 1
Soient A ( 1 , 0 , 0 ) A(1, 0, 0) A ( 1 , 0 , 0 ) B ( 0 , 1 , 0 ) B(0, 1, 0) B ( 0 , 1 , 0 ) C ( 0 , 0 , 1 ) C(0, 0, 1) C ( 0 , 0 , 1 ) ( A B C ) (ABC) ( A B C )
Exercice 2
Soit ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y − 2 z = 0 (S): x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z = 0 ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y − 2 z = 0 ( S ) (S) ( S )
Exercice 3
Déterminer l'intersection de la droite ( D ) : x = t , y = t , z = t (D): x=t, y=t, z=t ( D ) : x = t , y = t , z = t ( P ) : x + y + z − 3 = 0 (P): x+y+z-3=0 ( P ) : x + y + z − 3 = 0