Prépa concours Médecine · Médecine, pharmacie & dentaire

Calcul intégral et équations différentielles

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. Calcul Intégral

Primitive : Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$ .
Primitives usuelles :
- $x^n \longrightarrow \frac{x^{n+1}}{n+1}$ (pour $n \neq -1$ )
- $\frac{1}{x} \longrightarrow \ln|x|$
- $e^{ax} \longrightarrow \frac{1}{a}e^{ax}$
- $\cos(ax) \longrightarrow \frac{1}{a}\sin(ax)$
- $\sin(ax) \longrightarrow -\frac{1}{a}\cos(ax)$
Intégrale définie : Si $F$ est une primitive de $f$ , alors : $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$
Intégration par parties (IPP) : Si $u$ et $v$ sont dérivables, alors : $\int_{a}^{b} u(x)v'(x) \, dx = [u(x)v(x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x)v(x) \, dx$

2. Équations différentielles (1er ordre)

Forme $y' = ay$ : Les solutions sont de la forme $y(x) = Ce^{ax}$ , où $C \in \mathbb{R}$ .
Forme $y' = ay + b$ : Les solutions sont de la forme $y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$ (si $a \neq 0$ ).
Forme $y' = f(x)$ : Les solutions sont de la forme $y(x) = F(x) + C$ , où $F$ est une primitive de $f$ .

Méthodes à maîtriser

Calculer une intégrale : Trouver la primitive, puis appliquer les bornes.
Utiliser l'IPP : Choisir $u(x)$ (qui se simplifie par dérivation) et $v'(x)$ (dont on connaît la primitive).
Résoudre une équation différentielle : Appliquer la formule directe et utiliser la condition initiale pour trouver $C$ .
Calculer une aire : L'aire entre la courbe $C_f$ et l'axe des abscisses est $\int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Calculer $I = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$ .

Solution : La primitive de $\frac{1}{x}$ est $\ln(x)$ .
$I = [\ln(x)]_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$ .

Exemple 2 : Résoudre $y' = 3y$ avec $y(0) = 5$ .

Solution : La solution générale est $y(x) = Ce^{3x}$ .
Condition initiale : $y(0) = C e^{0} = C = 5$ .
D'où $y(x) = 5e^{3x}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ lors de la recherche d'une solution d'équation différentielle.
Inverser les bornes dans le calcul de $[F(x)]_a^b$ (faire $F(a) - F(b)$ au lieu de $F(b) - F(a)$ ).
Erreur de signe lors de l'utilisation de l'IPP.
Confondre la primitive (une famille de fonctions) et l'intégrale (un nombre).

L'essentiel du cours

1. Calcul Intégral

Primitive : Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$.
Primitives usuelles :
- $x^n \longrightarrow \frac{x^{n+1}}{n+1}$ (pour $n \neq -1$)
- $\frac{1}{x} \longrightarrow \ln|x|$
- $e^{ax} \longrightarrow \frac{1}{a}e^{ax}$
- $\cos(ax) \longrightarrow \frac{1}{a}\sin(ax)$
- $\sin(ax) \longrightarrow -\frac{1}{a}\cos(ax)$
Intégrale définie : Si $F$ est une primitive de $f$, alors : $$\int_{a}^{b} f(x) , dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$
Intégration par parties (IPP) : Si $u$ et $v$ sont dérivables, alors : $$\int_{a}^{b} u(x)v'(x) , dx = [u(x)v(x)]{a}^{b} - \int{a}^{b} u'(x)v(x) , dx$$

2. Équations différentielles (1er ordre)

Forme $y' = ay$ : Les solutions sont de la forme $y(x) = Ce^{ax}$, où $C \in \mathbb{R}$.
Forme $y' = ay + b$ : Les solutions sont de la forme $y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$ (si $a \neq 0$).
Forme $y' = f(x)$ : Les solutions sont de la forme $y(x) = F(x) + C$, où $F$ est une primitive de $f$.

Méthodes à maîtriser

Calculer une intégrale : Trouver la primitive, puis appliquer les bornes.
Utiliser l'IPP : Choisir $u(x)$ (qui se simplifie par dérivation) et $v'(x)$ (dont on connaît la primitive).
Résoudre une équation différentielle : Appliquer la formule directe et utiliser la condition initiale pour trouver $C$.
Calculer une aire : L'aire entre la courbe $C_f$ et l'axe des abscisses est $\int_{a}^{b} |f(x)| , dx$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Calculer $I = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} , dx$.

Solution : La primitive de $\frac{1}{x}$ est $\ln(x)$.
$I = [\ln(x)]_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$.

Exemple 2 : Résoudre $y' = 3y$ avec $y(0) = 5$.

Solution : La solution générale est $y(x) = Ce^{3x}$.
Condition initiale : $y(0) = C e^{0} = C = 5$.
D'où $y(x) = 5e^{3x}$.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ lors de la recherche d'une solution d'équation différentielle.
Inverser les bornes dans le calcul de $[F(x)]_a^b$ (faire $F(a) - F(b)$ au lieu de $F(b) - F(a)$).
Erreur de signe lors de l'utilisation de l'IPP.
Confondre la primitive (une famille de fonctions) et l'intégrale (un nombre).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Calcul intégral et équations différentielles

1/4

Quelle est une primitive de $f(x) = \frac{1}{x}$ sur $]0, +\infty[$ ?

❓ Questions fréquentes

La primitive de cos(x) est-elle sin(x) ?

Oui, car la dérivée de $\sin(x)$ est bien $\cos(x)$ .

💡 À retenir : Vérifie toujours en dérivant ton résultat.

Oui, car la dérivée de $\sin(x)$ est bien $\cos(x)$.

💡 À retenir : Vérifie toujours en dérivant ton résultat.

Comment calculer int{a}^{b} k cdot f(x) dx où k est une constante ?

Tu peux sortir la constante de l'intégrale : $k \cdot \int_{a}^{b} f(x) dx$ .

💡 À retenir : C'est la propriété de linéarité.

Tu peux sortir la constante de l'intégrale : $k \cdot \int_{a}^{b} f(x) dx$.

💡 À retenir : C'est la propriété de linéarité.

Quelle est la primitive de e^{2x} ?

La primitive est $\frac{1}{2}e^{2x}$ .

💡 À retenir : Pour $e^{ax}$ , la primitive est toujours $\frac{1}{a}e^{ax}$ .

La primitive est $\frac{1}{2}e^{2x}$.

💡 À retenir : Pour $e^{ax}$, la primitive est toujours $\frac{1}{a}e^{ax}$.

Kifach n7seb l'intégrale dyal x^n ?

Identifie l'exposant $n$ .
Ajoute 1 à l'exposant pour obtenir $n+1$ .
Divise la fonction par ce nouvel exposant. La primitive est $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ .

💡 À retenir : Attention, cette formule ne marche pas si $n = -1$ (dans ce cas, la primitive est $\ln|x|$ ).

Identifie l'exposant $n$.
Ajoute 1 à l'exposant pour obtenir $n+1$.
Divise la fonction par ce nouvel exposant. La primitive est $\frac{x^{n+1}}{n+1}$.

💡 À retenir : Attention, cette formule ne marche pas si $n = -1$ (dans ce cas, la primitive est $\ln|x|$).

Chno hiya l'équation différentielle y' = ay + b ?

C'est une équation qui relie une fonction à sa dérivée. Pour le concours, retiens la solution directe :

La forme générale est $y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$ .
$C$ est une constante réelle que l'on trouve grâce à une condition initiale (ex: $y(0) = \dots$ ).

💡 À retenir : Apprends par cœur la forme de la solution pour gagner du temps.

C'est une équation qui relie une fonction à sa dérivée. Pour le concours, retiens la solution directe :

La forme générale est $y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$.
$C$ est une constante réelle que l'on trouve grâce à une condition initiale (ex: $y(0) = \dots$).

💡 À retenir : Apprends par cœur la forme de la solution pour gagner du temps.

Chno lfarq bin primitive et intégrale ?

Une primitive est une fonction $F$ telle que $F' = f$ . C'est une fonction.
Une intégrale $\int_{a}^{b} f(x) dx$ est un nombre réel qui représente souvent une aire.

💡 À retenir : On cherche une primitive pour pouvoir calculer une intégrale.

Une primitive est une fonction $F$ telle que $F' = f$. C'est une fonction.
Une intégrale $\int_{a}^{b} f(x) dx$ est un nombre réel qui représente souvent une aire.

💡 À retenir : On cherche une primitive pour pouvoir calculer une intégrale.

Comment choisir u(x) et v'(x) pour une intégration par parties ?

Utilise la règle ALPES pour choisir $u(x)$ (la fonction qui sera dérivée) :

Arcsin, Arccos
Logarithme ( $\ln$ )
Polynôme ( $x^2, 3x, \dots$ )
Exponentielle ( $e^x$ )
Sinus / Cosinus Le reste devient $v'(x)$ .

💡 À retenir : Les polynômes sont de bons candidats pour $u(x)$ car leur degré diminue en dérivant.

Utilise la règle ALPES pour choisir $u(x)$ (la fonction qui sera dérivée) :

Arcsin, Arccos
Logarithme ($\ln$)
Polynôme ($x^2, 3x, \dots$)
Exponentielle ($e^x$)
Sinus / Cosinus Le reste devient $v'(x)$.

💡 À retenir : Les polynômes sont de bons candidats pour $u(x)$ car leur degré diminue en dérivant.

Est-ce que int{a}^{b} f(x) dx est toujours positif ?

Non. L'intégrale est positive si la fonction est majoritairement au-dessus de l'axe des abscisses. Si la fonction est en dessous, l'intégrale est négative. Pour calculer une aire, on utilise la valeur absolue.

💡 À retenir : Intégrale $\neq$ Aire (sauf si $f(x) \geq 0$ ).

💡 À retenir : Intégrale $\neq$ Aire (sauf si $f(x) \geq 0$).

Comment résoudre y' = f(x) ?

Trouve une primitive $F(x)$ de la fonction $f(x)$ .
La solution est $y(x) = F(x) + C$ , où $C$ est une constante.

💡 À retenir : C'est le cas le plus simple des équations différentielles.

Trouve une primitive $F(x)$ de la fonction $f(x)$.
La solution est $y(x) = F(x) + C$, où $C$ est une constante.

💡 À retenir : C'est le cas le plus simple des équations différentielles.

Quelle est la primitive de frac{1}{x+a} ?

La primitive est $\ln|x+a|$ .

💡 À retenir : N'oublie pas la valeur absolue pour que le logarithme soit défini.

La primitive est $\ln|x+a|$.

💡 À retenir : N'oublie pas la valeur absolue pour que le logarithme soit défini.

Que faire si on me donne y(0) = y0 dans une équation différentielle ?

Écris la solution générale (ex: $y(x) = Ce^{ax}$ ).
Remplace $x$ par $0$ et $y(x)$ par $y_0$ .
Résous l'équation pour trouver la valeur de $C$ .

💡 À retenir : La condition initiale sert uniquement à fixer la constante $C$ .

Écris la solution générale (ex: $y(x) = Ce^{ax}$).
Remplace $x$ par $0$ et $y(x)$ par $y_0$.
Résous l'équation pour trouver la valeur de $C$.

💡 À retenir : La condition initiale sert uniquement à fixer la constante $C$.

Comment calculer l'aire entre deux courbes f et g ?

Trouve les points d'intersection en résolvant $f(x) = g(x)$ .
Calcule l'intégrale de la différence : $\int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx$ .

💡 À retenir : Il faut vérifier quelle fonction est la plus grande sur l'intervalle.

Trouve les points d'intersection en résolvant $f(x) = g(x)$.
Calcule l'intégrale de la différence : $\int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| , dx$.

💡 À retenir : Il faut vérifier quelle fonction est la plus grande sur l'intervalle.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_{0}^{2} (3x^2 - 4x + 1) \, dx$

Exercice 2 (Niveau Moyen) :

Résoudre l'équation différentielle $(E) : y' + y = e^x$ avec la condition initiale $y(0) = 1$ .
Calculer l'intégrale $J = \int_{0}^{1} y(x) \, dx$ où $y$ est la solution trouvée.

Exercice 3 (Niveau Difficile) : Soit $f$ la fonction définie sur $[1, e]$ par $f(x) = \ln(x)$ .

Calculer $\int_{1}^{e} \ln(x) \, dx$ en utilisant une intégration par parties.
Soit $g$ la fonction définie sur $[1, e]$ par $g(x) = x \ln(x)$ . Calculer $\int_{1}^{e} g(x) \, dx$ .

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Calculer l'intégrale suivante : $$I = \int_{0}^{2} (3x^2 - 4x + 1) , dx$$

Exercice 2 (Niveau Moyen) :

Résoudre l'équation différentielle $(E) : y' + y = e^x$ avec la condition initiale $y(0) = 1$.
Calculer l'intégrale $J = \int_{0}^{1} y(x) , dx$ où $y$ est la solution trouvée.

Exercice 3 (Niveau Difficile) : Soit $f$ la fonction définie sur $[1, e]$ par $f(x) = \ln(x)$.

Calculer $\int_{1}^{e} \ln(x) , dx$ en utilisant une intégration par parties.
Soit $g$ la fonction définie sur $[1, e]$ par $g(x) = x \ln(x)$. Calculer $\int_{1}^{e} g(x) , dx$.

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