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Prépa concours Médecine · Médecine, pharmacie & dentaire

Fonctions logarithmes et exponentielles

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. La fonction Logarithme Népérien ($\ln$)

  • Définition : La fonction $\ln$ est la primitive de $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $]0, +\infty[$ qui s'annule en 1.
  • Propriétés algébriques : Pour tous $a, b \in ]0, +\infty[$ et $r \in \mathbb{Q}$ :
    • $\ln(ab) = \ln a + \ln b$
    • $\ln(\frac{1}{a}) = -\ln a$ ; $\ln(\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b$
    • $\ln(a^r) = r \ln a$
  • Limites usuelles :
    • $\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ ; $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$
    • $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$ ($n \in \mathbb{N}^*$) ; $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0$
    • $\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1} = 1$ ; $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$
  • Dérivée : $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$ sur les intervalles où $u(x) > 0$.

2. La fonction Exponentielle ($e^x$)

  • Définition : C'est la fonction réciproque de $\ln$. Elle est définie sur $\mathbb{R}$ à valeurs dans $]0, +\infty[$.
  • Propriétés algébriques : Pour tous $a, b \in \mathbb{R}$ :
    • $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$ ; $e^{-a} = \frac{1}{e^a}$ ; $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$
    • $(e^a)^r = e^{ra}$ ($r \in \mathbb{Q}$)
  • Limites usuelles :
    • $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ ; $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$
    • $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ ; $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ ($n \in \mathbb{N}^*$)
    • $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$
  • Dérivée : $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$.

Méthodes à maîtriser

  • Déterminer le domaine de définition : Pour $\ln(u(x))$, il faut $u(x) > 0$. Pour $e^{u(x)}$, c'est le domaine de $u$.
  • Lever une indétermination : Utiliser les croissances comparées ($\frac{e^x}{x^n}$ ou $\frac{\ln x}{x^n}$) en posant parfois un changement de variable $X = \frac{1}{x}$ ou $X = -x$.
  • Étudier le signe : Se ramener à $e^X > 1 \iff X > 0$ ou $\ln X > 0 \iff X > 1$.
  • Résoudre des équations : Utiliser $e^a = e^b \iff a = b$ et $\ln a = \ln b \iff a = b$ (avec $a, b > 0$).

Exemples corrigés

  • Calcul de limite : $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x - 1}{x^2}$. Par croissance comparée, $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2} = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2} = 0$, donc la limite est $+\infty$.
  • Dérivée : Soit $f(x) = \ln(x^2 + 1)$. $f'(x) = \frac{(x^2+1)'}{x^2+1} = \frac{2x}{x^2+1}$.

Erreurs fréquentes

  • Écrire $\ln(a+b) = \ln a + \ln b$ (C'est faux !).
  • Oublier que $e^x$ est toujours strictement positif (l'équation $e^x = -2$ n'a pas de solution).
  • Confondre $\ln(x^2)$ (défini sur $\mathbb{R}^*$) et $2\ln x$ (défini sur $]0, +\infty[$).
  • Appliquer les limites de croissance comparée en $0$ alors qu'elles sont valables en $+\infty$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Fonctions logarithmes et exponentielles

1/4

Quel est le domaine de définition de $f(x) = \ln(x^2 - 3x + 2)$ ?

❓ Questions fréquentes

Monsieur, comment savoir si je dois utiliser ln ou e^x pour résoudre une équation ?
  1. Identifie la fonction "bloquante" : si l'inconnue $x$ est dans un $\ln$, utilise l'exponentielle pour l'enlever. Si $x$ est en exposant, utilise le logarithme.
  2. Applique la règle de réciprocité : $e^{\ln(X)} = X$ (pour $X>0$) et $\ln(e^X) = X$.
  3. Exemple : Pour $e^{2x} = 3$, on applique $\ln$ des deux côtés : $\ln(e^{2x}) = \ln(3) \implies 2x = \ln 3 \implies x = \frac{\ln 3}{2}$.
  4. Exemple : Pour $\ln(x-1) = 5$, on applique l'exponentielle : $e^{\ln(x-1)} = e^5 \implies x-1 = e^5 \implies x = e^5 + 1$.

💡 À retenir : L'exponentielle et le logarithme sont des fonctions "ennemies" qui s'annulent entre elles.

kifach n7seb lim dyal x ln x melli x kat9reb l 0^+ ?
  1. Hadi khassia (propriété) f dars smitha "croissances comparées".
  2. Wakha $x$ kat9reb l 0 o $\ln x$ kat9reb l $-\infty$, l9anoun f l-mat dima kay9oul belli $x$ (l-pouwance) hya li ghalba $\ln$.
  3. Dakchi lach $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$.
  4. Nafss l-7aja ila kant $x^2 \ln x$ awla $x^n \ln x$, dima natija hya 0.

💡 À retenir : $x$ dima ghalba $\ln x$ f jiht 0 o f jiht $+\infty$.

Est-ce que ln(x^2) est toujours égal à 2ln x ?
  1. Non, pas toujours. Il faut faire attention au domaine de définition.
  2. $\ln(x^2)$ est définie pour $x^2 > 0$, donc pour tout $x \neq 0$ (négatif ou positif).
  3. $2\ln x$ est définie uniquement pour $x > 0$.
  4. La formule correcte et générale est $\ln(x^2) = 2\ln|x|$. Si l'énoncé précise que $x > 0$, alors tu peux écrire $2\ln x$ sans les barres de valeur absolue.

💡 À retenir : $\ln(x^{2k}) = 2k \ln|x|$ pour tout entier $k$.

chno hiya l-far9 bin ln(x) o log(x) ?
  1. $\ln(x)$ hya le logarithme népérien, l-asass (la base) dyalha hwa l-3adad $e \approx 2,71$. Hya li kankhedmo biha bzaf f l-bac.
  2. $\log(x)$ hya le logarithme décimal, l-asass dyalha hwa 10. Katkhedmo biha f l-chimie (pH = $-\log[H_3O^+]$).
  3. L-3ala9a binat-hom hya : $\log(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}$.
  4. F l-mat, ila maktbouch l-asass l-te7t, rah l-ma9soud hwa $\ln$.

💡 À retenir : $\ln$ base $e$, $\log$ base 10.

Comment dériver une fonction de la forme e^{u(x)} sans se tromper ?
  1. Identifie clairement la fonction $u(x)$ qui est "en haut" dans l'exposant.
  2. Calcule la dérivée $u'(x)$ séparément.
  3. Applique la formule : la dérivée de $e^{u}$ est $u' \times e^{u}$.
  4. Ne touche jamais à l'exposant de l'exponentielle dans le résultat final, il reste identique.
  5. Exemple : Pour $f(x) = e^{x^2+3x}$, on a $u(x) = x^2+3x$, donc $u'(x) = 2x+3$. Le résultat est $f'(x) = (2x+3)e^{x^2+3x}$.

💡 À retenir : On fait descendre la dérivée de l'exposant devant l'exponentielle.

kifach n7el mo3adala fiha e^{2x} + e^x - 2 = 0 ?
  1. Hadi mo3adala katban s3iba walakin khassna ndiro "changement de variable".
  2. N7etto $X = e^x$. 39el belli $X$ dima khasso ikoun kber mn 0.
  3. Mo3adala ghat-oulli : $X^2 + X - 2 = 0$.
  4. 7seb $\Delta$ (Delta) : $\Delta = 1^2 - 4(1)(-2) = 9$. L-7ouloul dyal $X$ homa $X_1 = 1$ o $X_2 = -2$.
  5. Nrej3o l $x$ : $e^x = 1 \implies x = \ln(1) = 0$. Awla $e^x = -2$ (had l-7al msta7il hit $e^x > 0$).
  6. L-7al l-wa7id hwa $S = {0}$.

💡 À retenir : Ila l9iti $e^{2x}$ o $e^x$, fekker f mo3adala mn daraja tanya.

Pourquoi lim{x to 0} frac{ln(1+x)}{x} = 1 ?
  1. C'est la définition du nombre dérivé de la fonction $f(x) = \ln(1+x)$ au point $0$.
  2. On sait que $f'(x) = \frac{1}{1+x}$.
  3. Le nombre dérivé en $0$ est $f'(0) = \frac{1}{1+0} = 1$.
  4. Par définition, $f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - \ln(1)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}$.
  5. D'où le résultat égal à 1.

💡 À retenir : Cette limite est très utile pour lever des indéterminations de type "0/0".

Comment étudier le signe de f(x) = 1 - ln x ?
  1. On résout d'abord l'équation $1 - \ln x = 0 \implies \ln x = 1 \implies x = e^1 = e$.
  2. On résout l'inéquation $1 - \ln x > 0 \implies 1 > \ln x \implies \ln e > \ln x \implies e > x$.
  3. Donc, $f(x)$ est positive sur $]0, e]$ et négative sur $[e, +\infty[$.
  4. Attention : n'oublie pas que le domaine est $]0, +\infty[$.

💡 À retenir : Pour le signe d'une expression avec $\ln$, on se ramène à une comparaison avec $\ln(e^a)$.

Quelle est la différence entre ln(x) et |ln(x)| dans une intégrale ? (à vérifier par le professeur)
  1. La fonction $\ln(x)$ change de signe en $x=1$.
  2. Sur $]0, 1]$, $\ln(x) \leq 0$, donc $|\ln(x)| = -\ln(x)$.
  3. Sur $[1, +\infty[$, $\ln(x) \geq 0$, donc $|\ln(x)| = \ln(x)$.
  4. Si tu dois calculer l'intégrale de la valeur absolue, tu dois couper l'intégrale en deux avec la relation de Chasles au point 1.

💡 À retenir : La valeur absolue nécessite toujours une étude de signe préalable.

Comment simplifier l'expression A = ln(sqrt{e}) ?
  1. Rappelle-toi que la racine carrée peut s'écrire comme une puissance : $\sqrt{X} = X^{1/2}$.
  2. Donc $A = \ln(e^{1/2})$.
  3. Utilise la propriété $\ln(a^r) = r \ln a$.
  4. $A = \frac{1}{2} \ln(e)$.
  5. Comme $\ln(e) = 1$, on obtient $A = \frac{1}{2}$.

💡 À retenir : $\ln(\sqrt{e}) = 1/2$ et plus généralement $\ln(e^k) = k$.

Peut-on avoir un x négatif à l'intérieur d'une exponentielle ?
  1. Oui, absolument. Le domaine de définition de la fonction $x \mapsto e^x$ est $\mathbb{R}$.
  2. $e^{-5}$ est un nombre parfaitement valide, il est égal à $\frac{1}{e^5}$.
  3. Ce qui est impossible, c'est que le résultat de l'exponentielle soit négatif. $e^x$ est toujours $> 0$, peu importe si $x$ est positif, négatif ou nul.

💡 À retenir : $x$ peut être n'importe quoi dans $e^x$, mais $e^x$ sera toujours strictement positif.

Comment calculer la limite lim{x to +infty} (x - e^x) ?
  1. C'est une forme indéterminée "$+\infty - \infty$".
  2. On factorise par le terme le plus fort, ici $e^x$.
  3. $x - e^x = e^x (\frac{x}{e^x} - 1)$.
  4. On sait par croissance comparée que $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$, donc son inverse $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0$.
  5. La parenthèse tend vers $(0 - 1) = -1$.
  6. Le produit $+\infty \times (-1)$ donne $-\infty$.

💡 À retenir : En cas d'indétermination avec $e^x$ et $x$, factoriser par $e^x$ est souvent la solution.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par : $f(x) = x - 2 + \ln x$.

  1. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
  2. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations.
  3. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[1, 2]$.
  4. Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1.
Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = (x-1)e^x + 1$.

  1. Calculer $\lim_{x \to -\infty} g(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x)$.
  2. Calculer $g'(x)$ et étudier son signe.
  3. En déduire que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $g(x) \geq 0$.
  4. Soit $f(x) = x + (x-2)e^x$. Montrer que $f'(x) = g(x)$.
Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

On considère la fonction $h$ définie par $h(x) = \ln(e^{2x} - e^x)$.

  1. Déterminer $D_h$, l'ensemble de définition de $h$.
  2. Calculer $\lim_{x \to +\infty} h(x)$.
  3. Montrer que la droite d'équation $y = 2x$ est une asymptote à la courbe en $+\infty$.
  4. Calculer $h'(x)$ et dresser le tableau de variations.
Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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