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Dérivabilité et étude de fonctions

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dérivabilité en un point : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$ . Géométriquement, la courbe admet une tangente au point d'abscisse $a$ d'équation $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .
Dérivabilité à droite/gauche : Permet d'étudier les points anguleux. Si $f'_d(a) \neq f'_g(a)$ , la courbe admet deux demi-tangentes.
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$ , $(uv)' = u'v+uv'$ , $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$ , $(f \circ g)' = g' \cdot (f' \circ g)$ .
Monotonie : Si $f'(x) > 0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement croissante. Si $f'(x) = 0$ et change de signe en $a$ , alors $f(a)$ est un extremum.
Concavité : Si $f''(x) > 0$ , la courbe est convexe (tournée vers le haut). Si $f''(x)$ change de signe en $a$ , le point $A(a, f(a))$ est un point d'inflexion.

Méthodes à maîtriser

Étude des branches infinies : Calculer $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ pour déterminer la direction asymptotique.
Recherche d'extremums : Résoudre $f'(x) = 0$ et dresser le tableau de variations complet.
Étude de la position relative : Étudier le signe de $f(x) - (ax+b)$ pour déterminer si la courbe est au-dessus ou en dessous de son asymptote.

Exemples corrigés

Tangente : Soit $f(x) = x^2$ en $a=1$ . $f'(x)=2x$ , donc $f'(1)=2$ . Équation : $y = 2(x-1) + 1 = 2x - 1$ .
Point d'inflexion : Soit $f(x) = x^3$ . $f''(x) = 6x$ . $f''(x)=0$ en $x=0$ et change de signe, donc $(0,0)$ est un point d'inflexion.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que $f$ est dérivable sur un intervalle avant de calculer $f'(x)$ .
Confondre $f'(x) = 0$ (condition nécessaire) avec $f'(x)$ change de signe (condition suffisante pour un extremum).
Ne pas vérifier le domaine de définition avant de dériver.

L'essentiel du cours

Dérivabilité en un point : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$. Géométriquement, la courbe admet une tangente au point d'abscisse $a$ d'équation $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
Dérivabilité à droite/gauche : Permet d'étudier les points anguleux. Si $f'_d(a) \neq f'_g(a)$, la courbe admet deux demi-tangentes.
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$, $(uv)' = u'v+uv'$, $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$, $(f \circ g)' = g' \cdot (f' \circ g)$.
Monotonie : Si $f'(x) > 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante. Si $f'(x) = 0$ et change de signe en $a$, alors $f(a)$ est un extremum.
Concavité : Si $f''(x) > 0$, la courbe est convexe (tournée vers le haut). Si $f''(x)$ change de signe en $a$, le point $A(a, f(a))$ est un point d'inflexion.

Méthodes à maîtriser

Étude des branches infinies : Calculer $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ pour déterminer la direction asymptotique.
Recherche d'extremums : Résoudre $f'(x) = 0$ et dresser le tableau de variations complet.
Étude de la position relative : Étudier le signe de $f(x) - (ax+b)$ pour déterminer si la courbe est au-dessus ou en dessous de son asymptote.

Exemples corrigés

Tangente : Soit $f(x) = x^2$ en $a=1$. $f'(x)=2x$, donc $f'(1)=2$. Équation : $y = 2(x-1) + 1 = 2x - 1$.
Point d'inflexion : Soit $f(x) = x^3$. $f''(x) = 6x$. $f''(x)=0$ en $x=0$ et change de signe, donc $(0,0)$ est un point d'inflexion.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que $f$ est dérivable sur un intervalle avant de calculer $f'(x)$.
Confondre $f'(x) = 0$ (condition nécessaire) avec $f'(x)$ change de signe (condition suffisante pour un extremum).
Ne pas vérifier le domaine de définition avant de dériver.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Dérivabilité et étude de fonctions

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Si $f'(x) = (x-2)^2$ , alors $f$ admet un extremum en $x=2$ ?

Si $f'(x) = (x-2)^2$, alors $f$ admet un extremum en $x=2$ ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb l'equation de la tangente f chi no9ta?

Calcule l'image du point : $f(a)$ .
Calcule la dérivée $f'(x)$ puis remplace par $a$ pour trouver $f'(a)$ .
Utilise la formule : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .
Développe pour obtenir la forme $y = mx + p$ .

💡 À retenir : La dérivée $f'(a)$ représente le coefficient directeur de la tangente.

Calcule l'image du point : $f(a)$.
Calcule la dérivée $f'(x)$ puis remplace par $a$ pour trouver $f'(a)$.
Utilise la formule : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
Développe pour obtenir la forme $y = mx + p$.

💡 À retenir : La dérivée $f'(a)$ représente le coefficient directeur de la tangente.

Chno hiya l'utilité dyal la dérivée seconde f''(x) ?

Elle sert principalement à étudier la concavité de la courbe.
Si $f''(x) > 0$ , la courbe est convexe (en forme de "U").
Si $f''(x) < 0$ , la courbe est concave (en forme de "n").
Si $f''(x)$ s'annule en changeant de signe, le point est un point d'inflexion.

💡 À retenir : $f''(x)$ est la dérivée de la dérivée $f'(x)$ .

Elle sert principalement à étudier la concavité de la courbe.
Si $f''(x) > 0$, la courbe est convexe (en forme de "U").
Si $f''(x) < 0$, la courbe est concave (en forme de "n").
Si $f''(x)$ s'annule en changeant de signe, le point est un point d'inflexion.

💡 À retenir : $f''(x)$ est la dérivée de la dérivée $f'(x)$.

Comment savoir si une fonction est dérivable en un point ?

Calcule la limite du taux d'accroissement : $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ .
Si cette limite est un nombre réel fini $L$ , alors $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) = L$ .
Si la limite est $\pm \infty$ , la fonction n'est pas dérivable en $a$ (tangente verticale).

💡 À retenir : La dérivabilité implique la continuité, mais la réciproque est fausse (ex: $f(x)=|x|$ en 0).

Calcule la limite du taux d'accroissement : $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$.
Si cette limite est un nombre réel fini $L$, alors $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) = L$.
Si la limite est $\pm \infty$, la fonction n'est pas dérivable en $a$ (tangente verticale).

💡 À retenir : La dérivabilité implique la continuité, mais la réciproque est fausse (ex: $f(x)=|x|$ en 0).

Kifach n3ref wach la courbe 3ndha point d'inflexion ?

Calcule la dérivée seconde $f''(x)$ .
Résous l'équation $f''(x) = 0$ .
Vérifie si $f''(x)$ change de signe en traversant cette valeur.
Si oui, le point est un point d'inflexion.

💡 À retenir : Un point d'inflexion est là où la courbe traverse sa tangente.

Calcule la dérivée seconde $f''(x)$.
Résous l'équation $f''(x) = 0$.
Vérifie si $f''(x)$ change de signe en traversant cette valeur.
Si oui, le point est un point d'inflexion.

💡 À retenir : Un point d'inflexion est là où la courbe traverse sa tangente.

Est-ce qu'une fonction peut être dérivable sans être continue ?

Non, c'est impossible. Le théorème fondamental stipule que si une fonction est dérivable en un point, elle est nécessairement continue en ce point.

💡 À retenir : Dérivabilité $\implies$ Continuité.

Non, c'est impossible. Le théorème fondamental stipule que si une fonction est dérivable en un point, elle est nécessairement continue en ce point.

💡 À retenir : Dérivabilité $\implies$ Continuité.

Comment interpréter graphiquement lim{x to a} frac{f(x)-f(a)}{x-a} = infty ?

Cela signifie que la courbe admet une tangente verticale au point d'abscisse $a$ . La courbe "monte" ou "descend" verticalement en ce point.

💡 À retenir : Une tangente verticale n'a pas de coefficient directeur défini.

Cela signifie que la courbe admet une tangente verticale au point d'abscisse $a$. La courbe "monte" ou "descend" verticalement en ce point.

💡 À retenir : Une tangente verticale n'a pas de coefficient directeur défini.

Comment étudier la position relative de deux courbes ?

Calcule la différence $h(x) = f(x) - g(x)$ .
Étudie le signe de $h(x)$ sur l'intervalle donné.
Si $h(x) > 0$ , alors $f(x) > g(x)$ (la courbe $C_f$ est au-dessus de $C_g$ ).
Si $h(x) < 0$ , alors $f(x) < g(x)$ (la courbe $C_f$ est en dessous de $C_g$ ).

💡 À retenir : Le signe de la différence donne la position relative.

Calcule la différence $h(x) = f(x) - g(x)$.
Étudie le signe de $h(x)$ sur l'intervalle donné.
Si $h(x) > 0$, alors $f(x) > g(x)$ (la courbe $C_f$ est au-dessus de $C_g$).
Si $h(x) < 0$, alors $f(x) < g(x)$ (la courbe $C_f$ est en dessous de $C_g$).

💡 À retenir : Le signe de la différence donne la position relative.

Est-ce qu'un extremum est toujours là où f'(x)=0 ?

Non. $f'(x)=0$ est une condition nécessaire mais pas suffisante. Il faut que $f'(x)$ change de signe en ce point pour qu'il y ait un extremum local.

💡 À retenir : Si $f'(x)$ s'annule sans changer de signe (ex: $f(x)=x^3$ en 0), ce n'est pas un extremum.

Non. $f'(x)=0$ est une condition nécessaire mais pas suffisante. Il faut que $f'(x)$ change de signe en ce point pour qu'il y ait un extremum local.

💡 À retenir : Si $f'(x)$ s'annule sans changer de signe (ex: $f(x)=x^3$ en 0), ce n'est pas un extremum.

Comment trouver les asymptotes obliques ?

Cherche si $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ avec $a \neq 0$ .
Cherche ensuite $\lim_{x \to \infty} (f(x) - ax) = b$ .
L'asymptote oblique a pour équation $y = ax + b$ .

💡 À retenir : Si $a=0$ , c'est une asymptote horizontale.

Cherche si $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ avec $a \neq 0$.
Cherche ensuite $\lim_{x \to \infty} (f(x) - ax) = b$.
L'asymptote oblique a pour équation $y = ax + b$.

💡 À retenir : Si $a=0$, c'est une asymptote horizontale.

C'est quoi la différence entre dérivabilité à droite et à gauche ?

À droite : $\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'_d(a)$ .
À gauche : $\lim_{x \to a^-} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'_g(a)$ .
Si $f'_d(a) \neq f'_g(a)$ , il y a un point anguleux.

💡 À retenir : La fonction est dérivable en $a$ ssi $f'_d(a) = f'_g(a)$ .

À droite : $\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'_d(a)$.
À gauche : $\lim_{x \to a^-} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'_g(a)$.
Si $f'_d(a) \neq f'_g(a)$, il y a un point anguleux.

💡 À retenir : La fonction est dérivable en $a$ ssi $f'_d(a) = f'_g(a)$.

Comment justifier la dérivabilité d'une fonction composée ?

Si $u$ est dérivable sur $I$ et $v$ est dérivable sur $u(I)$ , alors $v \circ u$ est dérivable sur $I$ et $(v \circ u)'(x) = u'(x) \cdot v'(u(x))$ .

💡 À retenir : Vérifie toujours les ensembles de définition.

Si $u$ est dérivable sur $I$ et $v$ est dérivable sur $u(I)$, alors $v \circ u$ est dérivable sur $I$ et $(v \circ u)'(x) = u'(x) \cdot v'(u(x))$.

💡 À retenir : Vérifie toujours les ensembles de définition.

Pourquoi on étudie les branches infinies ?

Pour savoir comment la courbe se comporte quand $x$ devient très grand ou très petit. Cela permet de tracer la courbe avec précision aux extrémités du domaine.

💡 À retenir : Les asymptotes sont le "guide" de la courbe à l'infini.

Pour savoir comment la courbe se comporte quand $x$ devient très grand ou très petit. Cela permet de tracer la courbe avec précision aux extrémités du domaine.