Mathématiques · 1ère Année Bac — Langue arabe

الاشتقاق مادة الرياضيات أولى باك آداب وعلوم انسانية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le nombre dérivé d'une fonction $f$ en un point $a$ est la limite : $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ Si cette limite existe et est finie, on dit que $f$ est dérivable en $a$ . L'équation de la tangente au point $A(a, f(a))$ est : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ Les dérivées usuelles :

$(k)' = 0$
$(ax+b)' = a$
$(x^n)' = n x^{n-1}$
$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Méthodes à maîtriser

Calculer le nombre dérivé en utilisant la définition ou les formules.
Déterminer l'équation de la tangente.
Étudier le signe de $f'(x)$ pour déterminer les variations de $f$ .

Exemples corrigés

Soit $f(x) = x^2 + 3x$ . Calculons $f'(x)$ : $f'(x) = (x^2)' + (3x)' = 2x + 3$ . Pour $a=1$ : $f(1) = 4$ et $f'(1) = 2(1)+3 = 5$ . Équation de la tangente : $y = 5(x-1) + 4 \Rightarrow y = 5x - 1$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $f(a)$ et $f'(a)$ dans l'équation de la tangente.
Oublier que la dérivée d'une constante est zéro.
Ne pas vérifier le domaine de dérivabilité avant de dériver.

L'essentiel du cours

Le nombre dérivé d'une fonction $f$ en un point $a$ est la limite : $$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$ Si cette limite existe et est finie, on dit que $f$ est dérivable en $a$. L'équation de la tangente au point $A(a, f(a))$ est : $$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$ Les dérivées usuelles :

$(k)' = 0$
$(ax+b)' = a$
$(x^n)' = n x^{n-1}$
$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Méthodes à maîtriser

Calculer le nombre dérivé en utilisant la définition ou les formules.
Déterminer l'équation de la tangente.
Étudier le signe de $f'(x)$ pour déterminer les variations de $f$.

Exemples corrigés

Soit $f(x) = x^2 + 3x$. Calculons $f'(x)$ : $f'(x) = (x^2)' + (3x)' = 2x + 3$. Pour $a=1$ : $f(1) = 4$ et $f'(1) = 2(1)+3 = 5$. Équation de la tangente : $y = 5(x-1) + 4 \Rightarrow y = 5x - 1$.

Erreurs fréquentes

Confondre $f(a)$ et $f'(a)$ dans l'équation de la tangente.
Oublier que la dérivée d'une constante est zéro.
Ne pas vérifier le domaine de dérivabilité avant de dériver.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 الاشتقاق مادة الرياضيات أولى باك آداب وعلوم انسانية

1/4

La dérivée de $f(x) = 5$ est :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre le taux de variation et le nombre dérivé ?

Le taux de variation est une expression qui dépend de $x$ : $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ .
Le nombre dérivé est la valeur limite de ce taux quand $x$ se rapproche de $a$ .

💡 À retenir : Le taux est une pente moyenne, le nombre dérivé est la pente instantanée.

Le taux de variation est une expression qui dépend de $x$ : $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$.
Le nombre dérivé est la valeur limite de ce taux quand $x$ se rapproche de $a$.

💡 À retenir : Le taux est une pente moyenne, le nombre dérivé est la pente instantanée.

kifach n3ref wach dawla 9abla lli-chtiqa9 fwa7d no9ta?

Khass t7seb la limite $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ .
Ila 3tatk 3adad 7a9i9i (machi infini), raha 9abla lli-chtiqa9.

💡 À retenir : Ila 3tatk $\infty$ , l-dawla ghir 9abla lli-chtiqa9.

Khass t7seb la limite $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$.
Ila 3tatk 3adad 7a9i9i (machi infini), raha 9abla lli-chtiqa9.

💡 À retenir : Ila 3tatk $\infty$, l-dawla ghir 9abla lli-chtiqa9.

Est-ce que la dérivée d'une somme est la somme des dérivées ?

Oui, pour deux fonctions $u$ et $v$ dérivables, on a $(u+v)' = u' + v'$ .

💡 À retenir : La dérivation est une opération linéaire.

Oui, pour deux fonctions $u$ et $v$ dérivables, on a $(u+v)' = u' + v'$.

💡 À retenir : La dérivation est une opération linéaire.

wach l-mochta9a kat3tina l-i-tijah dyal l-men7na?

Oui, ila kan $f'(x) > 0$ , l-dawla tza3idya. Ila kan $f'(x) < 0$ , l-dawla tna9osiya.

💡 À retenir : L-mochta9a hiya l-miftah dyal l-jadwal dyal taghayyurat.

Oui, ila kan $f'(x) > 0$, l-dawla tza3idya. Ila kan $f'(x) < 0$, l-dawla tna9osiya.

💡 À retenir : L-mochta9a hiya l-miftah dyal l-jadwal dyal taghayyurat.

Comment dériver f(x) = 5x^3 ?

On utilise la règle $(k \cdot u)' = k \cdot u'$ .
$(x^3)' = 3x^2$ .
Donc $(5x^3)' = 5 \times 3x^2 = 15x^2$ .

💡 À retenir : On multiplie la constante par l'exposant.

On utilise la règle $(k \cdot u)' = k \cdot u'$.
$(x^3)' = 3x^2$.
Donc $(5x^3)' = 5 \times 3x^2 = 15x^2$.

💡 À retenir : On multiplie la constante par l'exposant.

kifach n7seb mo3adala dyal l-mamas?

7seb $f(a)$ .
7seb $f'(a)$ .
3awd f-l-formula: $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .

💡 À retenir : 7fed l-formula mzyan.

7seb $f(a)$.
7seb $f'(a)$.
3awd f-l-formula: $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.

💡 À retenir : 7fed l-formula mzyan.

Peut-on dériver une fonction en un point où elle n'est pas continue ?

Non, la continuité est une condition nécessaire pour la dérivabilité.

💡 À retenir : Si $f$ n'est pas continue en $a$ , elle n'est pas dérivable en $a$ .

Non, la continuité est une condition nécessaire pour la dérivabilité.

💡 À retenir : Si $f$ n'est pas continue en $a$, elle n'est pas dérivable en $a$.

Est-ce que la dérivée d'une constante est toujours nulle ?

Oui, car une constante ne change pas, donc son taux de variation est toujours nul.

💡 À retenir : $(c)' = 0$ pour tout $c \in \mathbb{R}$ .

Oui, car une constante ne change pas, donc son taux de variation est toujours nul.

💡 À retenir : $(c)' = 0$ pour tout $c \in \mathbb{R}$.

wach l-mochta9a dyal x hiya 1?

Oui, car $x = x^1$ , donc $(x^1)' = 1 \cdot x^{1-1} = 1 \cdot x^0 = 1$ .

💡 À retenir : La dérivée de $x$ est toujours 1.

Oui, car $x = x^1$, donc $(x^1)' = 1 \cdot x^{1-1} = 1 \cdot x^0 = 1$.

💡 À retenir : La dérivée de $x$ est toujours 1.

Pourquoi on utilise l'approximation affine ?

Pour remplacer une courbe complexe par une droite (la tangente) au voisinage d'un point.

💡 À retenir : C'est utile pour faire des calculs approchés rapides.

kifach n3ref l-mochta9a dyal sqrt{x}?

Hiya $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ . Khass t7fedha 7it hiya mohimma bzaf.

💡 À retenir : Valable pour $x > 0$ .

Hiya $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Khass t7fedha 7it hiya mohimma bzaf.

💡 À retenir : Valable pour $x > 0$.

Est-ce que la dérivée d'un produit (u cdot v)' est u' cdot v' ?

Non, c'est $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ . (à vérifier par le professeur : cette formule est au programme de 1ère Bac Sciences, mais pour Lettres, on se limite souvent aux polynômes).

💡 À retenir : Attention à ne pas faire l'erreur classique !

Non, c'est $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. (à vérifier par le professeur : cette formule est au programme de 1ère Bac Sciences, mais pour Lettres, on se limite souvent aux polynômes).