Mathématiques · 1ère Année Bac — Langue arabe

دراسة وتمثيل الدوال مادة الرياضيات أولى باك آداب وعلوم انسانية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

L'étude d'une fonction $f$ consiste à suivre un plan rigoureux pour pouvoir tracer sa courbe représentative $C_f$ . Les étapes sont :

Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ : Trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ existe.
Calculer les limites : Étudier le comportement de $f$ aux bornes de $D_f$ pour trouver les asymptotes.
Étudier les variations :
- Calculer la fonction dérivée $f'(x)$ .
- Étudier le signe de $f'(x)$ .
- En déduire le sens de variation de $f$ (croissante si $f'(x) > 0$ , décroissante si $f'(x) < 0$ ).
Dresser le tableau de variations : Résumer les limites, le signe de $f'(x)$ et les variations de $f$ .
Tracer la courbe $C_f$ : Placer les points particuliers (intersections, extrema) et les asymptotes, puis relier les points.

Méthodes à maîtriser

Calcul de la dérivée : Pour une fonction polynôme $f(x) = ax^n$ , la dérivée est $f'(x) = n \cdot ax^{n-1}$ .
Recherche d'asymptotes :
- Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$ , alors la droite $x = a$ est une asymptote verticale.
- Si $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = L$ , alors la droite $y = L$ est une asymptote horizontale.
Points d'intersection :
- Avec l'axe des ordonnées ( $y$ ) : Calculer $f(0)$ .
- Avec l'axe des abscisses ( $x$ ) : Résoudre $f(x) = 0$ .

Exemples corrigés

Exemple : Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$ . Étudier ses variations.

Domaine : $f$ est une fonction polynôme, donc $D_f = \mathbb{R}$ .
Dérivée : $f'(x) = 2x - 4$ .
Signe de $f'(x)$ : $2x - 4 = 0 \implies x = 2$ $2 x - 4 = 0 ⟹ x = 2$ .
- Si $x > 2$ , $f'(x) > 0$ (la fonction est croissante).
- Si $x < 2$ , $f'(x) < 0$ (la fonction est décroissante).
Valeur particulière : $f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$ .
Tableau : | $x$ | $-\infty$ | $2$ | $+\infty$ | | :--- | :--- | :--- | :--- | | $f'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $f(x)$ | $+\infty \searrow$ | $-1$ | $\nearrow +\infty$ |

Erreurs fréquentes

Oublier de calculer le domaine de définition avant de commencer.
Confondre l'asymptote verticale ( $x=a$ ) et l'asymptote horizontale ( $y=L$ ).
Inverser le signe de la dérivée dans le tableau de variations.
Ne pas vérifier si la fonction est définie en un point avant de calculer sa limite.

L'essentiel du cours

L'étude d'une fonction $f$ consiste à suivre un plan rigoureux pour pouvoir tracer sa courbe représentative $C_f$. Les étapes sont :

Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ : Trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ existe.
Calculer les limites : Étudier le comportement de $f$ aux bornes de $D_f$ pour trouver les asymptotes.
Étudier les variations :
- Calculer la fonction dérivée $f'(x)$.
- Étudier le signe de $f'(x)$.
- En déduire le sens de variation de $f$ (croissante si $f'(x) > 0$, décroissante si $f'(x) < 0$).
Dresser le tableau de variations : Résumer les limites, le signe de $f'(x)$ et les variations de $f$.
Tracer la courbe $C_f$ : Placer les points particuliers (intersections, extrema) et les asymptotes, puis relier les points.

Méthodes à maîtriser

Calcul de la dérivée : Pour une fonction polynôme $f(x) = ax^n$, la dérivée est $f'(x) = n \cdot ax^{n-1}$.
Recherche d'asymptotes :
- Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$, alors la droite $x = a$ est une asymptote verticale.
- Si $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = L$, alors la droite $y = L$ est une asymptote horizontale.
Points d'intersection :
- Avec l'axe des ordonnées ($y$) : Calculer $f(0)$.
- Avec l'axe des abscisses ($x$) : Résoudre $f(x) = 0$.

Exemples corrigés

Exemple : Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Étudier ses variations.

Domaine : $f$ est une fonction polynôme, donc $D_f = \mathbb{R}$.
Dérivée : $f'(x) = 2x - 4$.
Signe de $f'(x)$ : $2x - 4 = 0 \implies x = 2$.
- Si $x > 2$, $f'(x) > 0$ (la fonction est croissante).
- Si $x < 2$, $f'(x) < 0$ (la fonction est décroissante).
Valeur particulière : $f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
Tableau : | $x$ | $-\infty$ | $2$ | $+\infty$ | | :--- | :--- | :--- | :--- | | $f'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $f(x)$ | $+\infty \searrow$ | $-1$ | $\nearrow +\infty$ |

Erreurs fréquentes

Oublier de calculer le domaine de définition avant de commencer.
Confondre l'asymptote verticale ($x=a$) et l'asymptote horizontale ($y=L$).
Inverser le signe de la dérivée dans le tableau de variations.
Ne pas vérifier si la fonction est définie en un point avant de calculer sa limite.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 دراسة وتمثيل الدوال مادة الرياضيات أولى باك آداب وعلوم انسانية

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Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, alors la fonction est :

❓ Questions fréquentes

Que signifie f'(x) = 0 ?

Cela signifie que la tangente à la courbe est horizontale à cet endroit. C'est un point candidat pour être un maximum ou un minimum local.

💡 À retenir : $f'(x) = 0$ $\implies$ pente nulle.

Cela signifie que la tangente à la courbe est horizontale à cet endroit. C'est un point candidat pour être un maximum ou un minimum local.

💡 À retenir : $f'(x) = 0$ $\implies$ pente nulle.

Peut-on avoir deux asymptotes horizontales différentes ?

Oui, c'est possible. Une fonction peut avoir une limite différente en $+\infty$ et en $-\infty$ . Par exemple, une fonction peut tendre vers $y=2$ à droite et vers $y=-2$ à gauche.

💡 À retenir : Calcule toujours les deux limites ( $\pm \infty$ ).

Oui, c'est possible. Une fonction peut avoir une limite différente en $+\infty$ et en $-\infty$. Par exemple, une fonction peut tendre vers $y=2$ à droite et vers $y=-2$ à gauche.

💡 À retenir : Calcule toujours les deux limites ($\pm \infty$).

Kifach n7seb l'mouchtaqa f'(x) dyal wahd la fonction simple?

Pour une fonction simple de type $f(x) = x^n$ , on utilise la règle : $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$ .

Identifie l'exposant $n$ .
Multiplie le coefficient par $n$ .
Diminue l'exposant de 1. Exemple : si $f(x) = x^3$ , alors $f'(x) = 3x^2$ .

💡 À retenir : La dérivée donne la pente de la fonction.

Pour une fonction simple de type $f(x) = x^n$, on utilise la règle : $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$.

Identifie l'exposant $n$.
Multiplie le coefficient par $n$.
Diminue l'exposant de 1. Exemple : si $f(x) = x^3$, alors $f'(x) = 3x^2$.

💡 À retenir : La dérivée donne la pente de la fonction.

Chno hiya l'asymptote verticale?

Une asymptote verticale est une droite d'équation $x = a$ vers laquelle la courbe s'approche sans jamais la toucher quand $x$ tend vers $a$ . On la trouve quand :

On calcule la limite de $f(x)$ quand $x$ s'approche d'une valeur interdite $a$ .
Si le résultat est $\infty$ (positif ou négatif), alors $x = a$ est l'asymptote.

💡 À retenir : Asymptote verticale $\implies$ limite infinie.

Une asymptote verticale est une droite d'équation $x = a$ vers laquelle la courbe s'approche sans jamais la toucher quand $x$ tend vers $a$. On la trouve quand :

On calcule la limite de $f(x)$ quand $x$ s'approche d'une valeur interdite $a$.
Si le résultat est $\infty$ (positif ou négatif), alors $x = a$ est l'asymptote.

💡 À retenir : Asymptote verticale $\implies$ limite infinie.

Chno ndir melli l'limite f l'infinit kat3tini infty?

Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ ou $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ , cela signifie que la courbe "monte" ou "descend" vers l'infini. Cela ne donne pas une asymptote horizontale. Il faut alors :

Vérifier s'il existe une asymptote oblique (plus avancé).
Ou simplement noter dans le tableau de variations que la fonction tend vers l'infini.

💡 À retenir : Limite infinie $\implies$ pas d'asymptote horizontale.

Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ ou $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$, cela signifie que la courbe "monte" ou "descend" vers l'infini. Cela ne donne pas une asymptote horizontale. Il faut alors :

Vérifier s'il existe une asymptote oblique (plus avancé).
Ou simplement noter dans le tableau de variations que la fonction tend vers l'infini.

💡 À retenir : Limite infinie $\implies$ pas d'asymptote horizontale.

Comment trouver l'intersection de la courbe avec l'axe des ordonnées ?

L'axe des ordonnées est la droite d'équation $y = 0$ (ou l'axe vertical). Pour trouver ce point :

Remplace $x$ par $0$ dans l'expression de la fonction.
Calcule $f(0)$ .
Le point est $(0, f(0))$ .

💡 À retenir : Pour l'axe des ordonnées, on pose toujours $x = 0$ .

L'axe des ordonnées est la droite d'équation $y = 0$ (ou l'axe vertical). Pour trouver ce point :

Remplace $x$ par $0$ dans l'expression de la fonction.
Calcule $f(0)$.
Le point est $(0, f(0))$.

💡 À retenir : Pour l'axe des ordonnées, on pose toujours $x = 0$.

Quelle est la différence entre une fonction croissante et décroissante ?

Croissante : Quand $x$ augmente, $f(x)$ augmente aussi (la courbe monte). Sa dérivée $f'(x)$ est positive ( $>0$ ).
Décroissante : Quand $x$ augmente, $f(x)$ diminue (la courbe descend). Sa dérivée $f'(x)$ est négative ( $<0$ ).

💡 À retenir : Regarde toujours le signe de la dérivée.

Croissante : Quand $x$ augmente, $f(x)$ augmente aussi (la courbe monte). Sa dérivée $f'(x)$ est positive ($>0$).
Décroissante : Quand $x$ augmente, $f(x)$ diminue (la courbe descend). Sa dérivée $f'(x)$ est négative ($<0$).

💡 À retenir : Regarde toujours le signe de la dérivée.

À quoi sert le tableau de variations ?

Le tableau de variations est un résumé visuel de toute l'étude de la fonction. Il contient :

Les valeurs de $x$ (bornes du domaine, racines de la dérivée).
Le signe de la dérivée $f'(x)$ .
Les flèches de variation de $f(x)$ .
Les limites aux bornes.

💡 À retenir : C'est l'outil indispensable avant de tracer la courbe.

Le tableau de variations est un résumé visuel de toute l'étude de la fonction. Il contient :

Les valeurs de $x$ (bornes du domaine, racines de la dérivée).
Le signe de la dérivée $f'(x)$.
Les flèches de variation de $f(x)$.
Les limites aux bornes.

💡 À retenir : C'est l'outil indispensable avant de tracer la courbe.

Comment savoir si une fonction a une asymptote horizontale ?

Il faut calculer la limite de la fonction quand $x$ tend vers $+\infty$ et $-\infty$ . Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ (où $L$ est un nombre réel fini), alors la droite $y = L$ est une asymptote horizontale.

💡 À retenir : Limite finie à l'infini $\implies$ asymptote horizontale.

Il faut calculer la limite de la fonction quand $x$ tend vers $+\infty$ et $-\infty$. Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ (où $L$ est un nombre réel fini), alors la droite $y = L$ est une asymptote horizontale.

💡 À retenir : Limite finie à l'infini $\implies$ asymptote horizontale.

Comment trouver les extrema (maximum et minimum) ?

Les extrema se trouvent généralement là où la dérivée s'annule ( $f'(x) = 0$ ) et change de signe.

Résoudre $f'(x) = 0$ pour trouver $x_0$ .
Vérifier que $f'(x)$ passe de $+$ à $-$ (Maximum) ou de $-$ à $+$ (Minimum).
Calculer $f(x_0)$ pour avoir la valeur de l'extremum.

💡 À retenir : Un extremum est un sommet ou un creux de la courbe.

Les extrema se trouvent généralement là où la dérivée s'annule ($f'(x) = 0$) et change de signe.

Résoudre $f'(x) = 0$ pour trouver $x_0$.
Vérifier que $f'(x)$ passe de $+$ à $-$ (Maximum) ou de $-$ à $+$ (Minimum).
Calculer $f(x_0)$ pour avoir la valeur de l'extremum.

💡 À retenir : Un extremum est un sommet ou un creux de la courbe.

Comment tracer la courbe si j'ai une asymptote verticale ?

Trace la droite verticale $x = a$ en pointillés.
Dessine la courbe de manière à ce qu'elle "colle" de plus en plus à cette droite sans jamais la traverser ou la toucher au voisinage de $a$ .

💡 À retenir : L'asymptote est une barrière pour la courbe.

Trace la droite verticale $x = a$ en pointillés.
Dessine la courbe de manière à ce qu'elle "colle" de plus en plus à cette droite sans jamais la traverser ou la toucher au voisinage de $a$.

💡 À retenir : L'asymptote est une barrière pour la courbe.

Est-ce que la dérivée peut être égale à zéro sur tout un intervalle ?

Si $f'(x) = 0$ sur tout un intervalle, alors la fonction $f$ est constante sur cet intervalle (elle est une ligne horizontale).

💡 À retenir : Dérivée nulle $\implies$ fonction constante.

Si $f'(x) = 0$ sur tout un intervalle, alors la fonction $f$ est constante sur cet intervalle (elle est une ligne horizontale).

💡 À retenir : Dérivée nulle $\implies$ fonction constante.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 6x + 5$ .

Calculer la dérivée $f'(x)$ .
Étudier le signe de $f'(x)$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ .

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 6x + 5$.

Calculer la dérivée $f'(x)$.
Étudier le signe de $f'(x)$.
Dresser le tableau de variations de $f$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Soit la fonction $g$ définie sur $D_g = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ par $g(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}$ .

Calculer les limites de $g$ aux bornes de son domaine.
En déduire les équations des asymptotes.
Calculer la dérivée $g'(x)$ .
Dresser le tableau de variations.

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Soit la fonction $g$ définie sur $D_g = \mathbb{R} \setminus {1}$ par $g(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}$.

Calculer les limites de $g$ aux bornes de son domaine.
En déduire les équations des asymptotes.
Calculer la dérivée $g'(x)$.
Dresser le tableau de variations.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Examen) : Soit $h(x) = \frac{x^2}{x-2}$ .

Déterminer $D_h$ .
Calculer les limites aux bornes de $D_h$ .
Étudier la dérivée $h'(x)$ et son signe.
Dresser le tableau de variations et donner les coordonnées du point minimum local.

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Examen) : Soit $h(x) = \frac{x^2}{x-2}$.

Déterminer $D_h$.
Calculer les limites aux bornes de $D_h$.
Étudier la dérivée $h'(x)$ et son signe.
Dresser le tableau de variations et donner les coordonnées du point minimum local.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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