Mathématiques · 1ère Année Bac — Langue arabe

عموميات حول الدوال العددية الرياضيات أولى باكالوريا شعبة اللغة العربية والآداب والعلوم الإنسانية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. Définition et Ensemble de définition ( $D_f$ ) Une fonction $f$ est une règle qui associe à chaque nombre $x$ d'un ensemble $D_f$ un unique nombre $y = f(x)$ . L'ensemble de définition $D_f$ est l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles le calcul de $f(x)$ est possible.

Si $f(x) = \frac{1}{P(x)}$ , alors $P(x) \neq 0$ .
Si $f(x) = \sqrt{P(x)}$ , alors $P(x) \ge 0$ .

2. Image et Antécédent

Si $f(a) = b$ , alors $b$ est l'image de $a$ par $f$ .
Si $f(a) = b$ , alors $a$ est un antécédent de $b$ par $f$ .

3. Parité d'une fonction

Fonction paire : Si pour tout $x \in D_f$ , $-x \in D_f$ et $f(-x) = f(x)$ . Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Fonction impaire : Si pour tout $x \in D_f$ , $-x \in D_f$ et $f(-x) = -f(x)$ . Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine $O$ .

4. Sens de variation

Croissante : Si $x_1 < x_2 \implies f(x_1) \le f(x_2)$ .
Décroissante : Si $x_1 < x_2 \implies f(x_1) \ge f(x_2)$ .

Méthodes à maîtriser

Trouver $D_f$ : Identifier les valeurs interdites (dénominateur nul ou racine d'un nombre négatif).
Étudier la parité :
- Étape 1 : Vérifier si $D_f$ est symétrique par rapport à 0.
- Étape 2 : Calculer $f(-x)$ et comparer avec $f(x)$ ou $-f(x)$ .
Dresser un tableau de variations : Utiliser les informations sur la croissance/décroissance pour tracer les flèches.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f(x) = x^2 + 1$ . Trouver l'image de $3$ et la parité.

Image : $f(3) = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$ . L'image de $3$ est $10$ .
Parité : $D_f = \mathbb{R}$ (symétrique). $f(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2 + 1 = f(x)$ . Donc $f$ est paire.

Exemple 2 : Soit $g(x) = \frac{1}{x}$ . Trouver $D_g$ .

Solution : Le dénominateur doit être non nul : $x \neq 0$ . Donc $D_g = \mathbb{R}^* = ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[$ .

Erreurs fréquentes

Confondre l'image et l'antécédent (l'image est le résultat, l'antécédent est le départ).
Oublier de vérifier la symétrie du domaine avant de conclure sur la parité.
Dire qu'une fonction est paire juste parce que $f(x) = x^2$ sans vérifier le domaine.

L'essentiel du cours

1. Définition et Ensemble de définition ($D_f$) Une fonction $f$ est une règle qui associe à chaque nombre $x$ d'un ensemble $D_f$ un unique nombre $y = f(x)$. L'ensemble de définition $D_f$ est l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles le calcul de $f(x)$ est possible.

Si $f(x) = \frac{1}{P(x)}$, alors $P(x) \neq 0$.
Si $f(x) = \sqrt{P(x)}$, alors $P(x) \ge 0$.

2. Image et Antécédent

Si $f(a) = b$, alors $b$ est l'image de $a$ par $f$.
Si $f(a) = b$, alors $a$ est un antécédent de $b$ par $f$.

3. Parité d'une fonction

Fonction paire : Si pour tout $x \in D_f$, $-x \in D_f$ et $f(-x) = f(x)$. Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Fonction impaire : Si pour tout $x \in D_f$, $-x \in D_f$ et $f(-x) = -f(x)$. Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine $O$.

4. Sens de variation

Croissante : Si $x_1 < x_2 \implies f(x_1) \le f(x_2)$.
Décroissante : Si $x_1 < x_2 \implies f(x_1) \ge f(x_2)$.

Méthodes à maîtriser

Trouver $D_f$ : Identifier les valeurs interdites (dénominateur nul ou racine d'un nombre négatif).
Étudier la parité :
- Étape 1 : Vérifier si $D_f$ est symétrique par rapport à 0.
- Étape 2 : Calculer $f(-x)$ et comparer avec $f(x)$ ou $-f(x)$.
Dresser un tableau de variations : Utiliser les informations sur la croissance/décroissance pour tracer les flèches.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f(x) = x^2 + 1$. Trouver l'image de $3$ et la parité.

Image : $f(3) = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$. L'image de $3$ est $10$.
Parité : $D_f = \mathbb{R}$ (symétrique). $f(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2 + 1 = f(x)$. Donc $f$ est paire.

Exemple 2 : Soit $g(x) = \frac{1}{x}$. Trouver $D_g$.

Solution : Le dénominateur doit être non nul : $x \neq 0$. Donc $D_g = \mathbb{R}^* = ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[$.

Erreurs fréquentes

Confondre l'image et l'antécédent (l'image est le résultat, l'antécédent est le départ).
Oublier de vérifier la symétrie du domaine avant de conclure sur la parité.
Dire qu'une fonction est paire juste parce que $f(x) = x^2$ sans vérifier le domaine.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 عموميات حول الدوال العددية الرياضيات أولى باكالوريا شعبة اللغة العربية والآداب والعلوم الإنسانية

1/4

Quel est l'ensemble de définition de $f(x) = \frac{1}{x^2}$ ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi l'ensemble de définition ?

C'est l'ensemble de toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction peut être calculée sans erreur mathématique (pas de division par zéro, pas de racine d'un nombre négatif).

💡 À retenir : C'est le "domaine de travail" de la fonction.

C'est l'ensemble de toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction peut être calculée sans erreur mathématique (pas de division par zéro, pas de racine d'un nombre négatif).

💡 À retenir : C'est le "domaine de travail" de la fonction.

Chno hiya l'image dyal 5 f la fonction f(x) = 2x - 3?

Pour trouver l'image, on remplace $x$ par $5$ dans la formule :

$f(5) = 2(5) - 3$
$f(5) = 10 - 3 = 7$ L'image de $5$ est $7$ .

💡 À retenir : Image = on remplace $x$ par le nombre donné.

Pour trouver l'image, on remplace $x$ par $5$ dans la formule :

$f(5) = 2(5) - 3$
$f(5) = 10 - 3 = 7$ L'image de $5$ est $7$.

💡 À retenir : Image = on remplace $x$ par le nombre donné.

Kifach n3ref wach la fonction paire ou impaire?

Vérifie si le domaine est symétrique (ex: si $2 \in D_f$ , alors $-2$ doit être dans $D_f$ ).
Calcule $f(-x)$ .
Si $f(-x) = f(x)$ , elle est paire.
Si $f(-x) = -f(x)$ , elle est impaire.

💡 À retenir : Paire $\to$ symétrie axe $y$ ; Impaire $\to$ symétrie origine.

Vérifie si le domaine est symétrique (ex: si $2 \in D_f$, alors $-2$ doit être dans $D_f$).
Calcule $f(-x)$.
Si $f(-x) = f(x)$, elle est paire.
Si $f(-x) = -f(x)$, elle est impaire.

💡 À retenir : Paire $\to$ symétrie axe $y$ ; Impaire $\to$ symétrie origine.

C'est quoi un antécédent ?

C'est la valeur de $x$ qui permet d'obtenir un résultat donné $y$ . Si on cherche l'antécédent de $10$ , on résout l'équation $f(x) = 10$ .

💡 À retenir : Antécédent = on cherche $x$ tel que $f(x) = \text{nombre}$ .

C'est la valeur de $x$ qui permet d'obtenir un résultat donné $y$. Si on cherche l'antécédent de $10$, on résout l'équation $f(x) = 10$.

💡 À retenir : Antécédent = on cherche $x$ tel que $f(x) = \text{nombre}$.

Est-ce qu'une fonction peut être à la fois paire et impaire ?

Oui, mais seulement une seule fonction : la fonction nulle $f(x) = 0$ . Pour toutes les autres, c'est impossible.

💡 À retenir : C'est un cas très particulier.

Oui, mais seulement une seule fonction : la fonction nulle $f(x) = 0$. Pour toutes les autres, c'est impossible.

💡 À retenir : C'est un cas très particulier.

Chno l'farq bin croissante et décroissante?

Une fonction croissante "monte" : quand $x$ augmente, $f(x)$ augmente aussi.
Une fonction décroissante "descend" : quand $x$ augmente, $f(x)$ diminue.

💡 À retenir : Regarde le sens des flèches dans le tableau de variations.

Une fonction croissante "monte" : quand $x$ augmente, $f(x)$ augmente aussi.
Une fonction décroissante "descend" : quand $x$ augmente, $f(x)$ diminue.

💡 À retenir : Regarde le sens des flèches dans le tableau de variations.

Comment trouver le domaine de f(x) = frac{1}{x-2} ?

On cherche la valeur qui annule le dénominateur : $x - 2 = 0 \implies x = 2$ .
La valeur $2$ est interdite.
$D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ ou $]-\infty, 2[ \cup ]2, +\infty[$ .

💡 À retenir : Dénominateur $\neq 0$ .

On cherche la valeur qui annule le dénominateur : $x - 2 = 0 \implies x = 2$.
La valeur $2$ est interdite.
$D_f = \mathbb{R} \setminus {2}$ ou $]-\infty, 2[ \cup ]2, +\infty[$.

💡 À retenir : Dénominateur $\neq 0$.

Comment lire le maximum sur un graphique ?

Le maximum est le point le plus haut atteint par la courbe. On lit son ordonnée ( $y$ ).

💡 À retenir : Maximum $\to$ valeur la plus haute sur l'axe vertical.

Le maximum est le point le plus haut atteint par la courbe. On lit son ordonnée ($y$).

💡 À retenir : Maximum $\to$ valeur la plus haute sur l'axe vertical.

Si f(x) = x^3, est-elle paire ou impaire ?

$D_f = \mathbb{R}$ (symétrique).
$f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$ . Elle est donc impaire.

💡 À retenir : Les puissances impaires ( $x^1, x^3, x^5$ ) sont souvent impaires.

$D_f = \mathbb{R}$ (symétrique).
$f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$. Elle est donc impaire.

💡 À retenir : Les puissances impaires ($x^1, x^3, x^5$) sont souvent impaires.

Comment trouver l'antécédent de 0 ?

On résout l'équation $f(x) = 0$ . Les solutions de cette équation sont les antécédents de 0.

💡 À retenir : Antécédent de 0 $\implies$ chercher les racines.

On résout l'équation $f(x) = 0$. Les solutions de cette équation sont les antécédents de 0.

💡 À retenir : Antécédent de 0 $\implies$ chercher les racines.

Qu'est-ce qu'une fonction constante ?

C'est une fonction qui donne toujours le même résultat pour n'importe quel $x$ . Exemple : $f(x) = 5$ . Sa courbe est une droite horizontale.

💡 À retenir : Elle ne monte ni ne descend.

C'est une fonction qui donne toujours le même résultat pour n'importe quel $x$. Exemple : $f(x) = 5$. Sa courbe est une droite horizontale.

💡 À retenir : Elle ne monte ni ne descend.

Peut-on avoir deux antécédents pour une même image ?

Oui, c'est très fréquent. Par exemple, pour $f(x) = x^2$ , l'image de $4$ est $16$ , mais les antécédents de $16$ sont $4$ et $-4$ .

💡 À retenir : Une image peut avoir plusieurs antécédents, mais un $x$ n'a qu'une seule image.

Oui, c'est très fréquent. Par exemple, pour $f(x) = x^2$, l'image de $4$ est $16$, mais les antécédents de $16$ sont $4$ et $-4$.

💡 À retenir : Une image peut avoir plusieurs antécédents, mais un $x$ n'a qu'une seule image.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau facile) : Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2 - 5$ .

Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ .
Calculer l'image de $-3$ par $f$ .
Déterminer les antécédents de $-1$ par $f$ .
Étudier la parité de $f$ .

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau facile) : Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2 - 5$.

Déterminer l'ensemble de définition $D_f$.
Calculer l'image de $-3$ par $f$.
Déterminer les antécédents de $-1$ par $f$.
Étudier la parité de $f$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau moyen) : Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = \frac{2x}{x+1}$ .

Déterminer $D_g$ .
Calculer $g(0)$ et $g(1)$ .
Montrer que $g(-x) \neq g(x)$ et $g(-x) \neq -g(x)$ (déduire la parité).
Si $g(x) = 1$ , trouver la valeur de $x$ .

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau moyen) : Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = \frac{2x}{x+1}$.

Déterminer $D_g$.
Calculer $g(0)$ et $g(1)$.
Montrer que $g(-x) \neq g(x)$ et $g(-x) \neq -g(x)$ (déduire la parité).
Si $g(x) = 1$, trouver la valeur de $x$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau examen) : On considère la fonction $h$ définie sur $D_h = [0, +\infty[$ par $h(x) = \sqrt{x} + 2$ .

Justifier que $D_h = [0, +\infty[$ .
Calculer l'image de $4$ et l'antécédent de $5$ .
Étudier la monotonie de $h$ (est-elle croissante ou décroissante ?).
Soit $C_h$ la courbe de $h$ . Quel est le point d'intersection de $C_h$ avec l'axe des ordonnées ?

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau examen) : On considère la fonction $h$ définie sur $D_h = [0, +\infty[$ par $h(x) = \sqrt{x} + 2$.

Justifier que $D_h = [0, +\infty[$.
Calculer l'image de $4$ et l'antécédent de $5$.
Étudier la monotonie de $h$ (est-elle croissante ou décroissante ?).
Soit $C_h$ la courbe de $h$. Quel est le point d'intersection de $C_h$ avec l'axe des ordonnées ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

المتتاليات مادة الرياضيات أولى باك آداب وعلوم إنسانية الاشتقاق مادة الرياضيات أولى باك آداب وعلوم انسانية التعداد مادة الرياضيات أولى باكالوريا آداب وعلوم انسانية الحساب العددي أولى باكالوريا شعبة اللغة العربية والآداب والعلوم الانسانية النهايات مادة الرياضيات أولى باك آداب وعلوم انسانية دراسة وتمثيل الدوال مادة الرياضيات أولى باك آداب وعلوم انسانية