Mathématiques · 1ère Année Bac — Langue arabe

المتتاليات مادة الرياضيات أولى باك آداب وعلوم إنسانية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres notée $(u_n)$ .

1. Suite arithmétique : On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ (la raison).

Relation de récurrence : $u_{n+1} = u_n + r$
Terme général : $u_n = u_p + (n-p) \times r$ (Si la suite commence à $u_0$ , alors $u_n = u_0 + n \times r$ )
Somme des termes : $S = \text{Nombre de termes} \times \frac{\text{Premier terme} + \text{Dernier terme}}{2}$

2. Suite géométrique : On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$ (la raison).

Relation de récurrence : $u_{n+1} = u_n \times q$
Terme général : $u_n = u_p \times q^{(n-p)}$ (Si la suite commence à $u_0$ , alors $u_n = u_0 \times q^n$ )
Somme des termes : $S = \text{Premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{Nombre de termes}}}{1 - q}$ (avec $q \neq 1$ )

Méthodes à maîtriser

Démontrer qu'une suite est arithmétique : Calculer la différence $u_{n+1} - u_n$ . Si le résultat est un nombre constant (ne dépend pas de $n$ ), alors la suite est arithmétique.
Démontrer qu'une suite est géométrique : Calculer le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ . Si le résultat est un nombre constant, alors la suite est géométrique.
Calculer un terme éloigné : Utiliser la formule du terme général $u_n$ pour éviter de calculer tous les termes un par un.
Calculer une somme : Bien compter le nombre de termes (Formule : $\text{Indice final} - \text{Indice initial} + 1$ ).

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_0 = 5$ et $r = 3$ . Calculer $u_{10}$ .

Solution : On utilise la formule : $u_n = u_0 + n \times r$ $u_{10} = 5 + 10 \times 3$ $u_{10} = 5 + 30 = 35$ .

Exemple 2 : Soit $(v_n)$ une suite géométrique telle que $v_0 = 2$ et $q = 3$ . Calculer $v_3$ .

Solution : On utilise la formule : $v_n = v_0 \times q^n$ $v_3 = 2 \times 3^3$ $v_3 = 2 \times 27 = 54$ .

Erreurs fréquentes

Confondre les formules : Utiliser l'addition pour une suite géométrique ou la multiplication pour une suite arithmétique.
Erreur de calcul de l'indice : Oublier que si on commence à $u_0$ , le terme $u_{10}$ est le 11ème terme.
Oublier la parenthèse dans la somme : Dans la formule de la somme géométrique, bien calculer la puissance avant de multiplier.

L'essentiel du cours

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres notée $(u_n)$.

1. Suite arithmétique : On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ (la raison).

Relation de récurrence : $u_{n+1} = u_n + r$
Terme général : $u_n = u_p + (n-p) \times r$ (Si la suite commence à $u_0$, alors $u_n = u_0 + n \times r$)
Somme des termes : $S = \text{Nombre de termes} \times \frac{\text{Premier terme} + \text{Dernier terme}}{2}$

2. Suite géométrique : On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$ (la raison).

Relation de récurrence : $u_{n+1} = u_n \times q$
Terme général : $u_n = u_p \times q^{(n-p)}$ (Si la suite commence à $u_0$, alors $u_n = u_0 \times q^n$)
Somme des termes : $S = \text{Premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{Nombre de termes}}}{1 - q}$ (avec $q \neq 1$)

Méthodes à maîtriser

Démontrer qu'une suite est arithmétique : Calculer la différence $u_{n+1} - u_n$. Si le résultat est un nombre constant (ne dépend pas de $n$), alors la suite est arithmétique.
Démontrer qu'une suite est géométrique : Calculer le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$. Si le résultat est un nombre constant, alors la suite est géométrique.
Calculer un terme éloigné : Utiliser la formule du terme général $u_n$ pour éviter de calculer tous les termes un par un.
Calculer une somme : Bien compter le nombre de termes (Formule : $\text{Indice final} - \text{Indice initial} + 1$).

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_0 = 5$ et $r = 3$. Calculer $u_{10}$.

Solution : On utilise la formule : $u_n = u_0 + n \times r$ $u_{10} = 5 + 10 \times 3$ $u_{10} = 5 + 30 = 35$.

Exemple 2 : Soit $(v_n)$ une suite géométrique telle que $v_0 = 2$ et $q = 3$. Calculer $v_3$.

Solution : On utilise la formule : $v_n = v_0 \times q^n$ $v_3 = 2 \times 3^3$ $v_3 = 2 \times 27 = 54$.

Erreurs fréquentes

Confondre les formules : Utiliser l'addition pour une suite géométrique ou la multiplication pour une suite arithmétique.
Erreur de calcul de l'indice : Oublier que si on commence à $u_0$, le terme $u_{10}$ est le 11ème terme.
Oublier la parenthèse dans la somme : Dans la formule de la somme géométrique, bien calculer la puissance avant de multiplier.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 المتتاليات مادة الرياضيات أولى باك آداب وعلوم إنسانية

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Si $u_{n+1} = u_n + 5$ , quelle est la nature de la suite ?

Si $u_{n+1} = u_n + 5$, quelle est la nature de la suite ?

❓ Questions fréquentes

Comment prouver qu'une suite est constante ?

Il faut montrer que $u_{n+1} = u_n$ pour tout $n$ . Cela revient à dire que $r=0$ (arithmétique) ou $q=1$ (géométrique).

💡 À retenir : Constante signifie "pas de changement".

Il faut montrer que $u_{n+1} = u_n$ pour tout $n$. Cela revient à dire que $r=0$ (arithmétique) ou $q=1$ (géométrique).

💡 À retenir : Constante signifie "pas de changement".

Comment calculer le nombre de termes dans une somme de u0 à un ?

Le nombre de termes est : $(\text{Indice de fin} - \text{Indice de début}) + 1$ . Pour $u_0$ à $u_{10}$ , le nombre de termes est $(10 - 0) + 1 = 11$ .

💡 À retenir : N'oublie jamais le " $+1$ ".

Le nombre de termes est : $(\text{Indice de fin} - \text{Indice de début}) + 1$. Pour $u_0$ à $u_{10}$, le nombre de termes est $(10 - 0) + 1 = 11$.

💡 À retenir : N'oublie jamais le "$+1$".

Peut-on avoir une raison q = 0 dans une suite géométrique ?

Mathématiquement oui, mais la suite devient $u_0, 0, 0, 0...$ Ce qui n'est pas très intéressant pour les exercices. En général, on travaille avec $q \neq 0$ .

💡 À retenir : $q=0$ rend la suite nulle après le premier terme.

Mathématiquement oui, mais la suite devient $u_0, 0, 0, 0...$ Ce qui n'est pas très intéressant pour les exercices. En général, on travaille avec $q \neq 0$.

💡 À retenir : $q=0$ rend la suite nulle après le premier terme.

Si la raison q est comprise entre 0 et 1, que devient la suite ?

Si $0 < q < 1$ , la suite est décroissante car on multiplie par un nombre qui réduit la valeur. Exemple : $100, 50, 25, 12.5...$ ( $q = 0.5$ ).

💡 À retenir : $0 < q < 1 \implies$ Décroissante.

Si $0 < q < 1$, la suite est décroissante car on multiplie par un nombre qui réduit la valeur. Exemple : $100, 50, 25, 12.5...$ ($q = 0.5$).

💡 À retenir : $0 < q < 1 \implies$ Décroissante.

Chno hiya l-farq bin arithmetic w geometric?

C'est simple :

Dans une suite arithmétique, on fait une addition (on ajoute toujours le même nombre $r$ ).
Dans une suite géométrique, on fait une multiplication (on multiplie toujours par le même nombre $q$ ).

💡 À retenir : Arithmétique $\rightarrow$ Addition | Géométrique $\rightarrow$ Multiplication.

C'est simple :

Dans une suite arithmétique, on fait une addition (on ajoute toujours le même nombre $r$).
Dans une suite géométrique, on fait une multiplication (on multiplie toujours par le même nombre $q$).

💡 À retenir : Arithmétique $\rightarrow$ Addition | Géométrique $\rightarrow$ Multiplication.

Kifach n3ref wach l-matataliya hisabiya aw la?

Pour le savoir, tu dois calculer la différence entre deux termes consécutifs : $u_{n+1} - u_n$ .

Si tu trouves un nombre fixe (par exemple $5$ ou $-2$ ) qui ne contient pas $n$ , alors elle est arithmétique.
Si le résultat dépend de $n$ (par exemple $2n+1$ ), alors elle n'est pas arithmétique.

💡 À retenir : $u_{n+1} - u_n = r$ (constant).

Pour le savoir, tu dois calculer la différence entre deux termes consécutifs : $u_{n+1} - u_n$.

Si tu trouves un nombre fixe (par exemple $5$ ou $-2$) qui ne contient pas $n$, alors elle est arithmétique.
Si le résultat dépend de $n$ (par exemple $2n+1$), alors elle n'est pas arithmétique.

💡 À retenir : $u_{n+1} - u_n = r$ (constant).

Kifach n7seb l-majmou3 dyal l-7od?

Il faut d'abord identifier le type de suite :

Si elle est arithmétique : Utilise $S = \frac{\text{nb de termes}}{2} \times (\text{premier} + \text{dernier})$ .
Si elle est géométrique : Utilise $S = \text{premier} \times \frac{1 - q^{\text{nb de termes}}}{1 - q}$ .

💡 À retenir : Compte bien le nombre de termes avant de commencer !

Il faut d'abord identifier le type de suite :

Si elle est arithmétique : Utilise $S = \frac{\text{nb de termes}}{2} \times (\text{premier} + \text{dernier})$.
Si elle est géométrique : Utilise $S = \text{premier} \times \frac{1 - q^{\text{nb de termes}}}{1 - q}$.

💡 À retenir : Compte bien le nombre de termes avant de commencer !

Comment trouver la raison r d'une suite arithmétique si on a deux termes ?

Si tu connais $u_p$ et $u_n$ , utilise la formule : $u_n = u_p + (n-p)r$ . En isolant $r$ , on obtient : $r = \frac{u_n - u_p}{n - p}$ .

💡 À retenir : C'est comme calculer une pente.

Si tu connais $u_p$ et $u_n$, utilise la formule : $u_n = u_p + (n-p)r$. En isolant $r$, on obtient : $r = \frac{u_n - u_p}{n - p}$.

💡 À retenir : C'est comme calculer une pente.

Quelle est la différence entre un et Sn ?

$u_n$ est la valeur d'un seul terme à une position précise $n$ .
$S_n$ est la somme de tous les termes de $u_0$ jusqu'à $u_n$ ( $u_0 + u_1 + ... + u_n$ ).

💡 À retenir : $u_n$ est un nombre, $S_n$ est un total.

$u_n$ est la valeur d'un seul terme à une position précise $n$.
$S_n$ est la somme de tous les termes de $u_0$ jusqu'à $u_n$ ($u_0 + u_1 + ... + u_n$).

💡 À retenir : $u_n$ est un nombre, $S_n$ est un total.

Une suite peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique ?

Oui, mais seulement si tous les termes sont identiques (par exemple : $5, 5, 5, 5...$ ). Dans ce cas, la raison arithmétique est $r=0$ et la raison géométrique est $q=1$ .

💡 À retenir : C'est un cas très particulier et rare.

Oui, mais seulement si tous les termes sont identiques (par exemple : $5, 5, 5, 5...$). Dans ce cas, la raison arithmétique est $r=0$ et la raison géométrique est $q=1$.

💡 À retenir : C'est un cas très particulier et rare.

Si la raison r est négative, que devient la suite ?

Si $r < 0$ , la suite est décroissante (les nombres deviennent de plus en plus petits). Exemple : $10, 7, 4, 1, -2...$ ( $r = -3$ ).

💡 À retenir : $r < 0 \implies$ Décroissante.

Si $r < 0$, la suite est décroissante (les nombres deviennent de plus en plus petits). Exemple : $10, 7, 4, 1, -2...$ ($r = -3$).

💡 À retenir : $r < 0 \implies$ Décroissante.

Si un = 3n + 2, est-ce une suite arithmétique ?

Oui. Calculons $u_{n+1} - u_n$ : $u_{n+1} = 3(n+1) + 2 = 3n + 3 + 2 = 3n + 5$ . $u_{n+1} - u_n = (3n + 5) - (3n + 2) = 3$ . Le résultat est $3$ (constant), donc elle est arithmétique de raison $r=3$ .

💡 À retenir : Si $n$ est au premier degré ( $n^1$ ), c'est souvent arithmétique.

Oui. Calculons $u_{n+1} - u_n$ : $u_{n+1} = 3(n+1) + 2 = 3n + 3 + 2 = 3n + 5$. $u_{n+1} - u_n = (3n + 5) - (3n + 2) = 3$. Le résultat est $3$ (constant), donc elle est arithmétique de raison $r=3$.

💡 À retenir : Si $n$ est au premier degré ($n^1$), c'est souvent arithmétique.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Soit la suite arithmétique $(u_n)$ définie par $u_1 = 10$ et $u_2 = 14$ .

Calculer la raison $r$ .
Calculer le terme $u_{20}$ .
Calculer la somme $S = u_1 + u_2 + ... + u_{20}$ .

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Soit la suite arithmétique $(u_n)$ définie par $u_1 = 10$ et $u_2 = 14$.

Calculer la raison $r$.
Calculer le terme $u_{20}$.
Calculer la somme $S = u_1 + u_2 + ... + u_{20}$.

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Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Soit $(v_n)$ une suite géométrique de premier terme $v_0 = 3$ et de raison $q = 2$ .

Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ .
Calculer $v_5$ .
Calculer la somme $S = v_0 + v_1 + v_2 + v_3 + v_4 + v_5$ .

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Soit $(v_n)$ une suite géométrique de premier terme $v_0 = 3$ et de raison $q = 2$.

Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
Calculer $v_5$.
Calculer la somme $S = v_0 + v_1 + v_2 + v_3 + v_4 + v_5$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Difficile) : Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_3 = 12$ et $u_7 = 24$ .

Déterminer la raison $r$ et le premier terme $u_0$ .
Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ .
Trouver la valeur de $n$ tel que $u_n = 100$ .

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Difficile) : Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_3 = 12$ et $u_7 = 24$.

Déterminer la raison $r$ et le premier terme $u_0$.
Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
Trouver la valeur de $n$ tel que $u_n = 100$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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