Mathématiques · 1ère Année Bac — Langue arabe

النهايات مادة الرياضيات أولى باك آداب وعلوم انسانية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

L'étude des limites permet de comprendre le comportement d'une fonction $f(x)$ quand $x$ devient très grand ( $+\infty$ ), très petit ( $-\infty$ ) ou s'approche d'un nombre réel $a$ .

1. Limites des fonctions polynômes : Pour calculer la limite d'un polynôme en $+\infty$ ou $-\infty$ , on utilise uniquement le terme de plus haut degré. Exemple : $\lim_{x \to +\infty} (3x^2 - 5x + 2) = \lim_{x \to +\infty} 3x^2 = +\infty$ .

2. Limites des fonctions rationnelles : Pour calculer la limite d'une fonction rationnelle (fraction de deux polynômes) en $+\infty$ ou $-\infty$ , on prend le rapport des termes de plus haut degré. Exemple : $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + 1}{x^2 - 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2}{x^2} = 2$ .

3. Les Formes Indéterminées (F.I) : Il existe 4 cas où on ne peut pas conclure directement : $\frac{0}{0} \quad ; \quad \frac{\infty}{\infty} \quad ; \quad 0 \times \infty \quad ; \quad +\infty - \infty$

Méthodes à maîtriser

À l'infini ( $\pm\infty$ ) : Utiliser la règle du plus haut degré pour les polynômes et les fractions.
En un nombre réel $a$ : Remplacer $x$ par $a$ dans l'expression. Si on trouve $\frac{nombre}{0}$ , on étudie le signe du dénominateur pour trouver $+\infty$ ou $-\infty$ .
Lever l'indétermination $\frac{0}{0}$ : Utiliser la factorisation (souvent par $(x-a)$ ) pour simplifier la fraction.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Calculer $\lim_{x \to -\infty} (-x^3 + 2x)$ . Solution : On prend le terme de plus haut degré : $\lim_{x \to -\infty} (-x^3 + 2x) = \lim_{x \to -\infty} (-x^3)$ Comme $x \to -\infty$ , alors $x^3 \to -\infty$ , donc $-x^3 \to +\infty$ . $\lim_{x \to -\infty} (-x^3 + 2x) = +\infty$

Exemple 2 : Calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x - 2}{2x + 3}$ . Solution : On prend le rapport des termes de plus haut degré : $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x - 2}{2x + 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{5x}{2x} = \frac{5}{2}$

Exemple 3 : Calculer $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ . Solution : Si on remplace $x$ par $1$ , on obtient $\frac{0}{0}$ (F.I). On factorise le numérateur : $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ . $\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 1 + 1 = 2$

Erreurs fréquentes

Oublier le signe : Ne pas faire attention au signe $(-)$ devant le terme de plus haut degré en $-\infty$ .
Confondre $\frac{1}{0}$ et $\frac{0}{1}$ : $\frac{1}{0}$ donne l'infini ( $\pm\infty$ ), alors que $\frac{0}{1}$ donne $0$ .
Vouloir tout calculer : Essayer de calculer chaque terme d'un polynôme à l'infini au lieu d'utiliser la règle du plus haut degré.

L'essentiel du cours

L'étude des limites permet de comprendre le comportement d'une fonction $f(x)$ quand $x$ devient très grand ($+\infty$), très petit ($-\infty$) ou s'approche d'un nombre réel $a$.

1. Limites des fonctions polynômes : Pour calculer la limite d'un polynôme en $+\infty$ ou $-\infty$, on utilise uniquement le terme de plus haut degré. Exemple : $\lim_{x \to +\infty} (3x^2 - 5x + 2) = \lim_{x \to +\infty} 3x^2 = +\infty$.

2. Limites des fonctions rationnelles : Pour calculer la limite d'une fonction rationnelle (fraction de deux polynômes) en $+\infty$ ou $-\infty$, on prend le rapport des termes de plus haut degré. Exemple : $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + 1}{x^2 - 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2}{x^2} = 2$.

3. Les Formes Indéterminées (F.I) : Il existe 4 cas où on ne peut pas conclure directement : $$\frac{0}{0} \quad ; \quad \frac{\infty}{\infty} \quad ; \quad 0 \times \infty \quad ; \quad +\infty - \infty$$

Méthodes à maîtriser

À l'infini ($\pm\infty$) : Utiliser la règle du plus haut degré pour les polynômes et les fractions.
En un nombre réel $a$ : Remplacer $x$ par $a$ dans l'expression. Si on trouve $\frac{nombre}{0}$, on étudie le signe du dénominateur pour trouver $+\infty$ ou $-\infty$.
Lever l'indétermination $\frac{0}{0}$ : Utiliser la factorisation (souvent par $(x-a)$) pour simplifier la fraction.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Calculer $\lim_{x \to -\infty} (-x^3 + 2x)$. Solution : On prend le terme de plus haut degré : $$\lim_{x \to -\infty} (-x^3 + 2x) = \lim_{x \to -\infty} (-x^3)$$ Comme $x \to -\infty$, alors $x^3 \to -\infty$, donc $-x^3 \to +\infty$. $$\lim_{x \to -\infty} (-x^3 + 2x) = +\infty$$

Exemple 2 : Calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x - 2}{2x + 3}$. Solution : On prend le rapport des termes de plus haut degré : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{5x - 2}{2x + 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{5x}{2x} = \frac{5}{2}$$

Exemple 3 : Calculer $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$. Solution : Si on remplace $x$ par $1$, on obtient $\frac{0}{0}$ (F.I). On factorise le numérateur : $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$. $$\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 1 + 1 = 2$$

Erreurs fréquentes

Oublier le signe : Ne pas faire attention au signe $(-)$ devant le terme de plus haut degré en $-\infty$.
Confondre $\frac{1}{0}$ et $\frac{0}{1}$ : $\frac{1}{0}$ donne l'infini ($\pm\infty$), alors que $\frac{0}{1}$ donne $0$.
Vouloir tout calculer : Essayer de calculer chaque terme d'un polynôme à l'infini au lieu d'utiliser la règle du plus haut degré.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 النهايات مادة الرياضيات أولى باك آداب وعلوم انسانية

1/4

Quelle est la limite de $f(x) = \frac{1}{x}$ quand $x \to +\infty$ ?

❓ Questions fréquentes

Chno hiya limite?

La limite est la valeur vers laquelle se dirige la fonction $f(x)$ quand $x$ s'approche d'un nombre ou de l'infini. Ce n'est pas forcément la valeur de la fonction elle-même, mais sa "destination".

💡 À retenir : La limite décrit le comportement de la courbe.

La limite est la valeur vers laquelle se dirige la fonction $f(x)$ quand $x$ s'approche d'un nombre ou de l'infini. Ce n'est pas forcément la valeur de la fonction elle-même, mais sa "destination".

💡 À retenir : La limite décrit le comportement de la courbe.

Kifach n7seb limite dyal polynôme f infty?

C'est très simple :

Repère le terme qui a la plus grande puissance de $x$ (le plus haut degré).
Calcule la limite de ce seul terme en $+\infty$ ou $-\infty$ .
Le résultat est le même pour tout le polynôme.

💡 À retenir : On ne garde que le "chef" (le plus haut degré).

C'est très simple :

Repère le terme qui a la plus grande puissance de $x$ (le plus haut degré).
Calcule la limite de ce seul terme en $+\infty$ ou $-\infty$.
Le résultat est le même pour tout le polynôme.

💡 À retenir : On ne garde que le "chef" (le plus haut degré).

Chno homa les formes indéterminées?

Ce sont les cas où le calcul direct est impossible et où on ne peut pas donner de réponse immédiate. Il y en a 4 principales : $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $0 \times \infty$ , et $+\infty - \infty$ .

💡 À retenir : Si tu tombes sur une F.I, il faut utiliser une autre méthode (factorisation, etc.).

Ce sont les cas où le calcul direct est impossible et où on ne peut pas donner de réponse immédiate. Il y en a 4 principales : $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$, et $+\infty - \infty$.

💡 À retenir : Si tu tombes sur une F.I, il faut utiliser une autre méthode (factorisation, etc.).

Comment calculer la limite d'une fonction rationnelle en +infty ?

Identifie le terme de plus haut degré au numérateur.
Identifie le terme de plus haut degré au dénominateur.
Fais le rapport de ces deux termes.
Simplifie par $x$ pour trouver la limite.

💡 À retenir : On utilise le rapport des plus hauts degrés.

Identifie le terme de plus haut degré au numérateur.
Identifie le terme de plus haut degré au dénominateur.
Fais le rapport de ces deux termes.
Simplifie par $x$ pour trouver la limite.

💡 À retenir : On utilise le rapport des plus hauts degrés.

Est-ce que frac{1}{0} est égal à l'infini ?

Oui, mais attention au signe ! $\frac{1}{0}$ n'est pas un nombre, c'est une indication que la limite est $+\infty$ ou $-\infty$ . Il faut regarder si le $0$ est un " $0^+$ " (positif) ou un " $0^-$ " (négatif).

💡 À retenir : $\frac{nombre \neq 0}{0} = \infty$ .

Oui, mais attention au signe ! $\frac{1}{0}$ n'est pas un nombre, c'est une indication que la limite est $+\infty$ ou $-\infty$. Il faut regarder si le $0$ est un "$0^+$" (positif) ou un "$0^-$" (négatif).

💡 À retenir : $\frac{nombre \neq 0}{0} = \infty$.

Kifach n3ref l-asymptote verticale?

Si tu calcules la limite de $f(x)$ quand $x$ s'approche d'un nombre $a$ et que tu trouves $\pm\infty$ , alors la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale.

💡 À retenir : Limite en un nombre = $\infty \implies$ Asymptote verticale.

Si tu calcules la limite de $f(x)$ quand $x$ s'approche d'un nombre $a$ et que tu trouves $\pm\infty$, alors la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale.

💡 À retenir : Limite en un nombre = $\infty \implies$ Asymptote verticale.

Pourquoi on utilise le plus haut degré à l'infini ?

Parce qu'à l'infini, les puissances les plus élevées deviennent tellement grandes qu'elles "écrasent" toutes les autres puissances plus petites. Elles deviennent négligeables.

💡 À retenir : Le plus haut degré domine tout à l'infini.

La limite de x^2 en -infty est quoi ?

$\lim_{x \to -\infty} x^2 = +\infty$ . Car un nombre négatif élevé au carré devient positif.

💡 À retenir : Attention aux signes avec les puissances paires et impaires.

$\lim_{x \to -\infty} x^2 = +\infty$. Car un nombre négatif élevé au carré devient positif.

💡 À retenir : Attention aux signes avec les puissances paires et impaires.

Comment lever l'indétermination frac{0}{0} ?

La méthode la plus courante au niveau de ta filière est la factorisation. On transforme l'expression pour faire apparaître un terme qui va s'annuler avec le dénominateur, puis on simplifie.

💡 À retenir : Factoriser $\to$ Simplifier $\to$ Remplacer.

La méthode la plus courante au niveau de ta filière est la factorisation. On transforme l'expression pour faire apparaître un terme qui va s'annuler avec le dénominateur, puis on simplifie.

💡 À retenir : Factoriser $\to$ Simplifier $\to$ Remplacer.

La limite d'une constante est quoi ?

La limite d'une constante $k$ est toujours $k$ , peu importe vers quoi $x$ tend. $\lim_{x \to +\infty} 5 = 5$ .

💡 À retenir : Un nombre fixe ne change pas.

La limite d'une constante $k$ est toujours $k$, peu importe vers quoi $x$ tend. $\lim_{x \to +\infty} 5 = 5$.

💡 À retenir : Un nombre fixe ne change pas.

Chno l-far9 bin limite finie et infinie?

Une limite finie est un nombre réel précis (ex: $2, 0, -5$ ). Une limite infinie signifie que la fonction grandit ou diminue sans limite (ex: $+\infty, -\infty$ ).

💡 À retenir : Finie = nombre ; Infinie = $\infty$ .

Une limite finie est un nombre réel précis (ex: $2, 0, -5$). Une limite infinie signifie que la fonction grandit ou diminue sans limite (ex: $+\infty, -\infty$).

💡 À retenir : Finie = nombre ; Infinie = $\infty$.

Est-ce que la limite existe toujours ?

Non. Une fonction peut ne pas avoir de limite si elle oscille (comme $\sin(x)$ ) ou si elle se comporte différemment à gauche et à droite d'un point.

💡 À retenir : La limite doit être unique pour exister.

Non. Une fonction peut ne pas avoir de limite si elle oscille (comme $\sin(x)$) ou si elle se comporte différemment à gauche et à droite d'un point.

💡 À retenir : La limite doit être unique pour exister.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Calculer les limites suivantes :

$\lim_{x \to +\infty} (x^3 - 4x^2 + 1)$
$\lim_{x \to -\infty} (2x^2 + 5)$

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Calculer les limites suivantes :

$\lim_{x \to +\infty} (x^3 - 4x^2 + 1)$
$\lim_{x \to -\infty} (2x^2 + 5)$

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{3x^2 - 5}{x^2 + 1}$ . Calculer :

$\lim_{x \to +\infty} f(x)$
$\lim_{x \to -\infty} f(x)$

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{3x^2 - 5}{x^2 + 1}$. Calculer :

$\lim_{x \to +\infty} f(x)$
$\lim_{x \to -\infty} f(x)$

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Examen) : Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ .

Calculer $\lim_{x \to +\infty} g(x)$ .
Calculer $\lim_{x \to 3} g(x)$ .

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Examen) : Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$.

Calculer $\lim_{x \to +\infty} g(x)$.
Calculer $\lim_{x \to 3} g(x)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

المتتاليات مادة الرياضيات أولى باك آداب وعلوم إنسانية الاشتقاق مادة الرياضيات أولى باك آداب وعلوم انسانية التعداد مادة الرياضيات أولى باكالوريا آداب وعلوم انسانية الحساب العددي أولى باكالوريا شعبة اللغة العربية والآداب والعلوم الانسانية عموميات حول الدوال العددية الرياضيات أولى باكالوريا شعبة اللغة العربية والآداب والعلوم الإنسانية دراسة وتمثيل الدوال مادة الرياضيات أولى باك آداب وعلوم انسانية