📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
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Équations du premier ordre ($y' = ay + b$) :
- La solution générale de $y' = ay$ est $y(x) = C e^{ax}$ avec $C \in \mathbb{R}$.
- Pour $y' = ay + b$ ($a \neq 0$), la solution générale est $y(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$.
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Équations du second ordre ($ay'' + by' + cy = 0$) : On résout l'équation caractéristique $ar^2 + br + c = 0$ :
- Si $\Delta > 0$ : deux racines réelles $r_1, r_2$. Solution : $y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$.
- Si $\Delta = 0$ : une racine double $r_0$. Solution : $y(x) = (C_1 x + C_2) e^{r_0 x}$.
- Si $\Delta < 0$ : deux racines complexes $r = \alpha \pm i\beta$. Solution : $y(x) = e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$.
Méthodes à maîtriser
- Identifier l'ordre de l'équation et ses coefficients.
- Calculer le discriminant $\Delta$ pour les équations du second ordre.
- Utiliser les conditions initiales ($y(x_0) = y_0$) pour déterminer les constantes $C, C_1, C_2$.
Exemples corrigés
- Exemple 1 : $y' - 3y = 0$. Ici $a=3$, donc $y(x) = C e^{3x}$.
- Exemple 2 : $y'' - 5y' + 6y = 0$. Éq. carac : $r^2 - 5r + 6 = 0$. $\Delta = 25 - 24 = 1$. Racines $r_1=2, r_2=3$. Solution : $y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}$.
Erreurs fréquentes
- Oublier la constante $C$ dans la solution générale.
- Se tromper dans le signe de $a$ ou des racines de l'équation caractéristique.
- Confondre les formules selon le signe de $\Delta$.