Mathématiques · BTS & DUT (EST) — BTS

Limites et continuité

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Limite en un point : $\lim_{x \to a} f(x) = l$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $l$ quand $x$ se rapproche de $a$ .
Continuité en un point : $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .
Opérations sur les limites : Somme, produit et quotient respectent les règles usuelles (attention aux formes indéterminées : $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ ).
TVI : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $f(a) \times f(b) < 0$ , alors il existe au moins un $c \in ]a, b[$ tel que $f(c) = 0$ .

Méthodes à maîtriser

Levée d'indétermination : Factorisation par le terme de plus haut degré, utilisation de la quantité conjuguée, ou factorisation par $(x-a)$ .
Étude de continuité : Vérifier $\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$ .
Recherche d'asymptotes : Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = b$ , alors $y=b$ est une asymptote horizontale.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$ .
Exemple 2 : Continuité de $f(x) = x^2$ en $x=1$ . $\lim_{x \to 1} x^2 = 1^2 = 1 = f(1)$ , donc $f$ est continue en 1.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant d'appliquer le TVI.
Confondre $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ (asymptote verticale) et $\lim_{x \to \infty} f(x) = a$ (asymptote horizontale).
Ne pas mettre les parenthèses lors des calculs de limites avec des fractions.

L'essentiel du cours

Limite en un point : $\lim_{x \to a} f(x) = l$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $l$ quand $x$ se rapproche de $a$.
Continuité en un point : $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
Opérations sur les limites : Somme, produit et quotient respectent les règles usuelles (attention aux formes indéterminées : $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$).
TVI : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $f(a) \times f(b) < 0$, alors il existe au moins un $c \in ]a, b[$ tel que $f(c) = 0$.

Méthodes à maîtriser

Levée d'indétermination : Factorisation par le terme de plus haut degré, utilisation de la quantité conjuguée, ou factorisation par $(x-a)$.
Étude de continuité : Vérifier $\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$.
Recherche d'asymptotes : Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = b$, alors $y=b$ est une asymptote horizontale.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$.
Exemple 2 : Continuité de $f(x) = x^2$ en $x=1$. $\lim_{x \to 1} x^2 = 1^2 = 1 = f(1)$, donc $f$ est continue en 1.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant d'appliquer le TVI.
Confondre $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ (asymptote verticale) et $\lim_{x \to \infty} f(x) = a$ (asymptote horizontale).
Ne pas mettre les parenthèses lors des calculs de limites avec des fractions.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Limites et continuité

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La limite $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach l'fonction moutassila f'wahed l'noqta?

Hseb l'image dyal l'noqta $f(a)$ .
Hseb l'limite dyal l'fonction f'hadik l'noqta $\lim_{x \to a} f(x)$ .
Ila kan l'hissab dyal l'limite kaysawi l'image ( $f(a)$ ), ra l'fonction moutassila.

💡 À retenir : $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ hiya l'qaaida l'assassiya.

Hseb l'image dyal l'noqta $f(a)$.
Hseb l'limite dyal l'fonction f'hadik l'noqta $\lim_{x \to a} f(x)$.
Ila kan l'hissab dyal l'limite kaysawi l'image ($f(a)$), ra l'fonction moutassila.

💡 À retenir : $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ hiya l'qaaida l'assassiya.

Imta kankhdmou b'la quantité conjuguée?

Kankhdmou biha fach katkon 3ndna l'racine carrée f'l'hissab dyal l'limite o kat3tina forme indéterminée (bhal $\infty - \infty$ aw $\frac{0}{0}$ ).

💡 À retenir : L'objectif howa n7eydou l'racine bach nkhrej l'factorisation.

Kankhdmou biha fach katkon 3ndna l'racine carrée f'l'hissab dyal l'limite o kat3tina forme indéterminée (bhal $\infty - \infty$ aw $\frac{0}{0}$).

💡 À retenir : L'objectif howa n7eydou l'racine bach nkhrej l'factorisation.

Chno hiya l'farq bin l'limite f'l'infini o l'limite f'noqta?

L'limite f'noqta $a$ katbiyen l'mou3amala dyal l'fonction qreb l'hadik l'noqta.
L'limite f'l'infini katbiyen l'mou3amala dyal l'fonction fach $x$ kaykber bzaf (l'moustaqbal dyal l'courbe).

💡 À retenir : L'limite f'noqta kat3tina l'ittissal, l'limite f'l'infini kat3tina l'asymptote.

L'limite f'noqta $a$ katbiyen l'mou3amala dyal l'fonction qreb l'hadik l'noqta.
L'limite f'l'infini katbiyen l'mou3amala dyal l'fonction fach $x$ kaykber bzaf (l'moustaqbal dyal l'courbe).

💡 À retenir : L'limite f'noqta kat3tina l'ittissal, l'limite f'l'infini kat3tina l'asymptote.

Comment lever une indétermination du type frac{0}{0} ?

Si c'est un polynôme, factoriser par $(x-a)$ en haut et en bas.
Si c'est une racine, multiplier par la quantité conjuguée.
Simplifier par le terme commun.

💡 À retenir : Il faut toujours chercher à simplifier le facteur qui pose problème.

Si c'est un polynôme, factoriser par $(x-a)$ en haut et en bas.
Si c'est une racine, multiplier par la quantité conjuguée.
Simplifier par le terme commun.

💡 À retenir : Il faut toujours chercher à simplifier le facteur qui pose problème.

Qu'est-ce qu'un prolongement par continuité ?

C'est définir une nouvelle fonction $g$ qui est égale à $f$ là où $f$ est définie, et qui prend la valeur de la limite en un point où $f$ n'est pas définie.

💡 À retenir : $g(a) = \lim_{x \to a} f(x)$ .

C'est définir une nouvelle fonction $g$ qui est égale à $f$ là où $f$ est définie, et qui prend la valeur de la limite en un point où $f$ n'est pas définie.

💡 À retenir : $g(a) = \lim_{x \to a} f(x)$.

Comment appliquer le TVI pour montrer qu'une équation a une solution ?

Vérifier que la fonction est continue sur l'intervalle $[a, b]$ .
Calculer $f(a)$ et $f(b)$ .
Vérifier que $f(a) \times f(b) < 0$ .

💡 À retenir : Le changement de signe garantit le passage par zéro.

Vérifier que la fonction est continue sur l'intervalle $[a, b]$.
Calculer $f(a)$ et $f(b)$.
Vérifier que $f(a) \times f(b) < 0$.

💡 À retenir : Le changement de signe garantit le passage par zéro.

Quelle est la limite de 1/x en 0^+ et 0^- ?

$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ .
$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$ .

💡 À retenir : Le signe dépend de la direction d'approche.

$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$.
$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$.

💡 À retenir : Le signe dépend de la direction d'approche.

Est-ce que toute fonction continue est dérivable ?

Non, une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable (ex: la fonction valeur absolue en 0).

💡 À retenir : La continuité est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la dérivabilité.

Comment trouver une asymptote oblique ?

Il faut calculer $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ puis $\lim_{x \to \infty} (f(x) - ax) = b$ . L'équation est $y = ax + b$ .

💡 À retenir : L'asymptote oblique existe si la limite du quotient est un réel non nul.

Il faut calculer $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ puis $\lim_{x \to \infty} (f(x) - ax) = b$. L'équation est $y = ax + b$.

💡 À retenir : L'asymptote oblique existe si la limite du quotient est un réel non nul.

Pourquoi dit-on que la fonction racine carrée est continue sur [0, +infty[ ?

Parce que pour tout $a \ge 0$ , $\lim_{x \to a} \sqrt{x} = \sqrt{a}$ .

💡 À retenir : La continuité est une propriété fondamentale des fonctions usuelles sur leur domaine.

Parce que pour tout $a \ge 0$, $\lim_{x \to a} \sqrt{x} = \sqrt{a}$.

💡 À retenir : La continuité est une propriété fondamentale des fonctions usuelles sur leur domaine.

Comment gérer une limite avec une valeur absolue ?

Il faut distinguer les cas selon le signe de l'expression à l'intérieur de la valeur absolue.

💡 À retenir : $|x| = x$ si $x \ge 0$ et $|x| = -x$ si $x < 0$ .

Il faut distinguer les cas selon le signe de l'expression à l'intérieur de la valeur absolue.

💡 À retenir : $|x| = x$ si $x \ge 0$ et $|x| = -x$ si $x < 0$.

Quelle est la limite d'un polynôme en l'infini ?

C'est la limite de son terme de plus haut degré.

💡 À retenir : Les termes de bas degré deviennent négligeables.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1) = 2$ .

Étudier la continuité de $f$ en $x_0 = 1$ .
Déterminer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1) = 2$.

Étudier la continuité de $f$ en $x_0 = 1$.
Déterminer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(x) = x^3 + x - 1$ . Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha \in ]0, 1[$ .

Exercice 2

Soit $f(x) = x^3 + x - 1$. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha \in ]0, 1[$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Déterminer l'asymptote oblique de $f(x) = \frac{x^2+2x}{x-1}$ .

Exercice 3

Déterminer l'asymptote oblique de $f(x) = \frac{x^2+2x}{x-1}$.

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