Mathématiques · BTS & DUT (EST) — BTS

Calcul intégral

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a, b \in I$ .

L'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est définie par : $\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$ , où $F$ est une primitive de $f$ .
Linéarité : $\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx$ .
Chasles : $\int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx = \int_a^c f(x) dx$ .
Intégration par parties : $\int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx$ .

Méthodes à maîtriser

Recherche de primitives : Maîtriser les formes usuelles ( $u'u^n$ , $u'/u$ , $u'e^u$ ).
Calcul d'aire : L'aire du domaine délimité par $C_f$ , l'axe des abscisses et les droites $x=a, x=b$ est $\int_a^b |f(x)| dx$ en u.a.
Changement de variable : Poser $t = \varphi(x)$ , donc $dt = \varphi'(x)dx$ , et changer les bornes.

Exemples corrigés

Calculer $I = \int_0^1 x e^x dx$ . On pose $u(x)=x \Rightarrow u'(x)=1$ et $v'(x)=e^x \Rightarrow v(x)=e^x$ . $I = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = (1 e^1 - 0) - [e^x]_0^1 = e - (e - 1) = 1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de changer les bornes lors d'un changement de variable.
Confondre la primitive de $f(x)g(x)$ avec $F(x)G(x)$ (c'est faux !).
Oublier l'unité d'aire (u.a) dans les questions de calcul d'aire.

L'essentiel du cours

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a, b \in I$.

L'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est définie par : $\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$, où $F$ est une primitive de $f$.
Linéarité : $\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx$.
Chasles : $\int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx = \int_a^c f(x) dx$.
Intégration par parties : $\int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx$.

Méthodes à maîtriser

Recherche de primitives : Maîtriser les formes usuelles ($u'u^n$, $u'/u$, $u'e^u$).
Calcul d'aire : L'aire du domaine délimité par $C_f$, l'axe des abscisses et les droites $x=a, x=b$ est $\int_a^b |f(x)| dx$ en u.a.
Changement de variable : Poser $t = \varphi(x)$, donc $dt = \varphi'(x)dx$, et changer les bornes.

Exemples corrigés

Calculer $I = \int_0^1 x e^x dx$. On pose $u(x)=x \Rightarrow u'(x)=1$ et $v'(x)=e^x \Rightarrow v(x)=e^x$. $I = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = (1 e^1 - 0) - [e^x]_0^1 = e - (e - 1) = 1$.

Erreurs fréquentes

Oublier de changer les bornes lors d'un changement de variable.
Confondre la primitive de $f(x)g(x)$ avec $F(x)G(x)$ (c'est faux !).
Oublier l'unité d'aire (u.a) dans les questions de calcul d'aire.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Calcul intégral

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La valeur de $\int_0^1 2x dx$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir quelle méthode choisir pour calculer une intégrale ?

Cherche d'abord une primitive usuelle.
Si c'est un produit de fonctions (ex: $x \ln x$ ), pense à l'intégration par parties.
Si la fonction contient une composée (ex: $e^{x^2} \cdot x$ ), pense au changement de variable.

💡 À retenir : L'ordre de priorité pour l'IPP est souvent : Logarithme, Polynôme, Exponentielle.

Cherche d'abord une primitive usuelle.
Si c'est un produit de fonctions (ex: $x \ln x$), pense à l'intégration par parties.
Si la fonction contient une composée (ex: $e^{x^2} \cdot x$), pense au changement de variable.

💡 À retenir : L'ordre de priorité pour l'IPP est souvent : Logarithme, Polynôme, Exponentielle.

Kifach n7seb l'intégrale ila kan l'fonction f(x) saliba (négative) ?

L'intégrale en soi peut être négative, c'est normal.
Si on te demande de calculer l'aire, tu dois calculer $\int_a^b -f(x) dx$ ou $| \int_a^b f(x) dx |$ .

💡 À retenir : L'intégrale est un nombre, l'aire est toujours positive.

L'intégrale en soi peut être négative, c'est normal.
Si on te demande de calculer l'aire, tu dois calculer $\int_a^b -f(x) dx$ ou $| \int_a^b f(x) dx |$.

💡 À retenir : L'intégrale est un nombre, l'aire est toujours positive.

Est-ce que inta^b f(x)g(x) dx = (inta^b f(x) dx) times (inta^b g(x) dx) ?

Non, c'est une erreur grave. La multiplication ne respecte pas la linéarité de l'intégrale.

💡 À retenir : L'intégrale d'un produit n'est jamais le produit des intégrales.

Chno hiya l'relation bin l'intégrale o l'primitive ?

L'intégrale est la valeur numérique de la différence des primitives aux bornes.

💡 À retenir : $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ .

L'intégrale est la valeur numérique de la différence des primitives aux bornes.

💡 À retenir : $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$.

Kifach nkhdem b'changement de variable f'l'examen ?

Pose $t = \varphi(x)$ .
Calcule $dt = \varphi'(x)dx$ .
Change les bornes : si $x=a$ alors $t=\varphi(a)$ , si $x=b$ alors $t=\varphi(b)$ .
Remplace tout dans l'intégrale.

💡 À retenir : Ne jamais oublier de changer les bornes !

Pose $t = \varphi(x)$.
Calcule $dt = \varphi'(x)dx$.
Change les bornes : si $x=a$ alors $t=\varphi(a)$, si $x=b$ alors $t=\varphi(b)$.
Remplace tout dans l'intégrale.

💡 À retenir : Ne jamais oublier de changer les bornes !

Est-ce que l'ordre des bornes est important ?

Oui, si tu inverses les bornes, le signe de l'intégrale change : $\int_b^a f(x) dx = - \int_a^b f(x) dx$ .

💡 À retenir : $\int_a^a f(x) dx = 0$ .

Oui, si tu inverses les bornes, le signe de l'intégrale change : $\int_b^a f(x) dx = - \int_a^b f(x) dx$.

💡 À retenir : $\int_a^a f(x) dx = 0$.

Comment calculer l'aire entre deux courbes Cf et Cg ?

L'aire est donnée par $\int_a^b |f(x) - g(x)| dx$ en u.a.

💡 À retenir : Il faut étudier le signe de $f(x)-g(x)$ sur $[a,b]$ pour enlever la valeur absolue.

L'aire est donnée par $\int_a^b |f(x) - g(x)| dx$ en u.a.

💡 À retenir : Il faut étudier le signe de $f(x)-g(x)$ sur $[a,b]$ pour enlever la valeur absolue.

Est-ce que je peux utiliser la calculatrice pour trouver le résultat ?

Tu peux l'utiliser pour vérifier, mais sur ta copie, tu dois détailler les étapes de calcul (primitive, remplacement).

💡 À retenir : Seule la méthode justifiée rapporte des points.

C'est quoi la valeur moyenne d'une fonction ?

C'est la valeur $m = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$ .

💡 À retenir : Elle représente la hauteur moyenne du rectangle ayant la même aire que la courbe.

C'est la valeur $m = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$.

💡 À retenir : Elle représente la hauteur moyenne du rectangle ayant la même aire que la courbe.

Est-ce que int frac{1}{x} dx = ln(x) ?

C'est $\ln(|x|)$ sur les intervalles ne contenant pas 0.

💡 À retenir : La valeur absolue est indispensable.

C'est $\ln(|x|)$ sur les intervalles ne contenant pas 0.

💡 À retenir : La valeur absolue est indispensable.

Pourquoi on ajoute toujours la constante c dans les primitives mais pas dans l'intégrale ?

Dans l'intégrale, la constante $c$ s'annule lors du calcul $F(b) - F(a)$ .

💡 À retenir : $F(b)+c - (F(a)+c) = F(b)-F(a)$ .

Dans l'intégrale, la constante $c$ s'annule lors du calcul $F(b) - F(a)$.

💡 À retenir : $F(b)+c - (F(a)+c) = F(b)-F(a)$.

Est-ce que le changement de variable est obligatoire ?

Non, si tu trouves une primitive directe, c'est mieux. Le changement de variable est un outil de secours.

💡 À retenir : Utilise-le seulement si tu ne vois pas la primitive immédiatement.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) dx$ .

Exercice 1

Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) dx$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Calculer $J = \int_1^e \frac{\ln(x)}{x} dx$ en utilisant un changement de variable.

Exercice 2

Calculer $J = \int_1^e \frac{\ln(x)}{x} dx$ en utilisant un changement de variable.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f(x) = e^x$ , l'axe des abscisses, et les droites $x=0$ et $x=1$ .

Exercice 3

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f(x) = e^x$, l'axe des abscisses, et les droites $x=0$ et $x=1$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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