Mathématiques · BTS & DUT (EST) — BTS

Dérivabilité et étude de fonctions

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : $f$ est dérivable en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0) \in \mathbb{R}$ .
Interprétation géométrique : L'équation de la tangente au point $A(x_0, f(x_0))$ est $y = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)$ .
Monotonie : Si $f' \geq 0$ sur $I$ , alors $f$ est croissante sur $I$ . Si $f' \leq 0$ , elle est décroissante.
Concavité : Si $f'' > 0$ , la courbe est convexe (tournée vers le haut). Si $f'' < 0$ , elle est concave.

Méthodes à maîtriser

Calcul de dérivée : Utiliser les formules usuelles (somme, produit, quotient, composée).
Étude de signe : Toujours factoriser $f'(x)$ pour étudier son signe.
Point d'inflexion : Chercher où $f''(x)$ s'annule en changeant de signe.
Branches infinies : Comparer $\lim \frac{f(x)}{x}$ et $\lim (f(x)-ax)$ pour déterminer la direction asymptotique.

Exemples corrigés

Tangente : Soit $f(x) = x^2$ en $x_0=1$ . $f'(x)=2x$ , donc $f'(1)=2$ . $y = 2(x-1)+1 = 2x-1$ .
Monotonie : $f(x) = -x^2+4x$ . $f'(x) = -2x+4$ . $f'(x)=0 \iff x=2$ . $f$ croît sur $]-\infty, 2]$ et décroît sur $[2, +\infty[$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que la fonction est dérivable avant de calculer la dérivée.
Confondre le signe de $f'(x)$ avec la valeur de $f(x)$ .
Ne pas changer de signe lors de la résolution de $f''(x)=0$ pour le point d'inflexion.

L'essentiel du cours

Définition : $f$ est dérivable en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0) \in \mathbb{R}$.
Interprétation géométrique : L'équation de la tangente au point $A(x_0, f(x_0))$ est $y = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)$.
Monotonie : Si $f' \geq 0$ sur $I$, alors $f$ est croissante sur $I$. Si $f' \leq 0$, elle est décroissante.
Concavité : Si $f'' > 0$, la courbe est convexe (tournée vers le haut). Si $f'' < 0$, elle est concave.

Méthodes à maîtriser

Calcul de dérivée : Utiliser les formules usuelles (somme, produit, quotient, composée).
Étude de signe : Toujours factoriser $f'(x)$ pour étudier son signe.
Point d'inflexion : Chercher où $f''(x)$ s'annule en changeant de signe.
Branches infinies : Comparer $\lim \frac{f(x)}{x}$ et $\lim (f(x)-ax)$ pour déterminer la direction asymptotique.

Exemples corrigés

Tangente : Soit $f(x) = x^2$ en $x_0=1$. $f'(x)=2x$, donc $f'(1)=2$. $y = 2(x-1)+1 = 2x-1$.
Monotonie : $f(x) = -x^2+4x$. $f'(x) = -2x+4$. $f'(x)=0 \iff x=2$. $f$ croît sur $]-\infty, 2]$ et décroît sur $[2, +\infty[$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que la fonction est dérivable avant de calculer la dérivée.
Confondre le signe de $f'(x)$ avec la valeur de $f(x)$.
Ne pas changer de signe lors de la résolution de $f''(x)=0$ pour le point d'inflexion.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Dérivabilité et étude de fonctions

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La dérivée de $f(x) = \sin(2x)$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach l'fction dérivable f chi no9ta?

Calcule la limite $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ .
Si le résultat est un nombre réel fini, alors $f$ est dérivable.
Si le résultat est $\pm \infty$ , elle n'est pas dérivable (point anguleux ou tangente verticale).

💡 À retenir : La limite doit être un nombre réel unique.

Calcule la limite $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.
Si le résultat est un nombre réel fini, alors $f$ est dérivable.
Si le résultat est $\pm \infty$, elle n'est pas dérivable (point anguleux ou tangente verticale).

💡 À retenir : La limite doit être un nombre réel unique.

Chno hiya l'far9 bin l'point d'inflexion o l'extremum?

L'extremum (max/min) est lié au signe de $f'(x)$ : la courbe change de sens de variation.
Le point d'inflexion est lié au signe de $f''(x)$ : la courbe change de courbure (concave devient convexe ou inversement).

💡 À retenir : $f'(x)=0$ pour l'extremum, $f''(x)=0$ pour l'inflexion.

L'extremum (max/min) est lié au signe de $f'(x)$ : la courbe change de sens de variation.
Le point d'inflexion est lié au signe de $f''(x)$ : la courbe change de courbure (concave devient convexe ou inversement).

💡 À retenir : $f'(x)=0$ pour l'extremum, $f''(x)=0$ pour l'inflexion.

Kifach n7seb l'équation dyal l'tangent?

Utilise la formule : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ où $a$ est l'abscisse du point.

Calcule $f(a)$ .
Calcule $f'(x)$ puis $f'(a)$ .
Remplace dans la formule et développe.

💡 À retenir : C'est une équation de droite de type $y=mx+p$ .

Utilise la formule : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ où $a$ est l'abscisse du point.

Calcule $f(a)$.
Calcule $f'(x)$ puis $f'(a)$.
Remplace dans la formule et développe.

💡 À retenir : C'est une équation de droite de type $y=mx+p$.

Quelle est la différence entre dérivabilité à gauche et à droite ?

On utilise les limites à gauche ( $x \to x_0^-$ ) et à droite ( $x \to x_0^+$ ). Si les deux limites sont égales, la fonction est dérivable. Si elles sont différentes, il y a un point anguleux.

On utilise les limites à gauche ($x \to x_0^-$) et à droite ($x \to x_0^+$). Si les deux limites sont égales, la fonction est dérivable. Si elles sont différentes, il y a un point anguleux.

Comment étudier la concavité d'une fonction ?

Calcule la dérivée seconde $f''(x)$ .
Étudie le signe de $f''(x)$ .
Si $f''(x) > 0$ , la courbe est convexe. Si $f''(x) < 0$ , elle est concave.

Calcule la dérivée seconde $f''(x)$.
Étudie le signe de $f''(x)$.
Si $f''(x) > 0$, la courbe est convexe. Si $f''(x) < 0$, elle est concave.

Peut-on avoir un point d'inflexion sans que f''(x)=0 ?

Oui, si $f''(x)$ n'est pas définie en ce point mais change de signe de part et d'autre (ex: fonction racine cubique).

Pourquoi le signe de f'(x) donne-t-il le sens de variation ?

Car $f'(x)$ représente la pente de la tangente. Si la pente est positive, la courbe monte ; si elle est négative, elle descend.

Qu'est-ce qu'une asymptote oblique ?

C'est une droite $y=ax+b$ vers laquelle la courbe se rapproche quand $x \to \pm \infty$ . On vérifie $\lim_{x \to \infty} (f(x)-(ax+b)) = 0$ .

C'est une droite $y=ax+b$ vers laquelle la courbe se rapproche quand $x \to \pm \infty$. On vérifie $\lim_{x \to \infty} (f(x)-(ax+b)) = 0$.

Comment justifier la dérivabilité d'une fonction composée ?

Il faut que la fonction intérieure soit dérivable sur l'intervalle et que la fonction extérieure soit dérivable sur l'image de cet intervalle.

Est-ce que toute fonction continue est dérivable ?

Non, la réciproque est fausse. Par exemple, $f(x)=|x|$ est continue en 0 mais non dérivable en 0.

Comment trouver les branches infinies ?

Chercher les limites aux bornes du domaine.
Si $\lim f(x) = \infty$ , calculer $\lim f(x)/x$ . Si c'est 0, direction axe des abscisses. Si c'est $\infty$ , direction axe des ordonnées. Si c'est $a \neq 0$ , calculer $\lim (f(x)-ax)$ .

Chercher les limites aux bornes du domaine.
Si $\lim f(x) = \infty$, calculer $\lim f(x)/x$. Si c'est 0, direction axe des abscisses. Si c'est $\infty$, direction axe des ordonnées. Si c'est $a \neq 0$, calculer $\lim (f(x)-ax)$.

Pourquoi on étudie le signe de f'(x) ?

Pour dresser le tableau de variations et identifier les points où la fonction atteint ses valeurs maximales ou minimales.