Mathématiques · Tronc Commun — Enseignement originel

الدوال العددية 2 : تمثيلات مبيانية و قراءة

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La représentation graphique d'une fonction $f$ dans un repère $(O, I, J)$ est l'ensemble des points $M(x, f(x))$ où $x$ appartient au domaine de définition $D_f$ .

Intersection avec l'axe des abscisses : Les points sont de la forme $(x, 0)$ , donc on résout l'équation $f(x) = 0$ .
Intersection avec l'axe des ordonnées : Le point est $(0, f(0))$ , à condition que $0 \in D_f$ .
Parité :
- Si $f(-x) = f(x)$ , la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (fonction paire).
- Si $f(-x) = -f(x)$ , la courbe est symétrique par rapport à l'origine $O$ (fonction impaire).

Méthodes à maîtriser

Lecture graphique : Pour trouver l'image de $a$ , on cherche $a$ sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) jusqu'à la courbe, puis on lit la valeur sur l'axe des ordonnées.
Étude du signe : La courbe est au-dessus de l'axe des abscisses quand $f(x) > 0$ et en dessous quand $f(x) < 0$ .
Comparaison : Pour comparer $f(x)$ et $g(x)$ , on regarde quelle courbe est au-dessus de l'autre.

Exemples corrigés

Exemple : Soit $f(x) = x^2$ .

$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$ . La fonction est paire, sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Pour $x=2$ , $f(2)=4$ . Le point $A(2, 4)$ appartient à la courbe.

Erreurs fréquentes

Confondre l'abscisse (x) et l'ordonnée (y) lors du placement d'un point.
Oublier que pour l'intersection avec l'axe des ordonnées, il faut calculer $f(0)$ .
Croire qu'une fonction est forcément paire ou impaire (la plupart ne sont ni l'une ni l'autre).

L'essentiel du cours

La représentation graphique d'une fonction $f$ dans un repère $(O, I, J)$ est l'ensemble des points $M(x, f(x))$ où $x$ appartient au domaine de définition $D_f$.

Intersection avec l'axe des abscisses : Les points sont de la forme $(x, 0)$, donc on résout l'équation $f(x) = 0$.
Intersection avec l'axe des ordonnées : Le point est $(0, f(0))$, à condition que $0 \in D_f$.
Parité :
- Si $f(-x) = f(x)$, la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (fonction paire).
- Si $f(-x) = -f(x)$, la courbe est symétrique par rapport à l'origine $O$ (fonction impaire).

Méthodes à maîtriser

Lecture graphique : Pour trouver l'image de $a$, on cherche $a$ sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) jusqu'à la courbe, puis on lit la valeur sur l'axe des ordonnées.
Étude du signe : La courbe est au-dessus de l'axe des abscisses quand $f(x) > 0$ et en dessous quand $f(x) < 0$.
Comparaison : Pour comparer $f(x)$ et $g(x)$, on regarde quelle courbe est au-dessus de l'autre.

Exemples corrigés

Exemple : Soit $f(x) = x^2$.

$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$. La fonction est paire, sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Pour $x=2$, $f(2)=4$. Le point $A(2, 4)$ appartient à la courbe.

Erreurs fréquentes

Confondre l'abscisse (x) et l'ordonnée (y) lors du placement d'un point.
Oublier que pour l'intersection avec l'axe des ordonnées, il faut calculer $f(0)$.
Croire qu'une fonction est forcément paire ou impaire (la plupart ne sont ni l'une ni l'autre).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 الدوال العددية 2 : تمثيلات مبيانية و قراءة

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Si $f(-x) = -f(x)$ , la fonction est :

Si $f(-x) = -f(x)$, la fonction est :

❓ Questions fréquentes

Comment lire l'image d'un nombre sur une courbe ?

Repère le nombre $x$ sur l'axe horizontal (l'axe des abscisses).
Trace une droite verticale passant par ce point jusqu'à toucher la courbe.
À partir de ce point d'intersection, trace une droite horizontale vers l'axe vertical (l'axe des ordonnées).
La valeur lue sur l'axe vertical est $f(x)$ .

💡 À retenir : L'image est toujours une valeur sur l'axe des ordonnées.

Repère le nombre $x$ sur l'axe horizontal (l'axe des abscisses).
Trace une droite verticale passant par ce point jusqu'à toucher la courbe.
À partir de ce point d'intersection, trace une droite horizontale vers l'axe vertical (l'axe des ordonnées).
La valeur lue sur l'axe vertical est $f(x)$.

💡 À retenir : L'image est toujours une valeur sur l'axe des ordonnées.

Kifach n3ref wach l'fonction zwjiya mn l'mbyan ?

Chouf wach l'man7ana (courbe) m9ssoum 3la jouj b7al l'mraya 3la l'm7war dyal l'artib (axe des ordonnées).
Ila kan l'jnab limn kayshbeh l'jnab l'yisr, rah l'fonction zwjiya.

💡 À retenir : Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées = fonction paire.

Comment trouver les antécédents d'un nombre y ?

Repère le nombre $y$ sur l'axe des ordonnées.
Trace une droite horizontale passant par ce point.
Regarde les points d'intersection entre cette droite et la courbe.
Les abscisses de ces points sont les antécédents de $y$ .

💡 À retenir : Un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

Repère le nombre $y$ sur l'axe des ordonnées.
Trace une droite horizontale passant par ce point.
Regarde les points d'intersection entre cette droite et la courbe.
Les abscisses de ces points sont les antécédents de $y$.

💡 À retenir : Un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

Kifach n3ref fin katn3dm l'fonction mn l'mbyan ?

Chouf fin l'khat dyal l'man7ana kytla9a m3a l'm7war dyal l'afasir (axe des abscisses).
L'afasir dyal dik l'blassa houma l'7ouloul dyal l'mo3adala $f(x)=0$ .

💡 À retenir : Les points d'intersection avec l'axe des abscisses donnent les racines de la fonction.

Chouf fin l'khat dyal l'man7ana kytla9a m3a l'm7war dyal l'afasir (axe des abscisses).
L'afasir dyal dik l'blassa houma l'7ouloul dyal l'mo3adala $f(x)=0$.

💡 À retenir : Les points d'intersection avec l'axe des abscisses donnent les racines de la fonction.

Est-ce qu'une fonction peut être à la fois paire et impaire ?

Oui, il existe une seule fonction qui est à la fois paire et impaire : la fonction nulle $f(x) = 0$ pour tout $x$ .

💡 À retenir : Pour toute autre fonction, si elle est paire, elle ne peut pas être impaire.

Oui, il existe une seule fonction qui est à la fois paire et impaire : la fonction nulle $f(x) = 0$ pour tout $x$.

💡 À retenir : Pour toute autre fonction, si elle est paire, elle ne peut pas être impaire.

Chno hiya l'far9 bin l'image w l'antecedent ?

L'image hiya $y$ (l'artib) li kankhrjou mn $x$ .
L'antecedent houwa $x$ (l'afasir) li kankhrjou mn $y$ .

💡 À retenir : $f(x) = y$ ; $x$ est l'antécédent, $y$ est l'image.

L'image hiya $y$ (l'artib) li kankhrjou mn $x$.
L'antecedent houwa $x$ (l'afasir) li kankhrjou mn $y$.

💡 À retenir : $f(x) = y$ ; $x$ est l'antécédent, $y$ est l'image.

Comment déterminer le maximum d'une fonction graphiquement ?

Cherche le point le plus haut de la courbe.
La valeur de l'ordonnée de ce point est le maximum de la fonction.

💡 À retenir : Le maximum est la valeur la plus grande atteinte par $f(x)$ .

Cherche le point le plus haut de la courbe.
La valeur de l'ordonnée de ce point est le maximum de la fonction.

💡 À retenir : Le maximum est la valeur la plus grande atteinte par $f(x)$.

Comment savoir si f(x) leq 0 graphiquement ?

Identifie la partie de la courbe située en dessous de l'axe des abscisses.
Regarde les valeurs de $x$ correspondantes sur l'axe horizontal.

💡 À retenir : $f(x) \leq 0$ signifie que la courbe est sous l'axe des abscisses.

Identifie la partie de la courbe située en dessous de l'axe des abscisses.
Regarde les valeurs de $x$ correspondantes sur l'axe horizontal.

💡 À retenir : $f(x) \leq 0$ signifie que la courbe est sous l'axe des abscisses.

Est-ce que le domaine de définition se lit sur l'axe des ordonnées ?

Non, le domaine de définition se lit toujours sur l'axe des abscisses (l'axe horizontal).

💡 À retenir : Le domaine de définition est l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe existe.

Non, le domaine de définition se lit toujours sur l'axe des abscisses (l'axe horizontal).

💡 À retenir : Le domaine de définition est l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe existe.

Kifach n3ref wach l'fonction tzaidiya wla tna9usiya ?

Chouf l'khat mn l'yisr l'limn.
Ila kan l'khat tal3 l'fou9, rah tzaidiya.
Ila kan l'khat nazl l't7t, rah tna9usiya.

💡 À retenir : On lit toujours le sens de variation de gauche à droite.

Peut-on avoir plusieurs points avec la même ordonnée ?

Oui, c'est tout à fait possible. Cela signifie simplement que plusieurs valeurs de $x$ ont la même image par $f$ .

💡 À retenir : Une fonction peut prendre la même valeur plusieurs fois.

Oui, c'est tout à fait possible. Cela signifie simplement que plusieurs valeurs de $x$ ont la même image par $f$.

💡 À retenir : Une fonction peut prendre la même valeur plusieurs fois.

Pourquoi dit-on que la courbe est une "représentation" ?

Parce qu'elle permet de visualiser en un coup d'œil les propriétés de la fonction (variations, signes, extremums) sans avoir à faire de longs calculs.

💡 À retenir : Le graphique est un outil d'analyse rapide et efficace.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ une fonction définie par sa courbe $\mathcal{C}_f$ .

Déterminer graphiquement l'image de $2$ et de $-1$ .
Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 0$ .
Déterminer le maximum de $f$ sur l'intervalle $[-2, 3]$ . (Note : Supposons une courbe donnée dans un repère où $f(2)=3, f(-1)=0$ , coupe l'axe des abscisses en $-1$ et $2$ , et atteint un sommet en $x=0.5$ avec $y=4$ ).

Exercice 1

Soit $f$ une fonction définie par sa courbe $\mathcal{C}_f$.

Déterminer graphiquement l'image de $2$ et de $-1$.
Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 0$.
Déterminer le maximum de $f$ sur l'intervalle $[-2, 3]$. (Note : Supposons une courbe donnée dans un repère où $f(2)=3, f(-1)=0$, coupe l'axe des abscisses en $-1$ et $2$, et atteint un sommet en $x=0.5$ avec $y=4$).

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(x) = x^2 - 1$ .