Mathématiques · Tronc Commun — Enseignement originel

الترتيب في مجموعة الأعداد الحقيقية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Comparaison : Pour comparer $a$ et $b$ , on étudie le signe de $a - b$ . Si $a - b \geq 0$ alors $a \geq b$ .
Propriétés de l'ordre :
- Si $a \leq b$ , alors $a + c \leq b + c$ .
- Si $a \leq b$ et $c > 0$ , alors $a \times c \leq b \times c$ .
- Si $a \leq b$ et $c < 0$ , alors $a \times c \geq b \times c$ (Attention au changement de signe !).
Encadrement : Si $a \leq x \leq b$ et $c \leq y \leq d$ , alors $a+c \leq x+y \leq b+d$ .
Valeur absolue : $|x| = x$ si $x \geq 0$ et $|x| = -x$ si $x < 0$ . $|x| \leq r$ équivaut à $-r \leq x \leq r$ .

Méthodes à maîtriser

Étudier le signe de la différence.
Encadrer une expression à partir d'encadrements donnés.
Utiliser la valeur absolue pour résoudre des inégalités simples.
Représenter des intervalles sur la droite graduée.

Exemples corrigés

Comparer $a = \sqrt{3}$ et $b = 1.7$ : On calcule $a^2 = 3$ et $b^2 = 2.89$ . Comme $3 > 2.89$ , alors $\sqrt{3} > 1.7$ .
Encadrer $2x + 3$ sachant que $1 \leq x \leq 2$ : $1 \leq x \leq 2 \implies 2 \leq 2x \leq 4 \implies 2+3 \leq 2x+3 \leq 4+3 \implies 5 \leq 2x+3 \leq 7$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de changer le sens de l'inégalité lors de la multiplication par un nombre négatif.
Croire que si $a < b$ , alors $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ (c'est faux pour les nombres de même signe, l'ordre change).
Confondre l'intersection ( $\cap$ ) et la réunion ( $\cup$ ).

L'essentiel du cours

Comparaison : Pour comparer $a$ et $b$, on étudie le signe de $a - b$. Si $a - b \geq 0$ alors $a \geq b$.
Propriétés de l'ordre :
- Si $a \leq b$, alors $a + c \leq b + c$.
- Si $a \leq b$ et $c > 0$, alors $a \times c \leq b \times c$.
- Si $a \leq b$ et $c < 0$, alors $a \times c \geq b \times c$ (Attention au changement de signe !).
Encadrement : Si $a \leq x \leq b$ et $c \leq y \leq d$, alors $a+c \leq x+y \leq b+d$.
Valeur absolue : $|x| = x$ si $x \geq 0$ et $|x| = -x$ si $x < 0$. $|x| \leq r$ équivaut à $-r \leq x \leq r$.

Méthodes à maîtriser

Étudier le signe de la différence.
Encadrer une expression à partir d'encadrements donnés.
Utiliser la valeur absolue pour résoudre des inégalités simples.
Représenter des intervalles sur la droite graduée.

Exemples corrigés

Comparer $a = \sqrt{3}$ et $b = 1.7$ : On calcule $a^2 = 3$ et $b^2 = 2.89$. Comme $3 > 2.89$, alors $\sqrt{3} > 1.7$.
Encadrer $2x + 3$ sachant que $1 \leq x \leq 2$ : $1 \leq x \leq 2 \implies 2 \leq 2x \leq 4 \implies 2+3 \leq 2x+3 \leq 4+3 \implies 5 \leq 2x+3 \leq 7$.

Erreurs fréquentes

Oublier de changer le sens de l'inégalité lors de la multiplication par un nombre négatif.
Croire que si $a < b$, alors $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ (c'est faux pour les nombres de même signe, l'ordre change).
Confondre l'intersection ($\cap$) et la réunion ($\cup$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 الترتيب في مجموعة الأعداد الحقيقية

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L'encadrement de $x^2$ pour $x \in [2, 4]$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment trouver l'intersection de deux intervalles ?

Trace les deux intervalles sur une droite graduée.
Cherche la partie où les deux tracés se superposent.
C'est cette zone commune qui forme l'intersection.

💡 À retenir : Intersection = ce qui est commun aux deux.

Chno hiya l-qima l-moutlaqa?

L-qima l-moutlaqa dyal 3adad hiya l-masafa dyalou 3la l-moustawa men sifr. Hiya dima moujaba.

💡 À retenir : $|x|$ est la distance à zéro.

L-qima l-moutlaqa dyal 3adad hiya l-masafa dyalou 3la l-moustawa men sifr. Hiya dima moujaba.

💡 À retenir : $|x|$ est la distance à zéro.

Peut-on additionner deux inégalités ?

Oui, si elles sont dans le même sens : $a \leq b$ et $c \leq d$ donne $a+c \leq b+d$ .

💡 À retenir : Additionner membre à membre est toujours autorisé.

Oui, si elles sont dans le même sens : $a \leq b$ et $c \leq d$ donne $a+c \leq b+d$.

💡 À retenir : Additionner membre à membre est toujours autorisé.

Peut-on soustraire deux inégalités ?

Non, il ne faut jamais soustraire directement. Il faut transformer la soustraction en addition : $a - b = a + (-b)$ et encadrer $-b$ d'abord.

💡 À retenir : On additionne, on ne soustrait pas.

Non, il ne faut jamais soustraire directement. Il faut transformer la soustraction en addition : $a - b = a + (-b)$ et encadrer $-b$ d'abord.

💡 À retenir : On additionne, on ne soustrait pas.

Kifach n3ref wach a kbar men b ila kanou fihoum l-joudour?

Si les deux nombres sont positifs, compare leurs carrés : si $a^2 > b^2$ , alors $a > b$ .
Si l'un est négatif et l'autre positif, le positif est toujours plus grand.

💡 À retenir : Le carré conserve l'ordre pour les nombres positifs.

Si les deux nombres sont positifs, compare leurs carrés : si $a^2 > b^2$, alors $a > b$.
Si l'un est négatif et l'autre positif, le positif est toujours plus grand.

💡 À retenir : Le carré conserve l'ordre pour les nombres positifs.

Chno lfarq bin l-majmoo3a mksoura o l-majmoo3a msghoura?

Une ensemble est majoré s'il existe un nombre $M$ tel que tous les éléments sont inférieurs ou égaux à $M$ .
Une ensemble est minoré s'il existe un nombre $m$ tel que tous les éléments sont supérieurs ou égaux à $m$ .

💡 À retenir : Majoré = on ne dépasse pas un plafond ; Minoré = on ne descend pas sous un plancher.

Une ensemble est majoré s'il existe un nombre $M$ tel que tous les éléments sont inférieurs ou égaux à $M$.
Une ensemble est minoré s'il existe un nombre $m$ tel que tous les éléments sont supérieurs ou égaux à $m$.

💡 À retenir : Majoré = on ne dépasse pas un plafond ; Minoré = on ne descend pas sous un plancher.

Wach ila drbt f naqss khasni dima nqlb l-rmz?

Oui, absolument. C'est la règle d'or des inégalités. Si tu multiplies ou divises les deux côtés d'une inégalité par un nombre strictement négatif, le symbole change de sens ( $\leq$ devient $\geq$ et vice-versa).

💡 À retenir : Multiplication par un négatif = changement de sens obligatoire.

Comment encadrer x^2 si x est compris entre deux nombres négatifs ?

Si $-3 \leq x \leq -1$ , alors en passant au carré, les signes changent : $(-1)^2 \leq x^2 \leq (-3)^2$ , soit $1 \leq x^2 \leq 9$ .

💡 À retenir : Pour des nombres négatifs, le carré inverse l'ordre.

Si $-3 \leq x \leq -1$, alors en passant au carré, les signes changent : $(-1)^2 \leq x^2 \leq (-3)^2$, soit $1 \leq x^2 \leq 9$.

💡 À retenir : Pour des nombres négatifs, le carré inverse l'ordre.

Quelle est la différence entre [a, b] et ]a, b[ ?

$[a, b]$ est un intervalle fermé : $a$ et $b$ sont inclus.
$]a, b[$ est un intervalle ouvert : $a$ et $b$ sont exclus.

💡 À retenir : Crochets vers l'intérieur = inclus ; crochets vers l'extérieur = exclus.

$[a, b]$ est un intervalle fermé : $a$ et $b$ sont inclus.
$]a, b[$ est un intervalle ouvert : $a$ et $b$ sont exclus.

💡 À retenir : Crochets vers l'intérieur = inclus ; crochets vers l'extérieur = exclus.

Comment comparer frac{1}{a} et frac{1}{b} si a et b sont positifs ?

Si $0 < a < b$ , alors $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ . La fonction inverse est décroissante sur $]0, +\infty[$ .

💡 À retenir : L'inverse change l'ordre pour les nombres de même signe.

Si $0 < a < b$, alors $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$. La fonction inverse est décroissante sur $]0, +\infty[$.

💡 À retenir : L'inverse change l'ordre pour les nombres de même signe.

Est-ce que |x| = -x est toujours vrai ?

Non, c'est vrai seulement si $x \leq 0$ . Si $x$ est positif, $|x| = x$ .

💡 À retenir : La valeur absolue est toujours positive ou nulle.

Non, c'est vrai seulement si $x \leq 0$. Si $x$ est positif, $|x| = x$.

💡 À retenir : La valeur absolue est toujours positive ou nulle.

Comment encadrer x times y si x et y sont positifs ?

Si $a \leq x \leq b$ et $c \leq y \leq d$ avec $a, b, c, d > 0$ , alors $a \times c \leq x \times y \leq b \times d$ .

💡 À retenir : Produit possible si tous les nombres sont positifs.

Si $a \leq x \leq b$ et $c \leq y \leq d$ avec $a, b, c, d > 0$, alors $a \times c \leq x \times y \leq b \times d$.

💡 À retenir : Produit possible si tous les nombres sont positifs.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Comparer les nombres $A = \sqrt{5} + 1$ et $B = \sqrt{6}$ .

Exercice 1

Comparer les nombres $A = \sqrt{5} + 1$ et $B = \sqrt{6}$.

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Exercice 2

Soit $x$ un réel tel que $2 \leq x \leq 5$ . Encadrer l'expression $E = -3x + 4$ .

Exercice 2

Soit $x$ un réel tel que $2 \leq x \leq 5$. Encadrer l'expression $E = -3x + 4$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Déterminer l'intersection et la réunion des intervalles $I = [-2, 3]$ et $J = [1, 5]$ .

Exercice 3

Déterminer l'intersection et la réunion des intervalles $I = [-2, 3]$ et $J = [1, 5]$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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