Mathématiques · Tronc Commun — Enseignement originel

المعادلات و المتراجحات

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une équation du premier degré à une inconnue est de la forme $ax + b = 0$ ( $a \neq 0$ ). Sa solution est $x = -\frac{b}{a}$ .
Une inéquation du premier degré est de la forme $ax + b \geq 0$ (ou $\leq, >, <$ ). On isole $x$ en faisant attention au changement de sens si on multiplie par un nombre négatif.
Pour résoudre $A(x) \times B(x) = 0$ , on utilise la propriété : $A(x) = 0$ ou $B(x) = 0$ .
Pour résoudre $A(x) \times B(x) \geq 0$ , on dresse un tableau de signes.

Méthodes à maîtriser

Résoudre $ax+b=0$ : Isoler $x$ en déplaçant les termes constants, puis diviser par $a$ .
Factorisation : Utiliser les identités remarquables ou le facteur commun pour transformer une somme en produit.
Tableau de signes : Déterminer quand chaque facteur s'annule, placer les valeurs sur la droite réelle, et appliquer la règle des signes.

Exemples corrigés

Équation : $3x - 6 = 0 \iff 3x = 6 \iff x = \frac{6}{3} = 2$ .
Inéquation : $-2x + 4 \geq 0 \iff -2x \geq -4 \iff x \leq \frac{-4}{-2} \iff x \leq 2$ . (Attention : changement de sens).

Erreurs fréquentes

Oublier de changer le sens de l'inégalité lors de la division par un nombre négatif.
Croire que $A(x) \times B(x) = 5$ implique $A(x)=5$ ou $B(x)=5$ (Faux ! Il faut tout ramener à zéro).
Erreur de signe lors du développement d'une expression avec un signe « - » devant une parenthèse.

L'essentiel du cours

Une équation du premier degré à une inconnue est de la forme $ax + b = 0$ ($a \neq 0$). Sa solution est $x = -\frac{b}{a}$.
Une inéquation du premier degré est de la forme $ax + b \geq 0$ (ou $\leq, >, <$). On isole $x$ en faisant attention au changement de sens si on multiplie par un nombre négatif.
Pour résoudre $A(x) \times B(x) = 0$, on utilise la propriété : $A(x) = 0$ ou $B(x) = 0$.
Pour résoudre $A(x) \times B(x) \geq 0$, on dresse un tableau de signes.

Méthodes à maîtriser

Résoudre $ax+b=0$ : Isoler $x$ en déplaçant les termes constants, puis diviser par $a$.
Factorisation : Utiliser les identités remarquables ou le facteur commun pour transformer une somme en produit.
Tableau de signes : Déterminer quand chaque facteur s'annule, placer les valeurs sur la droite réelle, et appliquer la règle des signes.

Exemples corrigés

Équation : $3x - 6 = 0 \iff 3x = 6 \iff x = \frac{6}{3} = 2$.
Inéquation : $-2x + 4 \geq 0 \iff -2x \geq -4 \iff x \leq \frac{-4}{-2} \iff x \leq 2$. (Attention : changement de sens).

Erreurs fréquentes

Oublier de changer le sens de l'inégalité lors de la division par un nombre négatif.
Croire que $A(x) \times B(x) = 5$ implique $A(x)=5$ ou $B(x)=5$ (Faux ! Il faut tout ramener à zéro).
Erreur de signe lors du développement d'une expression avec un signe « - » devant une parenthèse.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 المعادلات و المتراجحات

1/4

Quelle est la solution de $x + 7 = 12$ ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach l'hal li lqit s7i7?

Pour vérifier, remplace $x$ par la valeur trouvée dans l'équation de départ. Si tu obtiens une égalité vraie (ex: $0=0$ ), alors ton résultat est correct.

💡 À retenir : La vérification est le meilleur moyen d'éviter les fautes d'inattention.

Pour vérifier, remplace $x$ par la valeur trouvée dans l'équation de départ. Si tu obtiens une égalité vraie (ex: $0=0$), alors ton résultat est correct.

💡 À retenir : La vérification est le meilleur moyen d'éviter les fautes d'inattention.

Wach dima fach kanqsm 3la l'3adad salib kanqlb l'moutafawita?

Oui, c'est une règle fondamentale. Si tu as $ax \leq b$ avec $a < 0$ , alors $x \geq \frac{b}{a}$ . Le sens change toujours.

💡 À retenir : Multiplication ou division par un nombre négatif = changement de sens.

Oui, c'est une règle fondamentale. Si tu as $ax \leq b$ avec $a < 0$, alors $x \geq \frac{b}{a}$. Le sens change toujours.

💡 À retenir : Multiplication ou division par un nombre négatif = changement de sens.

Chno hiya l'farq bin l'mousawat o l'moutafawita?

L'équation (موساواة) cherche une valeur précise de $x$ pour que les deux côtés soient égaux. L'inéquation (متراجحة) cherche un intervalle de valeurs pour que la relation soit vraie.

💡 À retenir : Équation = point précis ; Inéquation = zone (intervalle).

Comment résoudre (x-3)(2x+4) = 0 ?

Utilise la règle du produit nul : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.

$x-3 = 0 \implies x = 3$
$2x+4 = 0 \implies 2x = -4 \implies x = -2$ Les solutions sont $S = \{-2, 3\}$ .

💡 À retenir : $A \times B = 0 \iff A=0$ ou $B=0$ .

Utilise la règle du produit nul : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.

$x-3 = 0 \implies x = 3$
$2x+4 = 0 \implies 2x = -4 \implies x = -2$ Les solutions sont $S = {-2, 3}$.

💡 À retenir : $A \times B = 0 \iff A=0$ ou $B=0$.

Est-ce que je peux multiplier par x des deux côtés d'une équation ?

C'est risqué. Si $x=0$ , tu multiplies par zéro, ce qui est interdit. Il vaut mieux tout ramener d'un seul côté et factoriser.

💡 À retenir : Ne jamais diviser ni multiplier par une expression contenant l'inconnue sans précaution.

C'est risqué. Si $x=0$, tu multiplies par zéro, ce qui est interdit. Il vaut mieux tout ramener d'un seul côté et factoriser.

💡 À retenir : Ne jamais diviser ni multiplier par une expression contenant l'inconnue sans précaution.

Comment représenter les solutions d'une inéquation sur une droite ?

Trace une droite graduée. Si $x \leq a$ , colorie la partie à gauche de $a$ . Si $x > a$ , colorie à droite. Utilise un crochet ouvert ou fermé selon si la valeur est incluse ou non.

💡 À retenir : Crochet tourné vers l'extérieur = valeur exclue, vers l'intérieur = incluse.

Trace une droite graduée. Si $x \leq a$, colorie la partie à gauche de $a$. Si $x > a$, colorie à droite. Utilise un crochet ouvert ou fermé selon si la valeur est incluse ou non.

💡 À retenir : Crochet tourné vers l'extérieur = valeur exclue, vers l'intérieur = incluse.

Wach l'moutafawita katkhrej dima b'majal?

Oui, la solution d'une inéquation est généralement un intervalle (ex: $]-\infty, 2]$ ) ou une réunion d'intervalles.

💡 À retenir : Une inéquation a souvent une infinité de solutions.

Oui, la solution d'une inéquation est généralement un intervalle (ex: $]-\infty, 2]$) ou une réunion d'intervalles.

💡 À retenir : Une inéquation a souvent une infinité de solutions.

Comment factoriser x^2 - 9 ?

C'est une identité remarquable de la forme $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ . Ici $x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3)$ .

💡 À retenir : Apprends par cœur $(a+b)^2$ , $(a-b)^2$ et $a^2-b^2$ .

C'est une identité remarquable de la forme $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Ici $x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3)$.

💡 À retenir : Apprends par cœur $(a+b)^2$, $(a-b)^2$ et $a^2-b^2$.

Si j'ai 2x + 5 leq 2x + 1, que faire ?

Soustrait $2x$ des deux côtés : il reste $5 \leq 1$ . C'est impossible. Donc l'inéquation n'a pas de solution ( $S = \emptyset$ ).

💡 À retenir : Si les inconnues s'annulent et qu'il reste une absurdité, il n'y a pas de solution.

Soustrait $2x$ des deux côtés : il reste $5 \leq 1$. C'est impossible. Donc l'inéquation n'a pas de solution ($S = \emptyset$).

💡 À retenir : Si les inconnues s'annulent et qu'il reste une absurdité, il n'y a pas de solution.

Pourquoi on utilise le tableau de signes ?

Parce qu'on ne peut pas résoudre directement $A(x) \times B(x) \geq 0$ sans savoir quand chaque partie est positive ou négative.

💡 À retenir : Le tableau est indispensable pour les produits et quotients.

Parce qu'on ne peut pas résoudre directement $A(x) \times B(x) \geq 0$ sans savoir quand chaque partie est positive ou négative.

💡 À retenir : Le tableau est indispensable pour les produits et quotients.

Est-ce que x^2 = 4 a pour solution x=2 seulement ?

Non, il y a deux solutions : $x=2$ et $x=-2$ , car $(-2)^2 = 4$ aussi.

💡 À retenir : $x^2 = a$ (avec $a>0$ ) donne deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ .

Non, il y a deux solutions : $x=2$ et $x=-2$, car $(-2)^2 = 4$ aussi.

💡 À retenir : $x^2 = a$ (avec $a>0$) donne deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.

Comment écrire l'ensemble des solutions ?

On utilise la lettre $S$ . Exemple : $S = \{2, 5\}$ pour une équation, ou $S = [2, +\infty[$ pour une inéquation.

💡 À retenir : Sois toujours précis dans la notation des ensembles.

On utilise la lettre $S$. Exemple : $S = {2, 5}$ pour une équation, ou $S = [2, +\infty[$ pour une inéquation.

💡 À retenir : Sois toujours précis dans la notation des ensembles.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : $3(x - 2) = 5x + 4$ .

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : $3(x - 2) = 5x + 4$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation suivante : $(2x - 4)(x + 3) \geq 0$ .

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation suivante : $(2x - 4)(x + 3) \geq 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $x^2 - 4 + (x - 2)(3x + 1) = 0$ .

Exercice 3

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $x^2 - 4 + (x - 2)(3x + 1) = 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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