Mathématiques · Tronc Commun — Enseignement originel

الدوال العددية 1 : عموميات

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une fonction numérique $f$ est une relation qui associe à chaque réel $x$ d'un ensemble $D_f$ un unique réel $y = f(x)$ .

Ensemble de définition : $D_f = \{x \in \mathbb{R} / f(x) \in \mathbb{R}\}$ .
Parité :
- $f$ est paire si pour tout $x \in D_f$ , $-x \in D_f$ et $f(-x) = f(x)$ . (Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées).
- $f$ est impaire si pour tout $x \in D_f$ , $-x \in D_f$ et $f(-x) = -f(x)$ . (Symétrie par rapport à l'origine).
Variations :
- $f$ est croissante sur $I$ si pour tout $a, b \in I$ avec $a < b$ , $f(a) \leq f(b)$ .
- $f$ est décroissante sur $I$ si pour tout $a, b \in I$ avec $a < b$ , $f(a) \geq f(b)$ .

Méthodes à maîtriser

Déterminer $D_f$ : Chercher les valeurs interdites (dénominateur nul ou racine carrée d'un nombre négatif).
Étudier la parité : Calculer $f(-x)$ et comparer avec $f(x)$ ou $-f(x)$ .
Étudier les variations : Utiliser le taux de variation $T = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ . Si $T > 0$ la fonction est croissante, si $T < 0$ elle est décroissante.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f(x) = 3x^2$ . Calculons $f(-x) = 3(-x)^2 = 3x^2 = f(x)$ . Donc $f$ est paire.
Exemple 2 : Soit $f(x) = 2x + 1$ . $T = \frac{(2b+1)-(2a+1)}{b-a} = \frac{2(b-a)}{b-a} = 2$ . Comme $2 > 0$ , $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier si $-x \in D_f$ avant de calculer $f(-x)$ .
Confondre l'image (le résultat $y$ ) et l'antécédent (la valeur $x$ ).
Croire qu'une fonction qui n'est pas paire est forcément impaire (il existe des fonctions ni l'une ni l'autre).

L'essentiel du cours

Une fonction numérique $f$ est une relation qui associe à chaque réel $x$ d'un ensemble $D_f$ un unique réel $y = f(x)$.

Ensemble de définition : $D_f = {x \in \mathbb{R} / f(x) \in \mathbb{R}}$.
Parité :
- $f$ est paire si pour tout $x \in D_f$, $-x \in D_f$ et $f(-x) = f(x)$. (Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées).
- $f$ est impaire si pour tout $x \in D_f$, $-x \in D_f$ et $f(-x) = -f(x)$. (Symétrie par rapport à l'origine).
Variations :
- $f$ est croissante sur $I$ si pour tout $a, b \in I$ avec $a < b$, $f(a) \leq f(b)$.
- $f$ est décroissante sur $I$ si pour tout $a, b \in I$ avec $a < b$, $f(a) \geq f(b)$.

Méthodes à maîtriser

Déterminer $D_f$ : Chercher les valeurs interdites (dénominateur nul ou racine carrée d'un nombre négatif).
Étudier la parité : Calculer $f(-x)$ et comparer avec $f(x)$ ou $-f(x)$.
Étudier les variations : Utiliser le taux de variation $T = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Si $T > 0$ la fonction est croissante, si $T < 0$ elle est décroissante.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f(x) = 3x^2$. Calculons $f(-x) = 3(-x)^2 = 3x^2 = f(x)$. Donc $f$ est paire.
Exemple 2 : Soit $f(x) = 2x + 1$. $T = \frac{(2b+1)-(2a+1)}{b-a} = \frac{2(b-a)}{b-a} = 2$. Comme $2 > 0$, $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier si $-x \in D_f$ avant de calculer $f(-x)$.
Confondre l'image (le résultat $y$) et l'antécédent (la valeur $x$).
Croire qu'une fonction qui n'est pas paire est forcément impaire (il existe des fonctions ni l'une ni l'autre).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 الدوال العددية 1 : عموميات

1/4

Quel est l'ensemble de définition de $f(x) = \frac{1}{x+2}$ ?

❓ Questions fréquentes

Si j'ai une racine carrée, comment je trouve Df ?

Ce qui est à l'intérieur de la racine doit être supérieur ou égal à zéro.
Résous l'inéquation : expression $\geq 0$ .
$D_f$ est l'ensemble des solutions de cette inéquation.

💡 À retenir : On ne peut pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif dans $\mathbb{R}$ .

Ce qui est à l'intérieur de la racine doit être supérieur ou égal à zéro.
Résous l'inéquation : expression $\geq 0$.
$D_f$ est l'ensemble des solutions de cette inéquation.

💡 À retenir : On ne peut pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif dans $\mathbb{R}$.

Comment on trouve l'ensemble de définition d'une fonction avec une fraction ?

Identifie le dénominateur de la fraction.
Résous l'équation : dénominateur = 0.
L'ensemble de définition $D_f$ est l'ensemble $\mathbb{R}$ privé des solutions trouvées. Exemple : $f(x) = \frac{1}{x-3}$ . On pose $x-3 = 0$ , donc $x=3$ . $D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}$ .

💡 À retenir : Le dénominateur ne doit jamais être nul.

Identifie le dénominateur de la fraction.
Résous l'équation : dénominateur = 0.
L'ensemble de définition $D_f$ est l'ensemble $\mathbb{R}$ privé des solutions trouvées. Exemple : $f(x) = \frac{1}{x-3}$. On pose $x-3 = 0$, donc $x=3$. $D_f = \mathbb{R} \setminus {3}$.

💡 À retenir : Le dénominateur ne doit jamais être nul.

Kifach n3ref wach l-fonction zwjiya wla fardiya ?

Vérifie d'abord que si $x \in D_f$ , alors $-x \in D_f$ .
Calcule $f(-x)$ .
Si $f(-x) = f(x)$ , elle est paire.
Si $f(-x) = -f(x)$ , elle est impaire.

💡 À retenir : Pense toujours à calculer $f(-x)$ en remplaçant chaque $x$ par $(-x)$ entre parenthèses.

Vérifie d'abord que si $x \in D_f$, alors $-x \in D_f$.
Calcule $f(-x)$.
Si $f(-x) = f(x)$, elle est paire.
Si $f(-x) = -f(x)$, elle est impaire.

💡 À retenir : Pense toujours à calculer $f(-x)$ en remplaçant chaque $x$ par $(-x)$ entre parenthèses.

C'est quoi la différence entre le maximum et le minimum ?

Le maximum est la plus grande valeur que la fonction peut atteindre sur un intervalle donné.
Le minimum est la plus petite valeur que la fonction peut atteindre sur cet intervalle.

💡 À retenir : Le maximum et le minimum sont des valeurs de $y$ (les images), pas de $x$ .

Le maximum est la plus grande valeur que la fonction peut atteindre sur un intervalle donné.
Le minimum est la plus petite valeur que la fonction peut atteindre sur cet intervalle.

💡 À retenir : Le maximum et le minimum sont des valeurs de $y$ (les images), pas de $x$.

Kifach n7seb t-tawour (taux de variation) ?

Prends deux nombres $a$ et $b$ distincts dans l'intervalle.
Calcule $f(b) - f(a)$ .
Divise le résultat par $(b - a)$ .
Regarde le signe du résultat : s'il est positif, la fonction est croissante ; s'il est négatif, elle est décroissante.

💡 À retenir : Le signe du taux de variation donne le sens de variation.

Prends deux nombres $a$ et $b$ distincts dans l'intervalle.
Calcule $f(b) - f(a)$.
Divise le résultat par $(b - a)$.
Regarde le signe du résultat : s'il est positif, la fonction est croissante ; s'il est négatif, elle est décroissante.

💡 À retenir : Le signe du taux de variation donne le sens de variation.

Est-ce qu'une fonction peut être croissante sur tout son ensemble de définition ?

Oui, par exemple la fonction $f(x) = 2x$ est croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier. Cependant, beaucoup de fonctions changent de sens de variation selon l'intervalle.

💡 À retenir : Il faut toujours préciser l'intervalle quand on parle de variations.

Oui, par exemple la fonction $f(x) = 2x$ est croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier. Cependant, beaucoup de fonctions changent de sens de variation selon l'intervalle.

💡 À retenir : Il faut toujours préciser l'intervalle quand on parle de variations.

Chno hiya l-qima l-qaswiya ?

C'est la valeur maximale que la fonction atteint. On dit que $M$ est le maximum de $f$ sur $I$ s'il existe un réel $a \in I$ tel que $f(a) = M$ et pour tout $x \in I$ , $f(x) \leq M$ .

💡 À retenir : Le maximum est la valeur la plus haute sur le graphique.

C'est la valeur maximale que la fonction atteint. On dit que $M$ est le maximum de $f$ sur $I$ s'il existe un réel $a \in I$ tel que $f(a) = M$ et pour tout $x \in I$, $f(x) \leq M$.

💡 À retenir : Le maximum est la valeur la plus haute sur le graphique.

Est-ce que toutes les fonctions ont un axe de symétrie ?

Non, seules les fonctions paires ont l'axe des ordonnées comme axe de symétrie. Les fonctions impaires ont l'origine du repère comme centre de symétrie. Beaucoup de fonctions n'ont aucune symétrie particulière.

💡 À retenir : La symétrie est une propriété spécifique aux fonctions paires ou impaires.

Comment on montre qu'une fonction est croissante sans utiliser le taux de variation ?

Tu peux utiliser la définition : choisis $a < b$ et essaie de montrer que $f(a) \leq f(b)$ en utilisant les propriétés de l'ordre (encadrement).

💡 À retenir : La méthode du taux de variation est souvent plus rapide et systématique.

Tu peux utiliser la définition : choisis $a < b$ et essaie de montrer que $f(a) \leq f(b)$ en utilisant les propriétés de l'ordre (encadrement).

💡 À retenir : La méthode du taux de variation est souvent plus rapide et systématique.

Wach l-image dyal 0 hiya dima 0 ?

Non, pas forcément. L'image de 0 est $f(0)$ . Par exemple, si $f(x) = x + 5$ , alors $f(0) = 5$ .

💡 À retenir : Il faut toujours calculer $f(0)$ en remplaçant $x$ par 0.

Non, pas forcément. L'image de 0 est $f(0)$. Par exemple, si $f(x) = x + 5$, alors $f(0) = 5$.

💡 À retenir : Il faut toujours calculer $f(0)$ en remplaçant $x$ par 0.

C'est quoi un antécédent ?

Un antécédent d'un nombre $y$ est un nombre $x$ tel que $f(x) = y$ . Pour le trouver, on résout l'équation $f(x) = y$ .

💡 À retenir : Un nombre peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun.

Un antécédent d'un nombre $y$ est un nombre $x$ tel que $f(x) = y$. Pour le trouver, on résout l'équation $f(x) = y$.

💡 À retenir : Un nombre peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun.

Est-ce qu'une fonction peut être à la fois paire et impaire ?

Oui, la fonction nulle $f(x) = 0$ est la seule fonction qui est à la fois paire et impaire.

💡 À retenir : Pour toute autre fonction, elle est soit l'un, soit l'autre, soit ni l'un ni l'autre.

Oui, la fonction nulle $f(x) = 0$ est la seule fonction qui est à la fois paire et impaire.

💡 À retenir : Pour toute autre fonction, elle est soit l'un, soit l'autre, soit ni l'un ni l'autre.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ une fonction définie par $f(x) = x^2 - 4$ .

Déterminer $D_f$ .
Étudier la parité de $f$ .
Étudier les variations de $f$ sur $[0, +\infty[$ .

Exercice 1

Soit $f$ une fonction définie par $f(x) = x^2 - 4$.

Déterminer $D_f$.
Étudier la parité de $f$.
Étudier les variations de $f$ sur $[0, +\infty[$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $g(x) = \frac{2}{x}$ .

Déterminer $D_g$ .
Étudier la parité de $g$ .
Étudier les variations de $g$ sur $]0, +\infty[$ .

Exercice 2

Soit $g(x) = \frac{2}{x}$.

Déterminer $D_g$.
Étudier la parité de $g$.
Étudier les variations de $g$ sur $]0, +\infty[$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $h(x) = -3x + 1$ .

Déterminer l'image de 0 et l'antécédent de -2.
Étudier les variations de $h$ sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 3

Soit $h(x) = -3x + 1$.

Déterminer l'image de 0 et l'antécédent de -2.
Étudier les variations de $h$ sur $\mathbb{R}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

العمليات في مجموعة الأعداد الحقيقية الترتيب في مجموعة الأعداد الحقيقية المعادلات و المتراجحات النظمات الجذع المشترك للآداب والعلوم الإنسانية وجذع التعليم الأصيل الإحصاء 1 : جداول وتمثيلات مبيانية الإحصاء 2 : وسيطات الوضع و وسيطات التشتت الدوال العددية 2 : تمثيلات مبيانية و قراءة المعلم في المستوى للجذع المشترك الأدبي المستقيم في المستوى الجذع المشترك آداب وعلوم انسانية