Mathématiques · Tronc Commun — Enseignement originel

العمليات في مجموعة الأعداد الحقيقية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

L'ensemble des nombres réels, noté $\mathbb{R}$ , comprend les entiers, les décimaux, les rationnels et les irrationnels.

Opérations élémentaires : Addition, soustraction, multiplication et division (sauf par 0).
Priorités : Les parenthèses d'abord, puis les puissances, puis la multiplication/division, enfin l'addition/soustraction.
Identités remarquables :
- $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
- $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
- $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$
Puissances : $a^n \times a^m = a^{n+m}$ et $(a^n)^m = a^{n \times m}$ .

Méthodes à maîtriser

Simplifier des expressions fractionnaires en réduisant au même dénominateur.
Développer une expression en utilisant la distributivité.
Factoriser en identifiant un facteur commun ou une identité remarquable.
Calculer avec les puissances de 10.

Exemples corrigés

Développement : $A = 3(x + 2) = 3x + 6$ .
Factorisation : $B = x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ .
Fraction : $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de changer les signes lors de la suppression d'une parenthèse précédée d'un signe « - ».
Confondre $(a+b)^2$ avec $a^2 + b^2$ (il manque le terme $2ab$ ).
Diviser par zéro (impossible).

L'essentiel du cours

L'ensemble des nombres réels, noté $\mathbb{R}$, comprend les entiers, les décimaux, les rationnels et les irrationnels.

Opérations élémentaires : Addition, soustraction, multiplication et division (sauf par 0).
Priorités : Les parenthèses d'abord, puis les puissances, puis la multiplication/division, enfin l'addition/soustraction.
Identités remarquables :
- $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
- $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
- $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$
Puissances : $a^n \times a^m = a^{n+m}$ et $(a^n)^m = a^{n \times m}$.

Méthodes à maîtriser

Simplifier des expressions fractionnaires en réduisant au même dénominateur.
Développer une expression en utilisant la distributivité.
Factoriser en identifiant un facteur commun ou une identité remarquable.
Calculer avec les puissances de 10.

Exemples corrigés

Développement : $A = 3(x + 2) = 3x + 6$.
Factorisation : $B = x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.
Fraction : $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.

Erreurs fréquentes

Oublier de changer les signes lors de la suppression d'une parenthèse précédée d'un signe « - ».
Confondre $(a+b)^2$ avec $a^2 + b^2$ (il manque le terme $2ab$).
Diviser par zéro (impossible).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 العمليات في مجموعة الأعداد الحقيقية

1/4

Quel est le résultat de $5 - 2 \times 3$ ?

❓ Questions fréquentes

Chno hiya l'9a3ida dyal l'fakk dyal (a+b)^2 ?

La règle est $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .

Tu élèves le premier au carré.
Tu ajoutes le double produit (2 fois le premier fois le deuxième).
Tu ajoutes le deuxième au carré.

💡 À retenir : N'oublie jamais le $2ab$ !

La règle est $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Tu élèves le premier au carré.
Tu ajoutes le double produit (2 fois le premier fois le deuxième).
Tu ajoutes le deuxième au carré.

💡 À retenir : N'oublie jamais le $2ab$ !

Est-ce que a^n times b^n = (a times b)^n ?

Oui, c'est une règle fondamentale des puissances. Si les exposants sont les mêmes, tu peux multiplier les bases entre elles et garder l'exposant commun. Exemple : $2^3 \times 5^3 = (2 \times 5)^3 = 10^3 = 1000$ .

💡 À retenir : Les exposants identiques permettent de regrouper les bases.

Est-ce que sqrt{a+b} = sqrt{a} + sqrt{b} ?

Non, c'est une erreur très courante. Par exemple, si $a=9$ et $b=16$ :

$\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ .
$\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ . Comme $5 \neq 7$ , la formule est fausse.

💡 À retenir : La racine carrée ne se distribue pas sur l'addition.

Non, c'est une erreur très courante. Par exemple, si $a=9$ et $b=16$ :

$\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.
$\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$. Comme $5 \neq 7$, la formule est fausse.

💡 À retenir : La racine carrée ne se distribue pas sur l'addition.

Kifach n7seb l'm9loub dyal chi 3adad fih l'fasilat?

Pour calculer l'inverse d'un nombre $x$ non nul, tu fais simplement $1/x$ .

Si le nombre est $2,5$ , son inverse est $1 / 2,5$ .
Pour enlever la virgule, multiplie le haut et le bas par 10 : $10 / 25$ .
Simplifie par 5 : $2 / 5 = 0,4$ .

💡 À retenir : L'inverse de $x$ est $1/x$ et leur produit vaut toujours 1.

Pour calculer l'inverse d'un nombre $x$ non nul, tu fais simplement $1/x$.

Si le nombre est $2,5$, son inverse est $1 / 2,5$.
Pour enlever la virgule, multiplie le haut et le bas par 10 : $10 / 25$.
Simplifie par 5 : $2 / 5 = 0,4$.

💡 À retenir : L'inverse de $x$ est $1/x$ et leur produit vaut toujours 1.

Est-ce que l'ordre des opérations est important ?

Oui, absolument. En mathématiques, on suit la règle PEMDAS :

Parenthèses.
Exposants (puissances).
Multiplication et Division (de gauche à droite).
Addition et Soustraction (de gauche à droite). Si tu ne respectes pas cet ordre, ton résultat sera faux.

💡 À retenir : Toujours commencer par ce qui est entre parenthèses.

Chno hiya l'far9 bin l'mo9abil o l'ma9loub?

C'est simple :

L'opposé de $a$ est $-a$ (la somme donne 0).
L'inverse de $a$ est $1/a$ (le produit donne 1). Exemple pour 5 : l'opposé est $-5$ , l'inverse est $1/5$ .

💡 À retenir : Opposé = signe opposé ; Inverse = fraction inversée.

C'est simple :

L'opposé de $a$ est $-a$ (la somme donne 0).
L'inverse de $a$ est $1/a$ (le produit donne 1). Exemple pour 5 : l'opposé est $-5$, l'inverse est $1/5$.

💡 À retenir : Opposé = signe opposé ; Inverse = fraction inversée.

Comment simplifier une fraction avec des puissances ?

Utilise les règles des exposants :

Si les bases sont identiques, soustrais les exposants : $a^n / a^m = a^{n-m}$ .
Calcule d'abord le numérateur et le dénominateur séparément si les bases diffèrent.

💡 À retenir : $a^n / a^m = a^{n-m}$ est la règle d'or.

Utilise les règles des exposants :

Si les bases sont identiques, soustrais les exposants : $a^n / a^m = a^{n-m}$.
Calcule d'abord le numérateur et le dénominateur séparément si les bases diffèrent.

💡 À retenir : $a^n / a^m = a^{n-m}$ est la règle d'or.

Wach momkin n3ml factorisation ila ma kan hta 3amil mochtarak?

Si tu ne vois pas de facteur commun évident, cherche :

Une identité remarquable (comme $a^2 - b^2$ ).
Si tu peux transformer un terme pour faire apparaître un facteur commun. Si aucune de ces méthodes ne fonctionne, l'expression n'est peut-être pas factorisable simplement.

💡 À retenir : Cherche toujours le facteur commun en premier, puis les identités.

Si tu ne vois pas de facteur commun évident, cherche :

Une identité remarquable (comme $a^2 - b^2$).
Si tu peux transformer un terme pour faire apparaître un facteur commun. Si aucune de ces méthodes ne fonctionne, l'expression n'est peut-être pas factorisable simplement.

💡 À retenir : Cherche toujours le facteur commun en premier, puis les identités.

Pourquoi on ne peut pas diviser par zéro ?

La division est l'opération inverse de la multiplication. Si $a / 0 = x$ , alors $x \times 0 = a$ . Or, n'importe quel nombre multiplié par 0 donne 0. Donc, si $a$ n'est pas 0, c'est impossible. Si $a$ est 0, il y a une infinité de solutions, ce qui n'est pas permis en mathématiques.

💡 À retenir : La division par zéro est interdite.

La division est l'opération inverse de la multiplication. Si $a / 0 = x$, alors $x \times 0 = a$. Or, n'importe quel nombre multiplié par 0 donne 0. Donc, si $a$ n'est pas 0, c'est impossible. Si $a$ est 0, il y a une infinité de solutions, ce qui n'est pas permis en mathématiques.

💡 À retenir : La division par zéro est interdite.

Comment calculer (-3)^2 par rapport à -3^2 ?

C'est une confusion classique :

$(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$ (le signe moins est dans la parenthèse).
$-3^2 = -(3 \times 3) = -9$ (le carré s'applique seulement au 3).

💡 À retenir : Les parenthèses changent tout pour les nombres négatifs.

C'est une confusion classique :

$(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$ (le signe moins est dans la parenthèse).
$-3^2 = -(3 \times 3) = -9$ (le carré s'applique seulement au 3).

💡 À retenir : Les parenthèses changent tout pour les nombres négatifs.

Est-ce que la multiplication est prioritaire sur l'addition ?

Oui, toujours. Sauf s'il y a des parenthèses qui imposent de faire l'addition avant. Exemple : $2 + 3 \times 4 = 2 + 12 = 14$ . Si tu voulais faire l'addition d'abord, il faudrait écrire $(2+3) \times 4 = 5 \times 4 = 20$ .

💡 À retenir : Multiplication avant addition.

Oui, toujours. Sauf s'il y a des parenthèses qui imposent de faire l'addition avant. Exemple : $2 + 3 \times 4 = 2 + 12 = 14$. Si tu voulais faire l'addition d'abord, il faudrait écrire $(2+3) \times 4 = 5 \times 4 = 20$.

💡 À retenir : Multiplication avant addition.

Comment savoir si un nombre est irrationnel ?

Un nombre est irrationnel s'il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction $a/b$ .

Ses chiffres après la virgule ne s'arrêtent jamais et ne se répètent pas.
Exemples : $\sqrt{2}$ , $\pi$ .

💡 À retenir : $\sqrt{2}$ est le plus célèbre des irrationnels.

Un nombre est irrationnel s'il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction $a/b$.

Ses chiffres après la virgule ne s'arrêtent jamais et ne se répètent pas.
Exemples : $\sqrt{2}$, $\pi$.

💡 À retenir : $\sqrt{2}$ est le plus célèbre des irrationnels.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer et simplifier l'expression suivante : $A = \frac{2}{3} + \frac{5}{6} \times \frac{2}{5}$ .

Exercice 1

Calculer et simplifier l'expression suivante : $A = \frac{2}{3} + \frac{5}{6} \times \frac{2}{5}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Développer et simplifier l'expression : $B = (2x + 3)^2 - (2x - 3)(2x + 3)$ .

Exercice 2

Développer et simplifier l'expression : $B = (2x + 3)^2 - (2x - 3)(2x + 3)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Factoriser l'expression suivante : $C = x^2 - 4 + (x - 2)(x + 5)$ .

Exercice 3

Factoriser l'expression suivante : $C = x^2 - 4 + (x - 2)(x + 5)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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