Sciences de l'ingénieur · 2ème Année Bac — Sciences et Technologies Mécaniques

Asservissement et régulation

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

L'asservissement consiste à maintenir une grandeur de sortie $y(t)$ égale à une consigne $r(t)$ malgré les perturbations.

1. La Transformée de Laplace ( $\mathcal{L}$ ) Elle permet de passer du domaine temporel au domaine fréquentiel (variable complexe $p$ ).

$\mathcal{L}\{1\} = \frac{1}{p}$ (Échelon unité)
$\mathcal{L}\{\frac{dt}{dt}\} = p \cdot Y(p)$ (Dérivée)
$\mathcal{L}\{\int y(t) dt\} = \frac{Y(p)}{p}$ (Intégrale)

2. Fonction de Transfert (FT) La FT d'un système est le rapport entre la sortie et l'entrée, transformés en Laplace : $H(p) = \frac{Y(p)}{E(p)}$

3. Schéma-bloc et Boucle Fermée Pour un système en boucle fermée avec une FT en chaîne directe $G(p)$ et une rétroaction $H(p)$ : $H_{BF}(p) = \frac{G(p)}{1 + G(p)H(p)}$ Si la rétroaction est unitaire ( $H(p) = 1$ ), alors : $H_{BF}(p) = \frac{G(p)}{1 + G(p)}$ .

4. Stabilité Un système est stable si toutes les racines du dénominateur de $H_{BF}(p)$ (appelées pôles) ont une partie réelle strictement négative ( $\text{Re}(p) < 0$ ).

5. Erreur de position ( $e_{ss}$ ) Pour une entrée échelon $E(p) = \frac{1}{p}$ , l'erreur statique est : $e_{ss} = \lim_{t \to \infty} (r(t) - y(t)) = \lim_{p \to 0} p \cdot \frac{1}{1 + G(p)}$

6. Le Correcteur PID Il sert à modifier la réponse du système : $C(p) = K_p + \frac{K_i}{p} + K_d p$

Proportionnel ( $K_p$ ) : Améliore la rapidité mais peut créer de l'instabilité.
Intégral ( $K_i$ ) : Annule l'erreur statique (précision).
Dérivé ( $K_d$ ) : Améliore la stabilité et réduit les dépassements.

Méthodes à maîtriser

Réduction de schéma-bloc : Utiliser les règles de série (produit) et parallèle (somme).
Calcul de la FT en boucle fermée : Identifier $G(p)$ et $H(p)$ , puis appliquer la formule de la boucle fermée.
Étude de stabilité : Calculer le dénominateur de $H_{BF}(p)$ , trouver ses racines, et vérifier le signe de leur partie réelle.
Calcul de l'erreur : Utiliser le théorème de la valeur finale : $\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{p \to 0} p \cdot F(p)$ .

Exemples corrigés

Exemple : Soit un système $G(p) = \frac{10}{p+2}$ en boucle fermée avec retour unitaire. Calculer $H_{BF}(p)$ . Correction :

On applique la formule : $H_{BF}(p) = \frac{G(p)}{1 + G(p)}$ .
Substitution : $H_{BF}(p) = \frac{\frac{10}{p+2}}{1 + \frac{10}{p+2}}$ .
Mise au même dénominateur au numérateur et dénominateur : $H_{BF}(p) = \frac{10}{(p+2) + 10} = \frac{10}{p+12}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le signe $+$ dans le dénominateur : La formule est $1 + G(p)H(p)$ , pas $1 - G(p)H(p)$ (sauf cas de rétroaction négative spécifique, mais en STM on utilise presque toujours le retour négatif).
Confondre $E(p)$ et $Y(p)$ : $E(p)$ est l'entrée (consigne), $Y(p)$ est la sortie.
Erreur de signe sur les pôles : Un pôle $p = -2$ est stable, un pôle $p = +2$ est instable.

L'essentiel du cours

L'asservissement consiste à maintenir une grandeur de sortie $y(t)$ égale à une consigne $r(t)$ malgré les perturbations.

1. La Transformée de Laplace ($\mathcal{L}$) Elle permet de passer du domaine temporel au domaine fréquentiel (variable complexe $p$).

$\mathcal{L}{1} = \frac{1}{p}$ (Échelon unité)
$\mathcal{L}{\frac{dt}{dt}} = p \cdot Y(p)$ (Dérivée)
$\mathcal{L}{\int y(t) dt} = \frac{Y(p)}{p}$ (Intégrale)

2. Fonction de Transfert (FT) La FT d'un système est le rapport entre la sortie et l'entrée, transformés en Laplace : $$H(p) = \frac{Y(p)}{E(p)}$$

3. Schéma-bloc et Boucle Fermée Pour un système en boucle fermée avec une FT en chaîne directe $G(p)$ et une rétroaction $H(p)$ : $$H_{BF}(p) = \frac{G(p)}{1 + G(p)H(p)}$$ Si la rétroaction est unitaire ($H(p) = 1$), alors : $H_{BF}(p) = \frac{G(p)}{1 + G(p)}$.

4. Stabilité Un système est stable si toutes les racines du dénominateur de $H_{BF}(p)$ (appelées pôles) ont une partie réelle strictement négative ($\text{Re}(p) < 0$).

5. Erreur de position ($e_{ss}$) Pour une entrée échelon $E(p) = \frac{1}{p}$, l'erreur statique est : $$e_{ss} = \lim_{t \to \infty} (r(t) - y(t)) = \lim_{p \to 0} p \cdot \frac{1}{1 + G(p)}$$

6. Le Correcteur PID Il sert à modifier la réponse du système : $$C(p) = K_p + \frac{K_i}{p} + K_d p$$

Proportionnel ($K_p$) : Améliore la rapidité mais peut créer de l'instabilité.
Intégral ($K_i$) : Annule l'erreur statique (précision).
Dérivé ($K_d$) : Améliore la stabilité et réduit les dépassements.

Méthodes à maîtriser

Réduction de schéma-bloc : Utiliser les règles de série (produit) et parallèle (somme).
Calcul de la FT en boucle fermée : Identifier $G(p)$ et $H(p)$, puis appliquer la formule de la boucle fermée.
Étude de stabilité : Calculer le dénominateur de $H_{BF}(p)$, trouver ses racines, et vérifier le signe de leur partie réelle.
Calcul de l'erreur : Utiliser le théorème de la valeur finale : $\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{p \to 0} p \cdot F(p)$.

Exemples corrigés

Exemple : Soit un système $G(p) = \frac{10}{p+2}$ en boucle fermée avec retour unitaire. Calculer $H_{BF}(p)$. Correction :

On applique la formule : $H_{BF}(p) = \frac{G(p)}{1 + G(p)}$.
Substitution : $H_{BF}(p) = \frac{\frac{10}{p+2}}{1 + \frac{10}{p+2}}$.
Mise au même dénominateur au numérateur et dénominateur : $H_{BF}(p) = \frac{10}{(p+2) + 10} = \frac{10}{p+12}$.

Erreurs fréquentes

Oublier le signe $+$ dans le dénominateur : La formule est $1 + G(p)H(p)$, pas $1 - G(p)H(p)$ (sauf cas de rétroaction négative spécifique, mais en STM on utilise presque toujours le retour négatif).
Confondre $E(p)$ et $Y(p)$ : $E(p)$ est l'entrée (consigne), $Y(p)$ est la sortie.
Erreur de signe sur les pôles : Un pôle $p = -2$ est stable, un pôle $p = +2$ est instable.

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🎯 Asservissement et régulation

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Quelle est la transformée de Laplace de la fonction échelon unité $u(t)$ ?

❓ Questions fréquentes

Pourquoi utilise-t-on la transformée de Laplace ?

Elle transforme les équations différentielles (difficiles à résoudre) en équations algébriques simples (faciles à résoudre avec des additions et multiplications).

💡 À retenir : Laplace = Simplification mathématique.

Comment calculer l'erreur de position pour un échelon ?

On utilise la formule de l'erreur statique : $e_{ss} = \lim_{p \to 0} p \cdot E(p) \cdot \frac{1}{1+G(p)}$ .
Pour un échelon $E(p) = 1/p$ , cela devient : $e_{ss} = \lim_{p \to 0} \frac{1}{1+G(p)}$ .

💡 À retenir : Si $G(0) \to \infty$ , alors l'erreur est nulle.

On utilise la formule de l'erreur statique : $e_{ss} = \lim_{p \to 0} p \cdot E(p) \cdot \frac{1}{1+G(p)}$.
Pour un échelon $E(p) = 1/p$, cela devient : $e_{ss} = \lim_{p \to 0} \frac{1}{1+G(p)}$.

💡 À retenir : Si $G(0) \to \infty$, alors l'erreur est nulle.

Que se passe-t-il si on augmente trop le gain proportionnel Kp ?

La rapidité du système augmente.
Cependant, un gain trop élevé réduit la marge de stabilité.
Cela provoque souvent des dépassements importants (oscillations) ou rend le système instable.

💡 À retenir : Plus de $K_p$ = plus de rapidité, mais moins de stabilité.

La rapidité du système augmente.
Cependant, un gain trop élevé réduit la marge de stabilité.
Cela provoque souvent des dépassements importants (oscillations) ou rend le système instable.

💡 À retenir : Plus de $K_p$ = plus de rapidité, mais moins de stabilité.

C'est quoi un "pôle" d'un système ?

Les pôles sont les valeurs de $p$ qui annulent le dénominateur de la fonction de transfert $H(p)$ . Ils déterminent la nature de la réponse (exponentielle, oscillatoire, etc.) et la stabilité.

💡 À retenir : Dénominateur = 0 $\implies$ Pôles.

Les pôles sont les valeurs de $p$ qui annulent le dénominateur de la fonction de transfert $H(p)$. Ils déterminent la nature de la réponse (exponentielle, oscillatoire, etc.) et la stabilité.

💡 À retenir : Dénominateur = 0 $\implies$ Pôles.

Quel est l'effet du terme dérivé Kd p ?

Il réagit à la vitesse de variation de l'erreur.
Il agit comme un "amortisseur".
Il permet de réduire les dépassements et d'améliorer la stabilité du système.

💡 À retenir : Dérivé $\rightarrow$ Amortissement et stabilité.

Il réagit à la vitesse de variation de l'erreur.
Il agit comme un "amortisseur".
Il permet de réduire les dépassements et d'améliorer la stabilité du système.

💡 À retenir : Dérivé $\rightarrow$ Amortissement et stabilité.

Chno lfarq bin asservissement et régulation ?

La régulation consiste à maintenir une grandeur (ex: température) constante malgré des perturbations extérieures.
L'asservissement est plus large : on veut que la sortie suive une consigne qui peut varier dans le temps (ex: position d'un bras robotique).

💡 À retenir : La régulation est un cas particulier de l'asservissement où la consigne est constante.

Kifach n3ref wach l'système stable ?

Calcule la fonction de transfert en boucle fermée $H_{BF}(p)$ .
Identifie le dénominateur de $H_{BF}(p)$ .
Trouve les racines de ce dénominateur (les pôles).
Si la partie réelle de tous les pôles est négative ( $\text{Re}(p) < 0$ ), le système est stable.

💡 À retenir : Pôles à gauche du plan complexe = Stabilité.

Calcule la fonction de transfert en boucle fermée $H_{BF}(p)$.
Identifie le dénominateur de $H_{BF}(p)$.
Trouve les racines de ce dénominateur (les pôles).
Si la partie réelle de tous les pôles est négative ($\text{Re}(p) < 0$), le système est stable.

💡 À retenir : Pôles à gauche du plan complexe = Stabilité.

Chno hiya l'fonction de transfert ?

C'est le rapport mathématique entre la sortie et l'entrée du système, exprimé en utilisant la variable de Laplace $p$ . Elle permet de modéliser le comportement dynamique du système sans résoudre d'équations différentielles compliquées. $H(p) = \frac{\text{Sortie}(p)}{\text{Entrée}(p)}$

💡 À retenir : Elle décrit comment le système transforme l'entrée en sortie.

C'est le rapport mathématique entre la sortie et l'entrée du système, exprimé en utilisant la variable de Laplace $p$. Elle permet de modéliser le comportement dynamique du système sans résoudre d'équations différentielles compliquées. $$H(p) = \frac{\text{Sortie}(p)}{\text{Entrée}(p)}$$

💡 À retenir : Elle décrit comment le système transforme l'entrée en sortie.

À quoi sert le terme intégral Ki/p dans un correcteur PID ?

Le terme intégral accumule l'erreur au cours du temps.
Son rôle principal est d'annuler l'erreur statique (erreur de position).
Il permet d'atteindre exactement la valeur de consigne en régime permanent.

💡 À retenir : Intégral $\rightarrow$ Précision (erreur nulle).

Le terme intégral accumule l'erreur au cours du temps.
Son rôle principal est d'annuler l'erreur statique (erreur de position).
Il permet d'atteindre exactement la valeur de consigne en régime permanent.

💡 À retenir : Intégral $\rightarrow$ Précision (erreur nulle).

Quelle est la différence entre boucle ouverte et boucle fermée ?

Boucle ouverte : La commande est envoyée sans vérifier si la sortie a atteint la consigne.
Boucle fermée : On mesure la sortie et on la compare à la consigne pour corriger l'erreur.

💡 À retenir : La boucle fermée est plus précise et plus robuste aux perturbations.

Si un système a un pôle p = 0, est-il stable ?

Non, il est considéré comme "marginalement stable" (ou instable selon le contexte). Un pôle à $p=0$ signifie que la sortie peut croître indéfiniment (comme une intégration) pour une entrée constante.

💡 À retenir : Pour la stabilité, il faut $\text{Re}(p) < 0$ strictement.

Comment interpréter H(p) quand p to infty ?

Cela correspond au comportement du système pour des variations très rapides (hautes fréquences). Cela permet de voir si le système est capable de suivre des signaux très brusques.

💡 À retenir : $p \to \infty$ correspond aux hautes fréquences.

Cela correspond au comportement du système pour des variations très rapides (hautes fréquences). Cela permet de voir si le système est capable de suivre des signaux très brusques.

💡 À retenir : $p \to \infty$ correspond aux hautes fréquences.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 : Réduction de schéma-bloc (Niveau Facile) Soit un système composé de deux blocs en série : $G_1(p) = \frac{2}{p+1}$ et $G_2(p) = \frac{5}{p+3}$ .

Déterminer la fonction de transfert globale $G(p)$ du système.
Si ce système est placé en boucle fermée avec un retour unitaire, calculer $H_{BF}(p)$ .

Exercice 2 : Stabilité et Erreur (Niveau Moyen) Soit un système dont la fonction de transfert en boucle ouverte est $G(p) = \frac{10}{p(p+2)}$ . Le système est en boucle fermée avec un retour unitaire.

Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée $H_{BF}(p)$ .
Étudier la stabilité du système en calculant ses pôles.
Calculer l'erreur de position $e_{ss}$ pour une consigne en échelon unité.

Exercice 3 : Correcteur PID (Niveau Difficile) Un système est décrit par $G(p) = \frac{1}{p+1}$ . On souhaite utiliser un correcteur proportionnel $C(p) = K_p$ pour améliorer la rapidité.

Calculer $H_{BF}(p)$ en fonction de $K_p$ .
Calculer l'erreur de position $e_{ss}$ en fonction de $K_p$ .
On décide finalement d'ajouter un terme intégral pour annuler l'erreur. On utilise un correcteur $C(p) = K_p(1 + \frac{1}{T_i p})$ . Quelle est la nouvelle fonction de transfert en boucle fermée $H_{BF}(p)$ ?
Montrer que l'erreur de position est nulle avec ce correcteur.

Exercice 1

Exercice 1 : Réduction de schéma-bloc (Niveau Facile) Soit un système composé de deux blocs en série : $G_1(p) = \frac{2}{p+1}$ et $G_2(p) = \frac{5}{p+3}$.

Déterminer la fonction de transfert globale $G(p)$ du système.
Si ce système est placé en boucle fermée avec un retour unitaire, calculer $H_{BF}(p)$.

Exercice 2 : Stabilité et Erreur (Niveau Moyen) Soit un système dont la fonction de transfert en boucle ouverte est $G(p) = \frac{10}{p(p+2)}$. Le système est en boucle fermée avec un retour unitaire.

Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée $H_{BF}(p)$.
Étudier la stabilité du système en calculant ses pôles.
Calculer l'erreur de position $e_{ss}$ pour une consigne en échelon unité.

Exercice 3 : Correcteur PID (Niveau Difficile) Un système est décrit par $G(p) = \frac{1}{p+1}$. On souhaite utiliser un correcteur proportionnel $C(p) = K_p$ pour améliorer la rapidité.

Calculer $H_{BF}(p)$ en fonction de $K_p$.
Calculer l'erreur de position $e_{ss}$ en fonction de $K_p$.
On décide finalement d'ajouter un terme intégral pour annuler l'erreur. On utilise un correcteur $C(p) = K_p(1 + \frac{1}{T_i p})$. Quelle est la nouvelle fonction de transfert en boucle fermée $H_{BF}(p)$ ?
Montrer que l'erreur de position est nulle avec ce correcteur.

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