Mathématiques · Agronomie, vétérinaire & architecture — IAV Hassan II

Calcul intégral : Primitives et intégrales

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Primitive : Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x) = f(x)$ . Si $F$ est une primitive, alors toute autre primitive est de la forme $F(x) + c$ ( $c \in \mathbb{R}$ ).
Intégrale : Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$ et $F$ une primitive de $f$ . On a : $\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$ .
Linéarité : $\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx$ .
Chasles : $\int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx = \int_a^c f(x) dx$ .

Méthodes à maîtriser

Recherche de primitives : Utiliser le tableau des primitives usuelles (puissances, exponentielle, ln, trigonométrie).
Intégration par parties : $\int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx$ . Choisir $u$ selon la règle "LIATE" (Log, Inverse, Algébrique, Trigo, Expo).
Changement de variable : Poser $t = \phi(x)$ , donc $dt = \phi'(x)dx$ . Ne pas oublier de changer les bornes.

Exemples corrigés

$\int_0^1 x e^x dx$ : Par parties, $u=x, v'=e^x \Rightarrow u'=1, v=e^x$ . Résultat : $[xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - (e-1) = 1$ .
$\int_1^e \frac{\ln x}{x} dx$ : Poser $t = \ln x$ , $dt = \frac{1}{x} dx$ . Bornes : $1 \to 0, e \to 1$ . $\int_0^1 t dt = [\frac{t^2}{2}]_0^1 = \frac{1}{2}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $c$ lors de la recherche d'une primitive générale.
Inverser les bornes lors d'un changement de variable.
Confondre $\int f(x)g(x) dx$ avec $\int f(x) dx \times \int g(x) dx$ (ce qui est faux).

L'essentiel du cours

Primitive : Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x) = f(x)$. Si $F$ est une primitive, alors toute autre primitive est de la forme $F(x) + c$ ($c \in \mathbb{R}$).
Intégrale : Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$ et $F$ une primitive de $f$. On a : $\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$.
Linéarité : $\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx$.
Chasles : $\int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx = \int_a^c f(x) dx$.

Méthodes à maîtriser

Recherche de primitives : Utiliser le tableau des primitives usuelles (puissances, exponentielle, ln, trigonométrie).
Intégration par parties : $\int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx$. Choisir $u$ selon la règle "LIATE" (Log, Inverse, Algébrique, Trigo, Expo).
Changement de variable : Poser $t = \phi(x)$, donc $dt = \phi'(x)dx$. Ne pas oublier de changer les bornes.

Exemples corrigés

$\int_0^1 x e^x dx$ : Par parties, $u=x, v'=e^x \Rightarrow u'=1, v=e^x$. Résultat : $[xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - (e-1) = 1$.
$\int_1^e \frac{\ln x}{x} dx$ : Poser $t = \ln x$, $dt = \frac{1}{x} dx$. Bornes : $1 \to 0, e \to 1$. $\int_0^1 t dt = [\frac{t^2}{2}]_0^1 = \frac{1}{2}$.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $c$ lors de la recherche d'une primitive générale.
Inverser les bornes lors d'un changement de variable.
Confondre $\int f(x)g(x) dx$ avec $\int f(x) dx \times \int g(x) dx$ (ce qui est faux).

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🎯 Calcul intégral : Primitives et intégrales

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La primitive de $f(x) = 3x^2 + 2$ est :

❓ Questions fréquentes

1. C'est quoi la différence entre une primitive et une intégrale ?

Une primitive est une fonction $F(x)$ telle que $F'(x)=f(x)$ . Une intégrale est un nombre réel qui représente une aire algébrique.

💡 À retenir : La primitive est un outil pour calculer l'intégrale.

Une primitive est une fonction $F(x)$ telle que $F'(x)=f(x)$. Une intégrale est un nombre réel qui représente une aire algébrique.

💡 À retenir : La primitive est un outil pour calculer l'intégrale.

2. Kifach n3ref chkon li nakhod u(x) f l-intégration par parties ?

Utilise l'ordre LIATE : Logarithme, Inverse, Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle. Le premier élément rencontré dans cet ordre est ton $u(x)$ .

💡 À retenir : $u(x)$ est la fonction qu'on dérive, $v'(x)$ celle qu'on intègre.

Utilise l'ordre LIATE : Logarithme, Inverse, Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle. Le premier élément rencontré dans cet ordre est ton $u(x)$.

💡 À retenir : $u(x)$ est la fonction qu'on dérive, $v'(x)$ celle qu'on intègre.

3. Est-ce que l'intégrale d'une fonction positive est toujours positive ?

Oui, si $f(x) \geq 0$ sur $[a, b]$ avec $a < b$ , alors $\int_a^b f(x) dx \geq 0$ .

💡 À retenir : L'intégrale conserve l'ordre de la fonction.

Oui, si $f(x) \geq 0$ sur $[a, b]$ avec $a < b$, alors $\int_a^b f(x) dx \geq 0$.

💡 À retenir : L'intégrale conserve l'ordre de la fonction.

4. Chno hiya l-khasiya dyal Chasles o imta nst3mlouha ?

C'est $\int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx$ . On l'utilise quand on veut couper l'intervalle en deux ou quand la fonction change de définition.

💡 À retenir : Chasles permet de "casser" l'intégrale en points stratégiques.

C'est $\int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx$. On l'utilise quand on veut couper l'intervalle en deux ou quand la fonction change de définition.

💡 À retenir : Chasles permet de "casser" l'intégrale en points stratégiques.

5. Comment calculer l'aire d'un domaine délimité par deux courbes ?

L'aire est donnée par $\int_a^b |f(x) - g(x)| dx$ . Il faut étudier le signe de $f(x) - g(x)$ sur $[a, b]$ .

💡 À retenir : L'aire est toujours positive, donc on prend la valeur absolue.

L'aire est donnée par $\int_a^b |f(x) - g(x)| dx$. Il faut étudier le signe de $f(x) - g(x)$ sur $[a, b]$.

💡 À retenir : L'aire est toujours positive, donc on prend la valeur absolue.

6. Kifach n3ref ila khassni ndir changement de variable ?

Quand tu vois une fonction composée $f(g(x))$ multipliée par la dérivée $g'(x)$ .

💡 À retenir : Si tu vois la dérivée de ce qui est "à l'intérieur", pense au changement de variable.

Quand tu vois une fonction composée $f(g(x))$ multipliée par la dérivée $g'(x)$.

💡 À retenir : Si tu vois la dérivée de ce qui est "à l'intérieur", pense au changement de variable.

7. Est-ce que inta^b f(x)^2 dx = (inta^b f(x) dx)^2 ?

Non, c'est une erreur classique. L'intégrale d'un carré n'est pas le carré de l'intégrale.

💡 À retenir : L'intégrale n'est pas multiplicative.

8. Pourquoi on ajoute "+ c" à la fin d'une primitive ?

Parce que la dérivée d'une constante est nulle. Il existe une infinité de primitives qui diffèrent par une constante.

💡 À retenir : Ne jamais oublier le "+ c" sauf si on cherche une primitive particulière.

9. Chno hiya l-qima l-moutawassita dyal dala ?

C'est le nombre $\mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$ . Elle représente la valeur moyenne de la fonction sur l'intervalle.

💡 À retenir : C'est une moyenne pondérée sur l'intervalle $[a, b]$ .

C'est le nombre $\mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$. Elle représente la valeur moyenne de la fonction sur l'intervalle.

💡 À retenir : C'est une moyenne pondérée sur l'intervalle $[a, b]$.

10. Est-ce que l'intégrale peut être négative ?

Oui, si la fonction est négative sur l'intervalle, l'intégrale sera négative.

💡 À retenir : L'intégrale est une aire algébrique (peut être négative).

11. Comment calculer inta^b frac{1}{x} dx ?

C'est $[\ln|x|]_a^b = \ln|b| - \ln|a|$ .

💡 À retenir : La valeur absolue est obligatoire si l'intervalle contient des nombres négatifs.

C'est $[\ln|x|]_a^b = \ln|b| - \ln|a|$.

💡 À retenir : La valeur absolue est obligatoire si l'intervalle contient des nombres négatifs.

12. Est-ce que le programme 2025-2026 inclut les intégrales impropres ?

Non, le programme officiel se limite aux intégrales de fonctions continues sur un intervalle fermé borné $[a, b]$ .

💡 À retenir : On reste sur des bornes finies.

Non, le programme officiel se limite aux intégrales de fonctions continues sur un intervalle fermé borné $[a, b]$.

💡 À retenir : On reste sur des bornes finies.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x+1)e^x$ .

Calculer $I = \int_0^1 (2x+1)e^x dx$ en utilisant l'intégration par parties.
En déduire la valeur de l'intégrale $J = \int_0^1 x e^x dx$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x+1)e^x$.

Calculer $I = \int_0^1 (2x+1)e^x dx$ en utilisant l'intégration par parties.
En déduire la valeur de l'intégrale $J = \int_0^1 x e^x dx$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{1}{x^2+x}$ .

Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $f(x) = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1}$ .
Calculer $K = \int_1^2 f(x) dx$ .

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{1}{x^2+x}$.

Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $f(x) = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1}$.
Calculer $K = \int_1^2 f(x) dx$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Calculer $L = \int_0^{\pi/2} \sin^3(x) dx$ . (Indication : $\sin^3(x) = \sin(x)(1-\cos^2(x))$ ).

Exercice 3

Calculer $L = \int_0^{\pi/2} \sin^3(x) dx$. (Indication : $\sin^3(x) = \sin(x)(1-\cos^2(x))$).

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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