Mathématiques · Agronomie, vétérinaire & architecture — IAV Hassan II

Développements limités

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soit $f$ une fonction définie au voisinage de $0$ . On dit que $f$ admet un développement limité (DL) d'ordre $n$ en $0$ s'il existe un polynôme $P(x) = a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n$ tel que : $f(x) = P(x) + x^n \epsilon(x)$ avec $\lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0$ . On écrit souvent : $f(x) = a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n + o(x^n)$ .

Méthodes à maîtriser

DL usuels : Apprendre par cœur les DL de $e^x, \sin(x), \cos(x), \ln(1+x), (1+x)^\alpha$ .
Somme et produit : Tronquer les résultats à l'ordre $n$ demandé.
Composition : Si $f(x) = g(u(x))$ , calculer le DL de $u(x)$ puis substituer dans le DL de $g$ .
Division : Utiliser la division suivant les puissances croissantes.

Exemples corrigés

Exemple : DL de $e^x \sin(x)$ à l'ordre 3 en 0. $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$ $\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$ Produit : $(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6})(x - \frac{x^3}{6}) = x + x^2 + (\frac{1}{2} - \frac{1}{6})x^3 + o(x^3) = x + x^2 + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3)$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le $o(x^n)$ à la fin.
Ne pas mettre les parenthèses lors des substitutions.
Confondre l'ordre du DL avec le degré du polynôme.
Négliger les termes de degré supérieur à $n$ lors d'un produit.

L'essentiel du cours

Soit $f$ une fonction définie au voisinage de $0$. On dit que $f$ admet un développement limité (DL) d'ordre $n$ en $0$ s'il existe un polynôme $P(x) = a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n$ tel que : $f(x) = P(x) + x^n \epsilon(x)$ avec $\lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0$. On écrit souvent : $f(x) = a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n + o(x^n)$.

Méthodes à maîtriser

DL usuels : Apprendre par cœur les DL de $e^x, \sin(x), \cos(x), \ln(1+x), (1+x)^\alpha$.
Somme et produit : Tronquer les résultats à l'ordre $n$ demandé.
Composition : Si $f(x) = g(u(x))$, calculer le DL de $u(x)$ puis substituer dans le DL de $g$.
Division : Utiliser la division suivant les puissances croissantes.

Exemples corrigés

Erreurs fréquentes

Oublier le $o(x^n)$ à la fin.
Ne pas mettre les parenthèses lors des substitutions.
Confondre l'ordre du DL avec le degré du polynôme.
Négliger les termes de degré supérieur à $n$ lors d'un produit.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Développements limités

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Quel est le DL de $\sin(x)$ à l'ordre 3 en 0 ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce qu'on peut faire un DL en n'importe quel point ?

Oui, mais au programme, on se limite principalement au voisinage de $0$ . Pour un DL en $a$ , on pose $h = x - a$ et on étudie le DL en $h=0$ .

💡 À retenir : Le changement de variable $x = a + h$ ramène toujours le problème au voisinage de 0.

Oui, mais au programme, on se limite principalement au voisinage de $0$. Pour un DL en $a$, on pose $h = x - a$ et on étudie le DL en $h=0$.

💡 À retenir : Le changement de variable $x = a + h$ ramène toujours le problème au voisinage de 0.

Kifach n3ref chhal dyal l'ordre khasni nkhdem bih f l'exercice ?

L'ordre est généralement imposé par l'énoncé. Si tu dois calculer une limite, regarde la puissance la plus basse qui ne s'annule pas au dénominateur.

💡 À retenir : Choisis l'ordre qui permet de lever l'indétermination sans calcul inutile.

Est-ce que le DL est unique ?

Oui, le polynôme de Taylor est unique pour une fonction donnée au voisinage d'un point.

💡 À retenir : Si tu trouves deux DL différents pour la même fonction, il y a une erreur de calcul.

Wach l'ordre dyal DL kaytbedel ila dert l'intégration ?

Oui, si tu intègres un DL d'ordre $n$ , tu obtiens un DL d'ordre $n+1$ (car la constante d'intégration apparaît).

💡 À retenir : L'intégration augmente l'ordre, la dérivation le diminue.

Oui, si tu intègres un DL d'ordre $n$, tu obtiens un DL d'ordre $n+1$ (car la constante d'intégration apparaît).

💡 À retenir : L'intégration augmente l'ordre, la dérivation le diminue.

Comment gérer le o(x^n) dans les calculs ?

Considère $o(x^n)$ comme un terme négligeable. Par exemple, $x \cdot o(x^n) = o(x^{n+1})$ .

💡 À retenir : Ne garde jamais de termes de degré supérieur à $n$ dans ton résultat final.

Considère $o(x^n)$ comme un terme négligeable. Par exemple, $x \cdot o(x^n) = o(x^{n+1})$.

💡 À retenir : Ne garde jamais de termes de degré supérieur à $n$ dans ton résultat final.

Chno hiya l'utilité dyal DL f l'architecture aw l'agronomie ?

En architecture, pour les calculs de structures complexes ou en agronomie pour modéliser la croissance, le DL permet de simplifier des fonctions compliquées en polynômes faciles à manipuler.

💡 À retenir : Le DL est un outil d'approximation locale très puissant.

Est-ce que toutes les fonctions admettent un DL ?

Non, une fonction doit être dérivable $n$ fois au point considéré pour admettre un DL d'ordre $n$ .

💡 À retenir : La régularité de la fonction est une condition nécessaire.

Non, une fonction doit être dérivable $n$ fois au point considéré pour admettre un DL d'ordre $n$.

💡 À retenir : La régularité de la fonction est une condition nécessaire.

Kifach nkhdem DL dyal frac{1}{1-x} ?

C'est une série géométrique : $1 + x + x^2 + \dots + x^n + o(x^n)$ .

💡 À retenir : C'est le DL le plus utile pour les divisions.

C'est une série géométrique : $1 + x + x^2 + \dots + x^n + o(x^n)$.

💡 À retenir : C'est le DL le plus utile pour les divisions.

Si j'ai f(x) = ln(1+x), quel est le DL à l'ordre 2 ?

$f(x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$ .

💡 À retenir : Attention au signe alterné dans le DL du logarithme.

$f(x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$.

💡 À retenir : Attention au signe alterné dans le DL du logarithme.

Pourquoi on utilise souvent o(x^n) et pas O(x^n) ?

Le programme marocain utilise la notation de Landau $o(x^n)$ pour signifier que le reste est négligeable devant $x^n$ .

💡 À retenir : $o(x^n)$ est plus précis pour les limites.

Le programme marocain utilise la notation de Landau $o(x^n)$ pour signifier que le reste est négligeable devant $x^n$.

💡 À retenir : $o(x^n)$ est plus précis pour les limites.

Est-ce que je peux utiliser le DL pour calculer une limite en l'infini ?

Oui, en posant $X = 1/x$ , quand $x \to \infty$ , $X \to 0$ .

💡 À retenir : Le changement de variable est la clé.

Oui, en posant $X = 1/x$, quand $x \to \infty$, $X \to 0$.

💡 À retenir : Le changement de variable est la clé.

Est-ce que le DL remplace la règle de L'Hôpital ?

Le DL est souvent plus efficace et moins risqué que L'Hôpital, surtout quand il y a plusieurs termes.

💡 À retenir : Maîtrise le DL, c'est l'arme fatale des concours.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Donner le développement limité de $f(x) = \frac{\ln(1+x)}{1+x}$ à l'ordre 3 au voisinage de 0.

Exercice 1

Donner le développement limité de $f(x) = \frac{\ln(1+x)}{1+x}$ à l'ordre 3 au voisinage de 0.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$ .

Exercice 2

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Déterminer le DL à l'ordre 2 en 0 de $f(x) = \sqrt{1+x}$ .

Exercice 3

Déterminer le DL à l'ordre 2 en 0 de $f(x) = \sqrt{1+x}$.

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