Mathématiques · Agronomie, vétérinaire & architecture — IAV Hassan II

Équations différentielles

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction $y$ dérivable, faisant intervenir ses dérivées.
Équation $y' = ay + b$ : Les solutions sont de la forme $y(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$ (si $a \neq 0$ ).
Équation $y'' + ay' + by = 0$ : On utilise l'équation caractéristique $r^2 + ar + b = 0$ $r^{2} + a r + b = 0$ .
- Si $\Delta > 0$ : $y(x) = \alpha e^{r_1 x} + \beta e^{r_2 x}$ .
- Si $\Delta = 0$ : $y(x) = (\alpha x + \beta) e^{rx}$ .
- Si $\Delta < 0$ : $y(x) = e^{px}(\alpha \cos(qx) + \beta \sin(qx))$ avec $r = p \pm iq$ .

Méthodes à maîtriser

Identifier l'ordre de l'équation et ses coefficients.
Savoir résoudre l'équation caractéristique pour le second ordre.
Déterminer la constante $C$ (ou $\alpha, \beta$ ) à l'aide des conditions initiales $y(x_0) = y_0$ .

Exemples corrigés

Résoudre $y' - 3y = 0$ : La solution est $y(x) = C e^{3x}$ .
Résoudre $y'' + y = 0$ : Équation caractéristique $r^2 + 1 = 0 \implies r = \pm i$ . Solution : $y(x) = \alpha \cos(x) + \beta \sin(x)$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ dans la solution générale.
Se tromper de signe dans l'équation caractéristique.
Confondre la solution de $y' = ay$ avec celle de $y' = ay + b$ .

L'essentiel du cours

Définition : Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction $y$ dérivable, faisant intervenir ses dérivées.
Équation $y' = ay + b$ : Les solutions sont de la forme $y(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$ (si $a \neq 0$).
Équation $y'' + ay' + by = 0$ : On utilise l'équation caractéristique $r^2 + ar + b = 0$.
- Si $\Delta > 0$ : $y(x) = \alpha e^{r_1 x} + \beta e^{r_2 x}$.
- Si $\Delta = 0$ : $y(x) = (\alpha x + \beta) e^{rx}$.
- Si $\Delta < 0$ : $y(x) = e^{px}(\alpha \cos(qx) + \beta \sin(qx))$ avec $r = p \pm iq$.

Méthodes à maîtriser

Identifier l'ordre de l'équation et ses coefficients.
Savoir résoudre l'équation caractéristique pour le second ordre.
Déterminer la constante $C$ (ou $\alpha, \beta$) à l'aide des conditions initiales $y(x_0) = y_0$.

Exemples corrigés

Résoudre $y' - 3y = 0$ : La solution est $y(x) = C e^{3x}$.
Résoudre $y'' + y = 0$ : Équation caractéristique $r^2 + 1 = 0 \implies r = \pm i$. Solution : $y(x) = \alpha \cos(x) + \beta \sin(x)$.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ dans la solution générale.
Se tromper de signe dans l'équation caractéristique.
Confondre la solution de $y' = ay$ avec celle de $y' = ay + b$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Équations différentielles

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La solution générale de $y' + 5y = 0$ est :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre une solution générale et une solution particulière ?

La solution générale contient une ou plusieurs constantes arbitraires ( $C, \alpha, \beta$ ). Elle représente l'ensemble de toutes les solutions possibles.
La solution particulière est obtenue en fixant ces constantes grâce à des conditions initiales données (ex: $y(0)=1$ ).

💡 À retenir : La solution générale est une famille de fonctions, la solution particulière est une fonction unique.

La solution générale contient une ou plusieurs constantes arbitraires ($C, \alpha, \beta$). Elle représente l'ensemble de toutes les solutions possibles.
La solution particulière est obtenue en fixant ces constantes grâce à des conditions initiales données (ex: $y(0)=1$).

💡 À retenir : La solution générale est une famille de fonctions, la solution particulière est une fonction unique.

Kifach n3ref wach l'equation homogène wla la ?

Chouf lpartie li ma fiha la $y$ la $y'$ .
Ila kan dakchi li bqa f jnab dyal l'equation (second membre) kay-ssawi 0, rah homogène.
Ila kan kay-ssawi chi 3adad wla fonction (ex: $x^2$ ), rah machi homogène.

💡 À retenir : Homogène = second membre nul.

Chouf lpartie li ma fiha la $y$ la $y'$.
Ila kan dakchi li bqa f jnab dyal l'equation (second membre) kay-ssawi 0, rah homogène.
Ila kan kay-ssawi chi 3adad wla fonction (ex: $x^2$), rah machi homogène.

💡 À retenir : Homogène = second membre nul.

Chno hiya l'equation caracteristique ?

C'est une équation du second degré associée à une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants. Pour $ay'' + by' + cy = 0$ , on écrit $ar^2 + br + c = 0$ .

💡 À retenir : Les racines de cette équation déterminent la forme des solutions.

C'est une équation du second degré associée à une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants. Pour $ay'' + by' + cy = 0$, on écrit $ar^2 + br + c = 0$.

💡 À retenir : Les racines de cette équation déterminent la forme des solutions.

Kifach n7seb l'constante C ila 3tawni condition initiale ?

Tu écris la forme générale de la solution.
Tu remplaces $x$ par la valeur donnée dans la condition (ex: $x=0$ ).
Tu résous l'équation obtenue pour trouver la valeur de $C$ .

💡 À retenir : La condition initiale sert uniquement à "figer" la constante.

Tu écris la forme générale de la solution.
Tu remplaces $x$ par la valeur donnée dans la condition (ex: $x=0$).
Tu résous l'équation obtenue pour trouver la valeur de $C$.

💡 À retenir : La condition initiale sert uniquement à "figer" la constante.

Est-ce que toutes les équations différentielles ont une solution ?

Dans le cadre du programme du Baccalauréat, nous traitons des équations linéaires à coefficients constants qui admettent toujours des solutions définies sur $\mathbb{R}$ .

💡 À retenir : Les méthodes du cours couvrent tous les cas au programme.

Dans le cadre du programme du Baccalauréat, nous traitons des équations linéaires à coefficients constants qui admettent toujours des solutions définies sur $\mathbb{R}$.

💡 À retenir : Les méthodes du cours couvrent tous les cas au programme.

Wach momkin n-khrej l'equation b-tariqat l'intégrale ?

Oui, pour les équations du premier ordre $y' = ay + b$ , on peut utiliser la primitive. Mais la formule directe $y(x) = Ce^{ax} - b/a$ est plus rapide et recommandée.

💡 À retenir : Utilise la formule du cours pour gagner du temps.

Oui, pour les équations du premier ordre $y' = ay + b$, on peut utiliser la primitive. Mais la formule directe $y(x) = Ce^{ax} - b/a$ est plus rapide et recommandée.

💡 À retenir : Utilise la formule du cours pour gagner du temps.

Pourquoi on utilise le discriminant Delta ?

Le discriminant $\Delta$ permet de savoir si l'équation caractéristique a des racines réelles ou complexes, ce qui change la forme de la solution finale.

💡 À retenir : $\Delta$ est la clé pour choisir la bonne formule de solution.

Le discriminant $\Delta$ permet de savoir si l'équation caractéristique a des racines réelles ou complexes, ce qui change la forme de la solution finale.

💡 À retenir : $\Delta$ est la clé pour choisir la bonne formule de solution.

Est-ce que y'' = y est une équation homogène ?

Oui, car on peut l'écrire sous la forme $y'' - y = 0$ . Le second membre est bien nul.

💡 À retenir : Toujours mettre l'équation sous la forme standard avant de commencer.

Oui, car on peut l'écrire sous la forme $y'' - y = 0$. Le second membre est bien nul.

💡 À retenir : Toujours mettre l'équation sous la forme standard avant de commencer.

Comment savoir si on doit utiliser cos ou sin ?

On les utilise uniquement quand les racines de l'équation caractéristique sont complexes ( $\Delta < 0$ ).

💡 À retenir : $\Delta < 0 \implies$ présence de fonctions trigonométriques.

On les utilise uniquement quand les racines de l'équation caractéristique sont complexes ($\Delta < 0$).

💡 À retenir : $\Delta < 0 \implies$ présence de fonctions trigonométriques.

Est-ce qu'il y a des équations avec y^2 ?

Non, le programme se limite aux équations linéaires (où $y$ et ses dérivées sont à la puissance 1).

💡 À retenir : Si tu vois $y^2$ , ce n'est pas au programme.

Non, le programme se limite aux équations linéaires (où $y$ et ses dérivées sont à la puissance 1).

💡 À retenir : Si tu vois $y^2$, ce n'est pas au programme.

Est-ce que la constante C peut être égale à zéro ?

Oui, si la condition initiale l'impose, la solution peut être une fonction constante (ex: $y=0$ ).

💡 À retenir : $C$ est un réel quelconque.

Oui, si la condition initiale l'impose, la solution peut être une fonction constante (ex: $y=0$).

💡 À retenir : $C$ est un réel quelconque.

Est-ce que l'ordre de l'équation change la méthode ?

Oui, l'ordre 1 se résout avec une exponentielle simple, l'ordre 2 nécessite l'équation caractéristique.

💡 À retenir : Identifie toujours l'ordre dès le début.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit l'équation différentielle $(E) : y' - 2y = 0$ .

Déterminer la solution générale de $(E)$ .
Déterminer la solution $f$ vérifiant la condition initiale $f(0) = 3$ .

Exercice 1

Soit l'équation différentielle $(E) : y' - 2y = 0$.

Déterminer la solution générale de $(E)$.
Déterminer la solution $f$ vérifiant la condition initiale $f(0) = 3$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit l'équation différentielle $(E) : y'' - 5y' + 6y = 0$ .

Déterminer l'équation caractéristique associée.
Résoudre $(E)$ .

Exercice 2

Soit l'équation différentielle $(E) : y'' - 5y' + 6y = 0$.

Déterminer l'équation caractéristique associée.
Résoudre $(E)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $(E) : y'' + 4y = 0$ .

Résoudre $(E)$ .
Trouver la solution $g$ telle que $g(0) = 0$ et $g'(0) = 2$ .

Exercice 3

Soit $(E) : y'' + 4y = 0$.

Résoudre $(E)$.
Trouver la solution $g$ telle que $g(0) = 0$ et $g'(0) = 2$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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