Mathématiques · Agronomie, vétérinaire & architecture — IAV Hassan II

Statistique descriptive

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La statistique descriptive permet de résumer une série de données.

Moyenne ( $\bar{x}$ ) : $\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} n_i x_i$ où $N$ est l'effectif total.
Variance ( $V$ ) : $V = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} n_i (x_i - \bar{x})^2 = \left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} n_i x_i^2 \right) - \bar{x}^2$ .
Écart-type ( $\sigma$ ) : $\sigma = \sqrt{V}$ .
Médiane ( $Me$ ) : Valeur telle qu'au moins 50% des données sont inférieures ou égales à $Me$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul de la moyenne : Toujours vérifier que la somme des fréquences est égale à 1.
Calcul de la variance : Utiliser la formule de König (la deuxième formule) pour simplifier les calculs.
Détermination de la médiane : Utiliser les effectifs cumulés croissants (ECC).

Exemples corrigés

Soit la série : 2, 3, 3, 5.

Moyenne : $\bar{x} = (2+3+3+5)/4 = 3.25$ .
Variance : $V = \frac{1}{4}(2^2+3^2+3^2+5^2) - 3.25^2 = \frac{47}{4} - 10.5625 = 1.1875$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de multiplier par l'effectif $n_i$ dans le calcul de la moyenne.
Confondre l'étendue avec l'écart-type.
Ne pas ordonner les valeurs avant de chercher la médiane.

L'essentiel du cours

La statistique descriptive permet de résumer une série de données.

Moyenne ($\bar{x}$) : $\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} n_i x_i$ où $N$ est l'effectif total.
Variance ($V$) : $V = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} n_i (x_i - \bar{x})^2 = \left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} n_i x_i^2 \right) - \bar{x}^2$.
Écart-type ($\sigma$) : $\sigma = \sqrt{V}$.
Médiane ($Me$) : Valeur telle qu'au moins 50% des données sont inférieures ou égales à $Me$.

Méthodes à maîtriser

Calcul de la moyenne : Toujours vérifier que la somme des fréquences est égale à 1.
Calcul de la variance : Utiliser la formule de König (la deuxième formule) pour simplifier les calculs.
Détermination de la médiane : Utiliser les effectifs cumulés croissants (ECC).

Exemples corrigés

Soit la série : 2, 3, 3, 5.

Moyenne : $\bar{x} = (2+3+3+5)/4 = 3.25$.
Variance : $V = \frac{1}{4}(2^2+3^2+3^2+5^2) - 3.25^2 = \frac{47}{4} - 10.5625 = 1.1875$.

Erreurs fréquentes

Oublier de multiplier par l'effectif $n_i$ dans le calcul de la moyenne.
Confondre l'étendue avec l'écart-type.
Ne pas ordonner les valeurs avant de chercher la médiane.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Statistique descriptive

1/4

La somme des fréquences d'une série statistique est toujours égale à :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que la moyenne change si on ajoute une constante à toutes les valeurs ?

Oui, si on ajoute une constante $a$ à chaque valeur $x_i$ , la nouvelle moyenne devient $\bar{x}' = \bar{x} + a$ .

💡 À retenir : La moyenne est sensible à une transformation affine.

Oui, si on ajoute une constante $a$ à chaque valeur $x_i$, la nouvelle moyenne devient $\bar{x}' = \bar{x} + a$.

💡 À retenir : La moyenne est sensible à une transformation affine.

Kifach n7seb l-médiane ila kan l-effectif total fard ?

Rتب les valeurs par ordre croissant.
Si $N$ est impair, la médiane est la valeur située à la position $(N+1)/2$ .

💡 À retenir : La médiane est une valeur de la série, pas forcément un calcul.

Rتب les valeurs par ordre croissant.
Si $N$ est impair, la médiane est la valeur située à la position $(N+1)/2$.

💡 À retenir : La médiane est une valeur de la série, pas forcément un calcul.

Est-ce que l'écart-type peut être négatif ?

Non, l'écart-type est la racine carrée de la variance, donc il est toujours positif ou nul.

💡 À retenir : $\sigma \geq 0$ toujours.

Non, l'écart-type est la racine carrée de la variance, donc il est toujours positif ou nul.

💡 À retenir : $\sigma \geq 0$ toujours.

Chno hiya l-far9 bin l-effectif w l-fréquence ?

L'effectif est le nombre absolu d'apparitions, alors que la fréquence est la proportion (entre 0 et 1).

💡 À retenir : Fréquence = Effectif / Effectif Total.

Kifach n3ref l-mode ila kant l-miza quantitative continue ?

On cherche la classe qui a le plus grand effectif (classe modale).

💡 À retenir : Le mode est la valeur la plus fréquente.

La variance est-elle toujours égale à la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne ?

Oui, c'est la formule de König-Huygens, très utile pour les calculs rapides.

💡 À retenir : $V = \overline{x^2} - (\bar{x})^2$ .

Oui, c'est la formule de König-Huygens, très utile pour les calculs rapides.

💡 À retenir : $V = \overline{x^2} - (\bar{x})^2$.

Est-ce que la médiane est toujours égale à la moyenne ?

Non, sauf dans des distributions parfaitement symétriques.

💡 À retenir : La médiane est plus robuste face aux valeurs extrêmes.

Est-ce que l'écart-type change si on multiplie les valeurs par 2 ?

Oui, l'écart-type est multiplié par la valeur absolue du coefficient multiplicateur (ici 2).

💡 À retenir : $\sigma(ax) = |a| \sigma(x)$ .

Oui, l'écart-type est multiplié par la valeur absolue du coefficient multiplicateur (ici 2).

💡 À retenir : $\sigma(ax) = |a| \sigma(x)$.

Pourquoi on utilise l'écart-type au lieu de la variance ?

L'écart-type est dans la même unité que les données originales, ce qui le rend plus facile à interpréter.

💡 À retenir : L'écart-type mesure la dispersion autour de la moyenne.

Comment calculer la moyenne d'une série continue ?

On utilise le centre de chaque classe comme valeur représentative.

💡 À retenir : $\bar{x} = \frac{\sum n_i c_i}{N}$ avec $c_i$ centre de classe.

On utilise le centre de chaque classe comme valeur représentative.

💡 À retenir : $\bar{x} = \frac{\sum n_i c_i}{N}$ avec $c_i$ centre de classe.

Est-ce que la somme des écarts à la moyenne est toujours nulle ?

Oui, $\sum n_i (x_i - \bar{x}) = 0$ . C'est une propriété fondamentale.

💡 À retenir : La moyenne est le centre de gravité de la série.

Oui, $\sum n_i (x_i - \bar{x}) = 0$. C'est une propriété fondamentale.

💡 À retenir : La moyenne est le centre de gravité de la série.

Est-ce que l'étendue est une mesure de dispersion fiable ?

Non, car elle ne dépend que des deux valeurs extrêmes et ignore la distribution centrale.

💡 À retenir : L'écart-type est plus représentatif.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit la série statistique suivante représentant le nombre d'enfants par famille : 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4.

Calculer l'effectif total.
Calculer la moyenne et l'écart-type.

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Exercice 2

Une série a une moyenne de 10 et une variance de 4. On multiplie chaque valeur par 3 et on ajoute 2. Calculer la nouvelle moyenne et la nouvelle variance.

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Exercice 3

Dans une classe, les notes sont : 5 (effectif 2), 10 (effectif 5), 15 (effectif 3). Calculer la médiane.

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