Mathématiques · Agronomie, vétérinaire & architecture — IAV Hassan II

Nombres réels et suites numériques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Majorant/Minorant : $M$ est un majorant de $A$ si $\forall x \in A, x \leq M$ .
Suite monotone : $(u_n)$ est croissante si $u_{n+1} - u_n \geq 0$ et décroissante si $u_{n+1} - u_n \leq 0$ .
Suites arithmétiques : $u_n = u_0 + nr$ et $S_n = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}$ .
Suites géométriques : $u_n = u_0 \cdot q^n$ et $S_n = u_0 \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ ( $q \neq 1$ ).
Théorème de convergence monotone : Toute suite croissante et majorée est convergente.

Méthodes à maîtriser

Raisonnement par récurrence : Initialisation, Hérédité, Conclusion.
Étude de signe : Pour la monotonie, étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ ou comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1 (si $u_n > 0$ ).
Limites : Utiliser les théorèmes de comparaison et le théorème des gendarmes.

Exemples corrigés

Récurrence : Montrer que $u_n > 0$ . Initialisation : $u_0 > 0$ . Hérédité : Supposons $u_n > 0$ , alors $u_{n+1} = f(u_n) > 0$ .
Limite : $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n^2 + 1}{n^2 + 3} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2(2 + 1/n^2)}{n^2(1 + 3/n^2)} = 2$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que la suite est positive avant d'utiliser le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ .
Confondre "majorée" avec "admet une limite".
Négliger l'initialisation dans le raisonnement par récurrence.

L'essentiel du cours

Majorant/Minorant : $M$ est un majorant de $A$ si $\forall x \in A, x \leq M$.
Suite monotone : $(u_n)$ est croissante si $u_{n+1} - u_n \geq 0$ et décroissante si $u_{n+1} - u_n \leq 0$.
Suites arithmétiques : $u_n = u_0 + nr$ et $S_n = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}$.
Suites géométriques : $u_n = u_0 \cdot q^n$ et $S_n = u_0 \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ ($q \neq 1$).
Théorème de convergence monotone : Toute suite croissante et majorée est convergente.

Méthodes à maîtriser

Raisonnement par récurrence : Initialisation, Hérédité, Conclusion.
Étude de signe : Pour la monotonie, étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ ou comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1 (si $u_n > 0$).
Limites : Utiliser les théorèmes de comparaison et le théorème des gendarmes.

Exemples corrigés

Récurrence : Montrer que $u_n > 0$. Initialisation : $u_0 > 0$. Hérédité : Supposons $u_n > 0$, alors $u_{n+1} = f(u_n) > 0$.
Limite : $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n^2 + 1}{n^2 + 3} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2(2 + 1/n^2)}{n^2(1 + 3/n^2)} = 2$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que la suite est positive avant d'utiliser le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$.
Confondre "majorée" avec "admet une limite".
Négliger l'initialisation dans le raisonnement par récurrence.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Nombres réels et suites numériques

1/4

La suite $u_n = (-1)^n$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment montrer qu'une suite est majorée par 2 ?

Utilise le raisonnement par récurrence.
Initialisation : Vérifie que $u_0 \leq 2$ .
Hérédité : Suppose $u_n \leq 2$ et montre que $u_{n+1} \leq 2$ en utilisant la fonction associée.

💡 À retenir : La récurrence est l'outil principal pour les suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$ .

Utilise le raisonnement par récurrence.
Initialisation : Vérifie que $u_0 \leq 2$.
Hérédité : Suppose $u_n \leq 2$ et montre que $u_{n+1} \leq 2$ en utilisant la fonction associée.

💡 À retenir : La récurrence est l'outil principal pour les suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$.

Kifach n3ref wach suite arithmétique wla géométrique ?

Pour l'arithmétique : Calcule $u_{n+1} - u_n$ . Si le résultat est une constante $r$ indépendante de $n$ , elle est arithmétique.
Pour la géométrique : Calcule $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ . Si le résultat est une constante $q$ indépendante de $n$ , elle est géométrique.

💡 À retenir : Si le résultat dépend de $n$ , la suite n'est ni l'une ni l'autre.

Pour l'arithmétique : Calcule $u_{n+1} - u_n$. Si le résultat est une constante $r$ indépendante de $n$, elle est arithmétique.
Pour la géométrique : Calcule $\frac{u_{n+1}}{u_n}$. Si le résultat est une constante $q$ indépendante de $n$, elle est géométrique.

💡 À retenir : Si le résultat dépend de $n$, la suite n'est ni l'une ni l'autre.

Chno hiya l-far9 bin suite convergente et suite bornée ?

Une suite convergente a une limite finie.
Une suite bornée est une suite dont tous les termes sont compris entre deux valeurs $m$ et $M$ .
Toute suite convergente est bornée, mais la réciproque est fausse (ex: $u_n = (-1)^n$ est bornée mais pas convergente).

💡 À retenir : Convergence $\implies$ Bornée.

Une suite convergente a une limite finie.
Une suite bornée est une suite dont tous les termes sont compris entre deux valeurs $m$ et $M$.
Toute suite convergente est bornée, mais la réciproque est fausse (ex: $u_n = (-1)^n$ est bornée mais pas convergente).

💡 À retenir : Convergence $\implies$ Bornée.

Kifach n7seb la limite dyal suite fih l-racine carré ?

Utilise la quantité conjuguée : $\sqrt{A} - \sqrt{B} = \frac{A-B}{\sqrt{A} + \sqrt{B}}$ .
Simplifie l'expression obtenue.
Calcule la limite des termes restants.

💡 À retenir : La quantité conjuguée est indispensable pour lever les formes indéterminées du type $\infty - \infty$ .

Utilise la quantité conjuguée : $\sqrt{A} - \sqrt{B} = \frac{A-B}{\sqrt{A} + \sqrt{B}}$.
Simplifie l'expression obtenue.
Calcule la limite des termes restants.

💡 À retenir : La quantité conjuguée est indispensable pour lever les formes indéterminées du type $\infty - \infty$.

Est-ce que toute suite croissante est convergente ?

Non. Elle doit être croissante ET majorée pour être convergente. Par exemple, $u_n = n$ est croissante mais tend vers $+\infty$ (elle n'est pas majorée).

💡 À retenir : Croissance + Majoration = Convergence.

Non. Elle doit être croissante ET majorée pour être convergente. Par exemple, $u_n = n$ est croissante mais tend vers $+\infty$ (elle n'est pas majorée).

💡 À retenir : Croissance + Majoration = Convergence.

Comment déterminer la limite d'une suite définie par u{n+1} = f(un) ?

Si la suite est convergente vers $l$ , alors $l = f(l)$ .
Résous l'équation $f(x) = x$ .
Vérifie les conditions de convergence (monotonie et bornes).

💡 À retenir : La limite est un point fixe de la fonction $f$ .

Si la suite est convergente vers $l$, alors $l = f(l)$.
Résous l'équation $f(x) = x$.
Vérifie les conditions de convergence (monotonie et bornes).

💡 À retenir : La limite est un point fixe de la fonction $f$.

Chno hiya l-khassya dyal l-borna l-3olya ?

C'est le plus petit des majorants d'un ensemble. Si $M$ est la borne supérieure, alors tout nombre inférieur à $M$ n'est pas un majorant.

💡 À retenir : La borne supérieure est unique.

C'est le plus petit des majorants d'un ensemble. Si $M$ est la borne supérieure, alors tout nombre inférieur à $M$ n'est pas un majorant.

💡 À retenir : La borne supérieure est unique.

Comment montrer qu'une suite est géométrique ?

Exprime $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ .
Calcule le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ .
Montre que ce rapport est égal à une constante $q$ .

💡 À retenir : $u_{n+1} = q \cdot u_n$ est la définition.

Exprime $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
Calcule le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$.
Montre que ce rapport est égal à une constante $q$.

💡 À retenir : $u_{n+1} = q \cdot u_n$ est la définition.

Est-ce que la limite d'une suite peut changer si on change les premiers termes ?

Non, la limite d'une suite ne dépend que du comportement des termes quand $n$ tend vers $+\infty$ . Les premiers termes n'ont aucune influence sur la limite.

💡 À retenir : La limite est une propriété asymptotique.

Non, la limite d'une suite ne dépend que du comportement des termes quand $n$ tend vers $+\infty$. Les premiers termes n'ont aucune influence sur la limite.

💡 À retenir : La limite est une propriété asymptotique.

Kifach n3ref wach suite 3ndha limite wla la ?

Si elle est monotone et bornée, elle converge.
Si elle est définie par $u_n = f(n)$ , calcule $\lim_{n \to +\infty} f(n)$ .
Si elle est divergente, elle peut tendre vers $\pm \infty$ ou ne pas avoir de limite.

💡 À retenir : Analyse d'abord la monotonie.

Si elle est monotone et bornée, elle converge.
Si elle est définie par $u_n = f(n)$, calcule $\lim_{n \to +\infty} f(n)$.
Si elle est divergente, elle peut tendre vers $\pm \infty$ ou ne pas avoir de limite.

💡 À retenir : Analyse d'abord la monotonie.

Peut-on utiliser le théorème des gendarmes pour les suites ?

Oui, si $v_n \leq u_n \leq w_n$ et que $\lim v_n = \lim w_n = L$ , alors $\lim u_n = L$ .

💡 À retenir : Très utile pour les suites avec sinus ou cosinus.

Oui, si $v_n \leq u_n \leq w_n$ et que $\lim v_n = \lim w_n = L$, alors $\lim u_n = L$.

💡 À retenir : Très utile pour les suites avec sinus ou cosinus.

Pourquoi on utilise la récurrence ?

Pour démontrer des propriétés qui dépendent d'un entier naturel $n$ (ex: $u_n > 0$ ou $u_n \leq M$ ).

💡 À retenir : C'est le seul moyen rigoureux pour les suites récurrentes.

Pour démontrer des propriétés qui dépendent d'un entier naturel $n$ (ex: $u_n > 0$ ou $u_n \leq M$).

💡 À retenir : C'est le seul moyen rigoureux pour les suites récurrentes.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $(u_n)_{n \geq 0}$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ .

Montrer par récurrence que $0 < u_n < 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .
Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$ .
En déduire que $(u_n)$ est convergente et calculer sa limite.

Exercice 1

Soit $(u_n){n \geq 0}$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$.

Montrer par récurrence que $0 < u_n < 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$.
En déduire que $(u_n)$ est convergente et calculer sa limite.

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Exercice 2

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $r = -2$ .

Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
Calculer la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{10}$ .

Exercice 2

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $r = -2$.

Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Calculer la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{10}$.

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Exercice 3

Soit $(u_n)$ une suite géométrique telle que $u_1 = 2$ et $u_3 = 8$ . Déterminer la raison $q > 0$ et le terme général $u_n$ .

Exercice 3

Soit $(u_n)$ une suite géométrique telle que $u_1 = 2$ et $u_3 = 8$. Déterminer la raison $q > 0$ et le terme général $u_n$.

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