Sciences de l'ingénieur · Écoles d'ingénieurs — ENSA — cycle préparatoire

Automatique : Systèmes asservis linéaires continus

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Un système asservi est un système dont la sortie $s(t)$ est asservie à une consigne $e(t)$ . La fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) est : $H_{BO}(p) = \frac{S(p)}{E(p)}$ (en l'absence de boucle). La fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) avec un retour unitaire est : $H_{BF}(p) = \frac{H(p)}{1 + H(p)}$ . La stabilité est assurée si les pôles de la FTBF ont une partie réelle strictement négative.

Méthodes à maîtriser

Calcul de la FTBF : Identifier la chaîne directe $H(p)$ et la chaîne de retour $K(p)$ . Appliquer $H_{BF} = \frac{H}{1+HK}$ .
Analyse de la précision : Calculer l'erreur statique $\epsilon_s = \lim_{p \to 0} p \cdot \epsilon(p)$ pour une entrée échelon.
Étude de stabilité : Utiliser les pôles de la FTBF ou le critère de Routh (à vérifier par le professeur).

Exemples corrigés

Exemple : Soit $H(p) = \frac{10}{p+2}$ . Calculer la FTBF. $H_{BF}(p) = \frac{\frac{10}{p+2}}{1 + \frac{10}{p+2}} = \frac{10}{p+2+10} = \frac{10}{p+12}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le signe « + » dans le dénominateur de la FTBF (c'est $1+H$ , pas $1-H$ ).
Confondre la FTBO et la FTBF lors du calcul de l'erreur.
Négliger les unités des paramètres (gain, constante de temps).

L'essentiel du cours

Un système asservi est un système dont la sortie $s(t)$ est asservie à une consigne $e(t)$. La fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) est : $H_{BO}(p) = \frac{S(p)}{E(p)}$ (en l'absence de boucle). La fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) avec un retour unitaire est : $H_{BF}(p) = \frac{H(p)}{1 + H(p)}$. La stabilité est assurée si les pôles de la FTBF ont une partie réelle strictement négative.

Méthodes à maîtriser

Calcul de la FTBF : Identifier la chaîne directe $H(p)$ et la chaîne de retour $K(p)$. Appliquer $H_{BF} = \frac{H}{1+HK}$.
Analyse de la précision : Calculer l'erreur statique $\epsilon_s = \lim_{p \to 0} p \cdot \epsilon(p)$ pour une entrée échelon.
Étude de stabilité : Utiliser les pôles de la FTBF ou le critère de Routh (à vérifier par le professeur).

Exemples corrigés

Exemple : Soit $H(p) = \frac{10}{p+2}$. Calculer la FTBF. $H_{BF}(p) = \frac{\frac{10}{p+2}}{1 + \frac{10}{p+2}} = \frac{10}{p+2+10} = \frac{10}{p+12}$.

Erreurs fréquentes

Oublier le signe « + » dans le dénominateur de la FTBF (c'est $1+H$, pas $1-H$).
Confondre la FTBO et la FTBF lors du calcul de l'erreur.
Négliger les unités des paramètres (gain, constante de temps).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Automatique : Systèmes asservis linéaires continus

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La fonction de transfert en boucle fermée d'un système avec retour unitaire $H(p)$ est :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre boucle ouverte et boucle fermée ?

En boucle ouverte, la commande est indépendante de la sortie.
En boucle fermée, on mesure la sortie et on la compare à la consigne pour corriger l'erreur.

💡 À retenir : La boucle fermée permet de rejeter les perturbations.

Kifach n-7seb l'erreur statique f'system?

D'abord, trouve la fonction d'erreur $\epsilon(p) = E(p) - S(p)$ .
Applique le théorème de la valeur finale : $\epsilon_s = \lim_{p \to 0} p \cdot \epsilon(p)$ .

💡 À retenir : Si $\epsilon_s = 0$ , le système est précis.

D'abord, trouve la fonction d'erreur $\epsilon(p) = E(p) - S(p)$.
Applique le théorème de la valeur finale : $\epsilon_s = \lim_{p \to 0} p \cdot \epsilon(p)$.

💡 À retenir : Si $\epsilon_s = 0$, le système est précis.

Chno hiya l'utilité dyal Laplace f'l'automatique?

Laplace permet de transformer des équations différentielles (complexes) en équations algébriques (simples).
Cela facilite le calcul des fonctions de transfert.

💡 À retenir : On travaille dans le domaine fréquentiel $p$ au lieu du temporel $t$ .

Laplace permet de transformer des équations différentielles (complexes) en équations algébriques (simples).
Cela facilite le calcul des fonctions de transfert.

💡 À retenir : On travaille dans le domaine fréquentiel $p$ au lieu du temporel $t$.

Est-ce que tous les systèmes sont stables ?

Non. Un système est instable si sa sortie diverge vers l'infini. Mathématiquement, cela arrive si au moins un pôle de la FTBF a une partie réelle positive.

💡 À retenir : Stabilité = Pôles à partie réelle négative.

Kifach n-3ref wach system stable bla ma n-resm?

Calcule la FTBF.
Cherche les racines du dénominateur (les pôles).
Si tous les pôles ont une partie réelle négative, le système est stable.

💡 À retenir : Le signe des pôles détermine la stabilité.

C'est quoi le gain statique ?

C'est la valeur de la fonction de transfert quand $p$ tend vers 0. Il indique le rapport entre la sortie et l'entrée en régime permanent.

💡 À retenir : $K = H(0)$ .

C'est la valeur de la fonction de transfert quand $p$ tend vers 0. Il indique le rapport entre la sortie et l'entrée en régime permanent.

💡 À retenir : $K = H(0)$.

Wach l'ordre d'un système est important ?

Oui, l'ordre définit le comportement dynamique (vitesse, dépassement). Un système du 1er ordre ne dépasse jamais sa consigne, contrairement au 2ème ordre.

💡 À retenir : L'ordre = degré du dénominateur.

Comment calculer la FTBF si le retour n'est pas unitaire ?

Si le retour est $K(p)$ , la formule devient $H_{BF}(p) = \frac{H(p)}{1 + H(p)K(p)}$ .

💡 À retenir : Toujours identifier la chaîne de retour.

Si le retour est $K(p)$, la formule devient $H_{BF}(p) = \frac{H(p)}{1 + H(p)K(p)}$.

💡 À retenir : Toujours identifier la chaîne de retour.

Est-ce que la précision dépend de la consigne ?

Oui, l'erreur statique dépend de la forme de l'entrée (échelon, rampe, parabole) et de la classe du système.

💡 À retenir : Plus la classe est élevée, plus l'erreur est faible.

C'est quoi un pôle ?

C'est la valeur de $p$ qui annule le dénominateur de la fonction de transfert.

💡 À retenir : Les pôles dictent la dynamique du système.

C'est la valeur de $p$ qui annule le dénominateur de la fonction de transfert.

💡 À retenir : Les pôles dictent la dynamique du système.

Pourquoi on utilise des correcteurs ?

Pour modifier le comportement du système (améliorer la précision, la rapidité ou la stabilité) afin qu'il réponde au cahier des charges.

💡 À retenir : Le correcteur est l'outil de réglage.

Est-ce que le dépassement est toujours mauvais ?

Pas forcément. Parfois, un léger dépassement est toléré pour avoir une réponse plus rapide. Tout dépend du cahier des charges.

💡 À retenir : Compromis rapidité/stabilité.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit un système asservi de fonction de transfert en boucle ouverte $H_{BO}(p) = \frac{10}{p(p+2)}$ .

Calculer la fonction de transfert en boucle fermée $H_{BF}(p)$ avec un retour unitaire.
Déterminer l'ordre du système en boucle fermée.

Exercice 1

Soit un système asservi de fonction de transfert en boucle ouverte $H_{BO}(p) = \frac{10}{p(p+2)}$.

Calculer la fonction de transfert en boucle fermée $H_{BF}(p)$ avec un retour unitaire.
Déterminer l'ordre du système en boucle fermée.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $H(p) = \frac{K}{1+Tp}$ . Calculer l'erreur statique pour une entrée échelon unitaire.

Exercice 2

Soit $H(p) = \frac{K}{1+Tp}$. Calculer l'erreur statique pour une entrée échelon unitaire.

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Exercice 3

Un système a pour FTBF $H_{BF}(p) = \frac{1}{(p+1)(p+3)}$ . Est-il stable ?

Exercice 3

Un système a pour FTBF $H_{BF}(p) = \frac{1}{(p+1)(p+3)}$. Est-il stable ?

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