Sciences de l'ingénieur · Écoles d'ingénieurs — ENSA — cycle préparatoire

Cinématique du solide (Torseurs cinématiques)

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le torseur cinématique du solide (1) par rapport au solide (0) au point $A$ est noté : $\{V_{1/0}\} = \begin{Bmatrix} \vec{\Omega}_{1/0} \\ \vec{V}_{A \in 1/0} \end{Bmatrix}_A = \begin{Bmatrix} p & u \\ q & v \\ r & w \end{Bmatrix}_A$

$\vec{\Omega}_{1/0}$ : Vecteur rotation du solide (1) par rapport à (0).
$\vec{V}_{A \in 1/0}$ : Vecteur vitesse du point $A$ appartenant au solide (1) par rapport à (0).

Méthodes à maîtriser

Relation de transport des vitesses : Pour deux points $A$ et $B$ du même solide (1) : $\vec{V}_{B \in 1/0} = \vec{V}_{A \in 1/0} + \vec{\Omega}_{1/0} \wedge \vec{AB}$
Condition de non-glissement : Si deux solides sont en contact ponctuel en $I$ , la vitesse de glissement est nulle : $\vec{V}_{I \in 1/0} = \vec{0}$ .

Exemples corrigés

Soit un solide en rotation autour de $(A, \vec{z})$ à une vitesse $\omega$ . Le torseur en $A$ est : $\{V_{1/0}\} = \begin{Bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \omega & 0 \end{Bmatrix}_A$ . Si on veut le torseur en $B$ avec $\vec{AB} = L \vec{x}$ : $\vec{V}_{B} = \vec{V}_{A} + \vec{\Omega} \wedge \vec{AB} = \vec{0} + (\omega \vec{z}) \wedge (L \vec{x}) = \omega L \vec{y}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que la relation de transport ne s'applique qu'entre deux points du même solide.
Confondre le vecteur rotation $\vec{\Omega}$ avec la vitesse linéaire $\vec{V}$ .
Ne pas respecter l'ordre du produit vectoriel (le sens est crucial).

L'essentiel du cours

Le torseur cinématique du solide (1) par rapport au solide (0) au point $A$ est noté : $${V_{1/0}} = \begin{Bmatrix} \vec{\Omega}{1/0} \ \vec{V}{A \in 1/0} \end{Bmatrix}_A = \begin{Bmatrix} p & u \ q & v \ r & w \end{Bmatrix}_A$$

$\vec{\Omega}_{1/0}$ : Vecteur rotation du solide (1) par rapport à (0).
$\vec{V}_{A \in 1/0}$ : Vecteur vitesse du point $A$ appartenant au solide (1) par rapport à (0).

Méthodes à maîtriser

Relation de transport des vitesses : Pour deux points $A$ et $B$ du même solide (1) : $$\vec{V}{B \in 1/0} = \vec{V}{A \in 1/0} + \vec{\Omega}_{1/0} \wedge \vec{AB}$$
Condition de non-glissement : Si deux solides sont en contact ponctuel en $I$, la vitesse de glissement est nulle : $\vec{V}_{I \in 1/0} = \vec{0}$.

Exemples corrigés

Soit un solide en rotation autour de $(A, \vec{z})$ à une vitesse $\omega$. Le torseur en $A$ est : ${V_{1/0}} = \begin{Bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \ \omega & 0 \end{Bmatrix}A$. Si on veut le torseur en $B$ avec $\vec{AB} = L \vec{x}$ : $\vec{V}{B} = \vec{V}_{A} + \vec{\Omega} \wedge \vec{AB} = \vec{0} + (\omega \vec{z}) \wedge (L \vec{x}) = \omega L \vec{y}$.

Erreurs fréquentes

Oublier que la relation de transport ne s'applique qu'entre deux points du même solide.
Confondre le vecteur rotation $\vec{\Omega}$ avec la vitesse linéaire $\vec{V}$.
Ne pas respecter l'ordre du produit vectoriel (le sens est crucial).

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🎯 Cinématique du solide (Torseurs cinématiques)

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Le vecteur rotation $\vec{\Omega}$ d'un solide en translation est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb vec{V}B ila kan 3andi vec{V}A o vec{Omega}?

7ded l'vecteur $\vec{AB}$ (l'forsa mn A l'B).
Ddir l'produit vectoriel $\vec{\Omega} \wedge \vec{AB}$ .
Zid l'natija 3la $\vec{V}_A$ .

💡 À retenir : $\vec{V}_B = \vec{V}_A + \vec{\Omega} \wedge \vec{AB}$ .

7ded l'vecteur $\vec{AB}$ (l'forsa mn A l'B).
Ddir l'produit vectoriel $\vec{\Omega} \wedge \vec{AB}$.
Zid l'natija 3la $\vec{V}_A$.

💡 À retenir : $\vec{V}_B = \vec{V}_A + \vec{\Omega} \wedge \vec{AB}$.

Wach vec{Omega} katbeddel ila beddelna no9tat l'i7tisab?

Non, $\vec{\Omega}$ (vecteur rotation) hiya nafs-ha l'ga3 no9at ljism f nafs l'wa9t.

💡 À retenir : Le vecteur rotation est un invariant du torseur cinématique.

Non, $\vec{\Omega}$ (vecteur rotation) hiya nafs-ha l'ga3 no9at ljism f nafs l'wa9t.

💡 À retenir : Le vecteur rotation est un invariant du torseur cinématique.

Chno hiya l'far9 bin vec{V} o vec{Omega}?

$\vec{V}$ hiya sora3 dyal no9ta (m/s), $\vec{\Omega}$ hiya sora3 dyal dawar (rad/s).

💡 À retenir : $\vec{V}$ dépend de la position, $\vec{\Omega}$ dépend de l'axe de rotation.

$\vec{V}$ hiya sora3 dyal no9ta (m/s), $\vec{\Omega}$ hiya sora3 dyal dawar (rad/s).

💡 À retenir : $\vec{V}$ dépend de la position, $\vec{\Omega}$ dépend de l'axe de rotation.

Comment déterminer le torseur cinématique d'une liaison pivot ?

Pour une liaison pivot d'axe $(A, \vec{u})$ , le vecteur rotation est $\omega \vec{u}$ et la vitesse du point $A$ est nulle.

💡 À retenir : $\{V\} = \begin{Bmatrix} \omega \vec{u} \\ \vec{0} \end{Bmatrix}_A$ .

Pour une liaison pivot d'axe $(A, \vec{u})$, le vecteur rotation est $\omega \vec{u}$ et la vitesse du point $A$ est nulle.

💡 À retenir : ${V} = \begin{Bmatrix} \omega \vec{u} \ \vec{0} \end{Bmatrix}_A$.

Pourquoi utilise-t-on le centre de réduction ?

Pour simplifier l'écriture du torseur et faciliter les calculs de vitesse en tout point du solide.

💡 À retenir : Le choix du point facilite souvent l'annulation de termes (ex: point sur l'axe).

Que signifie un torseur cinématique nul ?

Cela signifie que le solide est immobile par rapport au référentiel choisi.

💡 À retenir : $\{V\} = \{0\}$ .

Cela signifie que le solide est immobile par rapport au référentiel choisi.

💡 À retenir : ${V} = {0}$.

Comment calculer le torseur en un point C si on a le torseur en A ?

On utilise la relation de transport : $\vec{V}_C = \vec{V}_A + \vec{\Omega} \wedge \vec{AC}$ .

💡 À retenir : $\vec{\Omega}$ reste identique.

On utilise la relation de transport : $\vec{V}_C = \vec{V}_A + \vec{\Omega} \wedge \vec{AC}$.

💡 À retenir : $\vec{\Omega}$ reste identique.

Quelle est la dimension du vecteur rotation ?

C'est le radian par seconde (rad/s).

💡 À retenir : Unité du système international.

Est-ce que vec{Omega}{1/0} = -vec{Omega}{0/1} ?

Oui, c'est la propriété d'antisymétrie des torseurs cinématiques.

💡 À retenir : Inversion du référentiel = inversion du signe.

Comment traiter une liaison glissière ?

Le vecteur rotation est nul, et la vitesse est portée par l'axe de la glissière.

💡 À retenir : $\{V\} = \begin{Bmatrix} \vec{0} \\ v \vec{u} \end{Bmatrix}$ .

Le vecteur rotation est nul, et la vitesse est portée par l'axe de la glissière.

💡 À retenir : ${V} = \begin{Bmatrix} \vec{0} \ v \vec{u} \end{Bmatrix}$.

Peut-on additionner deux torseurs cinématiques ?

Oui, si les deux torseurs sont exprimés au même point et dans le même référentiel.

💡 À retenir : Composition des mouvements.

Quelle est la condition pour qu'un torseur soit un glisseur ?

Il faut que le produit scalaire $\vec{\Omega} \cdot \vec{V}_A = 0$ .

💡 À retenir : Le torseur est alors équivalent à un vecteur vitesse unique sur un axe.

Il faut que le produit scalaire $\vec{\Omega} \cdot \vec{V}_A = 0$.

💡 À retenir : Le torseur est alors équivalent à un vecteur vitesse unique sur un axe.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit un bras de robot en rotation autour de l'axe $(O, \vec{z})$ avec $\omega = 2$ rad/s. Le point $P$ est situé à $\vec{OP} = 0.5 \vec{x}$ (en mètres). Calculer $\vec{V}_{P \in 1/0}$ .

Exercice 1

Soit un bras de robot en rotation autour de l'axe $(O, \vec{z})$ avec $\omega = 2$ rad/s. Le point $P$ est situé à $\vec{OP} = 0.5 \vec{x}$ (en mètres). Calculer $\vec{V}_{P \in 1/0}$.

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Exercice 2

Un solide (1) est en mouvement de translation par rapport à (0). $\vec{V}_{A} = 2 \vec{x} + 3 \vec{y}$ . Déterminer $\vec{V}_B$ avec $\vec{AB} = \vec{x} + \vec{z}$ .

Exercice 2

Un solide (1) est en mouvement de translation par rapport à (0). $\vec{V}_{A} = 2 \vec{x} + 3 \vec{y}$. Déterminer $\vec{V}_B$ avec $\vec{AB} = \vec{x} + \vec{z}$.

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Exercice 3

Soit un solide (1) en mouvement hélicoïdal autour de $(A, \vec{z})$ . $\vec{\Omega} = \omega \vec{z}$ et $\vec{V}_A = v \vec{z}$ . Calculer $\vec{V}_B$ avec $\vec{AB} = L \vec{x}$ .

Exercice 3

Soit un solide (1) en mouvement hélicoïdal autour de $(A, \vec{z})$. $\vec{\Omega} = \omega \vec{z}$ et $\vec{V}_A = v \vec{z}$. Calculer $\vec{V}_B$ avec $\vec{AB} = L \vec{x}$.

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