Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences Économiques

المتتاليات العددية مادة الرياضيات الأولى باكالوريا العلوم الإقتصادية والتدبير

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. Suite numérique

Une suite numérique est une fonction qui à tout entier naturel $n$ associe un nombre réel noté $u_n$ .

2. Suite arithmétique

Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ (la raison) tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_{n+1} = u_n + r$

Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$ (souvent $u_n = u_0 + nr$ ).
Somme des termes : $S = \frac{\text{nombre de termes}}{2} \times (\text{premier terme} + \text{dernier terme})$ .

3. Suite géométrique

Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q \neq 0$ (la raison) tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_{n+1} = u_n \times q$

Terme général : $u_n = u_p \times q^{n-p}$ (souvent $u_n = u_0 \times q^n$ ).
Somme des termes : $S = \text{premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$ (si $q \neq 1$ ).

4. Sens de variation

$(u_n)$ est croissante si $u_{n+1} - u_n \geq 0$ .
$(u_n)$ est décroissante si $u_{n+1} - u_n \leq 0$ .
$(u_n)$ est constante si $u_{n+1} - u_n = 0$ .

Méthodes à maîtriser

Démontrer qu'une suite est arithmétique : Calculer la différence $u_{n+1} - u_n$ et vérifier qu'elle est égale à une constante $r$ .
Démontrer qu'une suite est géométrique : Calculer le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et vérifier qu'il est égal à une constante $q$ .
Calculer un terme quelconque : Utiliser la formule du terme général $u_n$ en fonction de $n$ .
Calculer une somme : Identifier le type de suite et appliquer la formule appropriée en faisant attention au nombre de termes (rappel : de $u_0$ à $u_n$ , il y a $n+1$ termes).

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_0 = 5$ et $r = 3$ . Calculer $u_{10}$ . Solution : $u_n = u_0 + nr$ $u_{10} = 5 + 10 \times 3 = 5 + 30 = 35$ .

Exemple 2 : Soit $(v_n)$ une suite géométrique telle que $v_1 = 2$ et $q = 3$ . Calculer $v_4$ . Solution : $v_n = v_1 \times q^{n-1}$ $v_4 = 2 \times 3^{4-1} = 2 \times 3^3 = 2 \times 27 = 54$ .

Erreurs fréquentes

Confusion entre $r$ et $q$ : Utiliser la formule de la suite géométrique pour une suite arithmétique.
Erreur de nombre de termes : Pour la somme de $u_0$ à $u_n$ , ne pas oublier qu'il y a $n+1$ termes.
Oubli du signe : Dans une suite arithmétique décroissante, $r$ doit être négatif.

L'essentiel du cours

1. Suite numérique

Une suite numérique est une fonction qui à tout entier naturel $n$ associe un nombre réel noté $u_n$.

2. Suite arithmétique

Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ (la raison) tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$u_{n+1} = u_n + r$$

Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$ (souvent $u_n = u_0 + nr$).
Somme des termes : $S = \frac{\text{nombre de termes}}{2} \times (\text{premier terme} + \text{dernier terme})$.

3. Suite géométrique

Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q \neq 0$ (la raison) tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$u_{n+1} = u_n \times q$$

Terme général : $u_n = u_p \times q^{n-p}$ (souvent $u_n = u_0 \times q^n$).
Somme des termes : $S = \text{premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$ (si $q \neq 1$).

4. Sens de variation

$(u_n)$ est croissante si $u_{n+1} - u_n \geq 0$.
$(u_n)$ est décroissante si $u_{n+1} - u_n \leq 0$.
$(u_n)$ est constante si $u_{n+1} - u_n = 0$.

Méthodes à maîtriser

Démontrer qu'une suite est arithmétique : Calculer la différence $u_{n+1} - u_n$ et vérifier qu'elle est égale à une constante $r$.
Démontrer qu'une suite est géométrique : Calculer le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et vérifier qu'il est égal à une constante $q$.
Calculer un terme quelconque : Utiliser la formule du terme général $u_n$ en fonction de $n$.
Calculer une somme : Identifier le type de suite et appliquer la formule appropriée en faisant attention au nombre de termes (rappel : de $u_0$ à $u_n$, il y a $n+1$ termes).

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_0 = 5$ et $r = 3$. Calculer $u_{10}$. Solution : $u_n = u_0 + nr$ $u_{10} = 5 + 10 \times 3 = 5 + 30 = 35$.

Exemple 2 : Soit $(v_n)$ une suite géométrique telle que $v_1 = 2$ et $q = 3$. Calculer $v_4$. Solution : $v_n = v_1 \times q^{n-1}$ $v_4 = 2 \times 3^{4-1} = 2 \times 3^3 = 2 \times 27 = 54$.

Erreurs fréquentes

Confusion entre $r$ et $q$ : Utiliser la formule de la suite géométrique pour une suite arithmétique.
Erreur de nombre de termes : Pour la somme de $u_0$ à $u_n$, ne pas oublier qu'il y a $n+1$ termes.
Oubli du signe : Dans une suite arithmétique décroissante, $r$ doit être négatif.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 المتتاليات العددية مادة الرياضيات الأولى باكالوريا العلوم الإقتصادية والتدبير

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Si $u_{n+1} - u_n = -2$ , quelle est la nature de la suite ?

Si $u_{n+1} - u_n = -2$, quelle est la nature de la suite ?

❓ Questions fréquentes

Chno hiya l-far9 bin suite arithmétique w suite géométrique?

Dans une suite arithmétique, on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ (la raison).
Dans une suite géométrique, on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$ (la raison).

💡 À retenir : Arithmétique $\rightarrow$ Addition ( $+$ ) ; Géométrique $\rightarrow$ Multiplication ( $\times$ ).

Dans une suite arithmétique, on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ (la raison).
Dans une suite géométrique, on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$ (la raison).

💡 À retenir : Arithmétique $\rightarrow$ Addition ($+$) ; Géométrique $\rightarrow$ Multiplication ($\times$).

Kifach n7seb raison dyal suite arithmétique?

Pour trouver la raison $r$ d'une suite arithmétique :

Prends deux termes consécutifs, par exemple $u_n$ et $u_{n+1}$ .
Calcule la différence : $r = u_{n+1} - u_n$ .
Si le résultat est le même pour n'importe quel $n$ , c'est bien la raison.

💡 À retenir : $r = u_{n+1} - u_n$ .

Pour trouver la raison $r$ d'une suite arithmétique :

Prends deux termes consécutifs, par exemple $u_n$ et $u_{n+1}$.
Calcule la différence : $r = u_{n+1} - u_n$.
Si le résultat est le même pour n'importe quel $n$, c'est bien la raison.

💡 À retenir : $r = u_{n+1} - u_n$.

Wach suite géométrique dima tal3a?

Non, cela dépend de la raison $q$ et du premier terme $u_0$ :

Si $q > 1$ et $u_0 > 0$ : la suite est croissante.
Si $0 < q < 1$ et $u_0 > 0$ : la suite est décroissante.
Si $q < 0$ : la suite n'est ni croissante ni décroissante (elle change de signe à chaque terme).

💡 À retenir : Le signe de $q$ et de $u_0$ détermine le sens de variation.

Non, cela dépend de la raison $q$ et du premier terme $u_0$ :

Si $q > 1$ et $u_0 > 0$ : la suite est croissante.
Si $0 < q < 1$ et $u_0 > 0$ : la suite est décroissante.
Si $q < 0$ : la suite n'est ni croissante ni décroissante (elle change de signe à chaque terme).

💡 À retenir : Le signe de $q$ et de $u_0$ détermine le sens de variation.

Comment calculer la somme des termes d'une suite arithmétique ?

Identifie le premier terme ( $u_{\text{début}}$ ) et le dernier terme ( $u_{\text{fin}}$ ).
Compte le nombre de termes : $N = (\text{indice fin} - \text{indice début}) + 1$ .
Applique la formule : $S = \frac{N}{2} \times (u_{\text{début}} + u_{\text{fin}})$ .

💡 À retenir : Toujours vérifier le nombre de termes $N$ avant de calculer.

Identifie le premier terme ($u_{\text{début}}$) et le dernier terme ($u_{\text{fin}}$).
Compte le nombre de termes : $N = (\text{indice fin} - \text{indice début}) + 1$.
Applique la formule : $S = \frac{N}{2} \times (u_{\text{début}} + u_{\text{fin}})$.

💡 À retenir : Toujours vérifier le nombre de termes $N$ avant de calculer.

Quelle est la formule du terme général d'une suite géométrique si on connaît u0 ?

La formule est : $u_n = u_0 \times q^n$ Où $u_0$ est le premier terme et $q$ est la raison.

💡 À retenir : L'exposant est $n$ si on commence à $u_0$ .

La formule est : $$u_n = u_0 \times q^n$$ Où $u_0$ est le premier terme et $q$ est la raison.

💡 À retenir : L'exposant est $n$ si on commence à $u_0$.

Comment prouver qu'une suite est géométrique ?

Calcule le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ pour un $n$ quelconque.
Si le résultat est un nombre réel $q$ constant (qui ne dépend pas de $n$ ), alors la suite est géométrique de raison $q$ .

💡 À retenir : $\frac{u_{n+1}}{u_n} = q$ .

Calcule le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ pour un $n$ quelconque.
Si le résultat est un nombre réel $q$ constant (qui ne dépend pas de $n$), alors la suite est géométrique de raison $q$.

💡 À retenir : $\frac{u_{n+1}}{u_n} = q$.

Si u{n+1} = un + 5, c'est quoi la nature de la suite ?

C'est une suite arithmétique car on ajoute une constante $r = 5$ à chaque étape.

💡 À retenir : Forme $u_{n+1} = u_n + r \implies$ Arithmétique.

C'est une suite arithmétique car on ajoute une constante $r = 5$ à chaque étape.

💡 À retenir : Forme $u_{n+1} = u_n + r \implies$ Arithmétique.

Si u{n+1} = 3un, c'est quoi la nature de la suite ?

C'est une suite géométrique car on multiplie chaque terme par une constante $q = 3$ .

💡 À retenir : Forme $u_{n+1} = q \times u_n \implies$ Géométrique.

C'est une suite géométrique car on multiplie chaque terme par une constante $q = 3$.

💡 À retenir : Forme $u_{n+1} = q \times u_n \implies$ Géométrique.

Comment trouver le nombre de termes dans une somme de u0 à u{10} ?

On fait : $(10 - 0) + 1 = 11$ termes.

💡 À retenir : Nombre de termes = (Indice final - Indice initial) + 1.

On fait : $(10 - 0) + 1 = 11$ termes.

💡 À retenir : Nombre de termes = (Indice final - Indice initial) + 1.

Peut-on avoir une raison q = 0 dans une suite géométrique ?

Par définition, dans une suite géométrique, la raison $q$ doit être différente de $0$ ( $q \neq 0$ ).

💡 À retenir : $q \neq 0$ .

Par définition, dans une suite géométrique, la raison $q$ doit être différente de $0$ ($q \neq 0$).

💡 À retenir : $q \neq 0$.

Que signifie "une suite est constante" ?

Cela signifie que tous les termes de la suite sont égaux : $u_0 = u_1 = u_2 = \dots$ Dans une suite arithmétique, cela arrive si $r = 0$ . Dans une suite géométrique, si $q = 1$ .

💡 À retenir : $u_n = \text{constante}$ .

Cela signifie que tous les termes de la suite sont égaux : $u_0 = u_1 = u_2 = \dots$ Dans une suite arithmétique, cela arrive si $r = 0$. Dans une suite géométrique, si $q = 1$.

💡 À retenir : $u_n = \text{constante}$.

Comment étudier le sens de variation d'une suite ?

Calcule la différence $d = u_{n+1} - u_n$ .
Si $d > 0$ , la suite est croissante.
Si $d < 0$ , la suite est décroissante.

💡 À retenir : On étudie le signe de la différence.

Calcule la différence $d = u_{n+1} - u_n$.
Si $d > 0$, la suite est croissante.
Si $d < 0$, la suite est décroissante.

💡 À retenir : On étudie le signe de la différence.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $(v_n)$ une suite géométrique de premier terme $v_0 = 5$ et de raison $q = 2$ .

Calculer $v_1, v_2$ et $v_5$ .
Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ .
Calculer la somme $S_n = v_0 + v_1 + \dots + v_n$ .

Exercice 1

Soit $(v_n)$ une suite géométrique de premier terme $v_0 = 5$ et de raison $q = 2$.

Calculer $v_1, v_2$ et $v_5$.
Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
Calculer la somme $S_n = v_0 + v_1 + \dots + v_n$.

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Exercice 2

Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0 = 2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_{n+1} = 3u_n$ .

Calculer $u_1$ et $u_2$ .
Démontrer que $(u_n)$ est une suite géométrique et préciser sa raison.
Calculer la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_6$ .

Exercice 2

Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0 = 2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = 3u_n$.

Calculer $u_1$ et $u_2$.
Démontrer que $(u_n)$ est une suite géométrique et préciser sa raison.
Calculer la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_6$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_3 = 12$ et $u_7 = 24$ .

Calculer la raison $r$ et le premier terme $u_0$ .
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
Calculer la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{10}$ .

Exercice 3

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_3 = 12$ et $u_7 = 24$.

Calculer la raison $r$ et le premier terme $u_0$.
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Calculer la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{10}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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