Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences Économiques

مبادئ في المنطق مادة الرياضيات أولى باك شعبة العلوم الاقتصادية والتدبير

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Proposition : Une phrase mathématique qui est soit vraie (V), soit fausse (F).
Connecteurs logiques :
- $P \land Q$ (et) : Vrai seulement si $P$ et $Q$ sont vrais.
- $P \lor Q$ (ou) : Vrai si au moins l'un des deux est vrai.
- $\neg P$ (non) : Vrai si $P$ est faux.
Implication ( $P \implies Q$ ) : Fausse seulement si $P$ est vrai et $Q$ est faux.
Équivalence ( $P \iff Q$ ) : Vraie si $P$ et $Q$ ont la même valeur de vérité.
Quantificateurs : $\forall$ (pour tout) et $\exists$ (il existe).
Raisonnement :
- Par contraposée : Pour montrer $P \implies Q$ , on montre $\neg Q \implies \neg P$ .
- Par l'absurde : On suppose $\neg P$ et on cherche une contradiction.

Méthodes à maîtriser

Nier une proposition avec quantificateurs : $\neg(\forall x, P(x)) \iff \exists x, \neg P(x)$ .
Utiliser un contre-exemple pour prouver qu'une proposition est fausse.
Utiliser le raisonnement par récurrence pour les propriétés sur $\mathbb{N}$ .

Exemples corrigés

Négation : La négation de $(\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0)$ est $(\exists x \in \mathbb{R}, x^2 < 0)$ .
Contre-exemple : Pour montrer que "Tout nombre premier est impair" est faux, on donne le contre-exemple $2$ .

Erreurs fréquentes

Confondre l'implication et l'équivalence.
Oublier d'inverser le quantificateur lors de la négation.
Penser que $\neg(P \land Q)$ est $\neg P \land \neg Q$ (c'est $\neg P \lor \neg Q$ ).

L'essentiel du cours

Proposition : Une phrase mathématique qui est soit vraie (V), soit fausse (F).
Connecteurs logiques :
- $P \land Q$ (et) : Vrai seulement si $P$ et $Q$ sont vrais.
- $P \lor Q$ (ou) : Vrai si au moins l'un des deux est vrai.
- $\neg P$ (non) : Vrai si $P$ est faux.
Implication ($P \implies Q$) : Fausse seulement si $P$ est vrai et $Q$ est faux.
Équivalence ($P \iff Q$) : Vraie si $P$ et $Q$ ont la même valeur de vérité.
Quantificateurs : $\forall$ (pour tout) et $\exists$ (il existe).
Raisonnement :
- Par contraposée : Pour montrer $P \implies Q$, on montre $\neg Q \implies \neg P$.
- Par l'absurde : On suppose $\neg P$ et on cherche une contradiction.

Méthodes à maîtriser

Nier une proposition avec quantificateurs : $\neg(\forall x, P(x)) \iff \exists x, \neg P(x)$.
Utiliser un contre-exemple pour prouver qu'une proposition est fausse.
Utiliser le raisonnement par récurrence pour les propriétés sur $\mathbb{N}$.

Exemples corrigés

Négation : La négation de $(\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0)$ est $(\exists x \in \mathbb{R}, x^2 < 0)$.
Contre-exemple : Pour montrer que "Tout nombre premier est impair" est faux, on donne le contre-exemple $2$.

Erreurs fréquentes

Confondre l'implication et l'équivalence.
Oublier d'inverser le quantificateur lors de la négation.
Penser que $\neg(P \land Q)$ est $\neg P \land \neg Q$ (c'est $\neg P \lor \neg Q$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 مبادئ في المنطق مادة الرياضيات أولى باك شعبة العلوم الاقتصادية والتدبير

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La négation de $x > 5$ est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que la négation de x neq 0 est x = 0 ?

Oui, exactement. La négation de l'inégalité stricte est l'égalité.

💡 À retenir : $\neg(a \neq b) \iff a = b$ .

Oui, exactement. La négation de l'inégalité stricte est l'égalité.

💡 À retenir : $\neg(a \neq b) \iff a = b$.

C'est quoi une proposition ?

C'est une phrase mathématique qui a une valeur de vérité unique : soit Vrai, soit Faux.

💡 À retenir : Une question ou une exclamation n'est pas une proposition.

Kifach nbyen bli wahed l'proposition s7i7a b'taraajo3 ?

Vérification : Montre que c'est vrai pour le premier rang (ex: $n=0$ ).
Hypothèse : Suppose que c'est vrai pour $n$ .
Hérédité : Montre que c'est vrai pour $n+1$ en utilisant l'hypothèse.

💡 À retenir : Le raisonnement par récurrence est indispensable pour les suites.

Vérification : Montre que c'est vrai pour le premier rang (ex: $n=0$).
Hypothèse : Suppose que c'est vrai pour $n$.
Hérédité : Montre que c'est vrai pour $n+1$ en utilisant l'hypothèse.

💡 À retenir : Le raisonnement par récurrence est indispensable pour les suites.

C'est quoi la différence entre "et" et "ou" ?

"Et" ( $\land$ ) signifie que les deux conditions doivent être vraies en même temps.
"Ou" ( $\lor$ ) signifie qu'il suffit qu'une seule des deux conditions soit vraie pour que le tout soit vrai.

💡 À retenir : "Et" est exigeant, "Ou" est flexible.

"Et" ($\land$) signifie que les deux conditions doivent être vraies en même temps.
"Ou" ($\lor$) signifie qu'il suffit qu'une seule des deux conditions soit vraie pour que le tout soit vrai.

💡 À retenir : "Et" est exigeant, "Ou" est flexible.

Kifach n3ref wach nst3mel l'absurde wla l'contraposée ?

Utilise la contraposée quand tu veux montrer $P \implies Q$ et que $\neg Q \implies \neg P$ est plus facile à calculer.
Utilise l'absurde quand tu as une égalité ou une inégalité difficile à manipuler directement.

💡 À retenir : L'absurde est une arme fatale quand tu es bloqué.

Utilise la contraposée quand tu veux montrer $P \implies Q$ et que $\neg Q \implies \neg P$ est plus facile à calculer.
Utilise l'absurde quand tu as une égalité ou une inégalité difficile à manipuler directement.

💡 À retenir : L'absurde est une arme fatale quand tu es bloqué.

C'est quoi un contre-exemple ?

C'est un élément précis qui montre qu'une proposition universelle ( $\forall$ ) est fausse. Si tu dis "tous les nombres sont pairs", il suffit de donner "3" pour prouver que c'est faux.

💡 À retenir : Un seul contre-exemple suffit à détruire une proposition universelle.

C'est un élément précis qui montre qu'une proposition universelle ($\forall$) est fausse. Si tu dis "tous les nombres sont pairs", il suffit de donner "3" pour prouver que c'est faux.

💡 À retenir : Un seul contre-exemple suffit à détruire une proposition universelle.

Chno hiya l'negation dyal forall x, x 0 ?

La négation est $\exists x, x \leq 0$ . On change le quantificateur et on prend la négation de la condition.

💡 À retenir : $\forall$ devient $\exists$ et l'inégalité s'inverse.

La négation est $\exists x, x \leq 0$. On change le quantificateur et on prend la négation de la condition.

💡 À retenir : $\forall$ devient $\exists$ et l'inégalité s'inverse.

Est-ce que P implies Q est la même chose que Q implies P ?

Non, ce sont des propositions différentes. $Q \implies P$ est appelée la réciproque de $P \implies Q$ .

💡 À retenir : L'implication n'est pas symétrique.

Non, ce sont des propositions différentes. $Q \implies P$ est appelée la réciproque de $P \implies Q$.

💡 À retenir : L'implication n'est pas symétrique.

Pourquoi on utilise la contraposée ?

Parfois, il est très difficile de partir de $P$ pour arriver à $Q$ . En partant de "non $Q$ ", on arrive souvent plus facilement à "non $P$ ".

💡 À retenir : $P \implies Q$ est logiquement équivalent à $\neg Q \implies \neg P$ .

Parfois, il est très difficile de partir de $P$ pour arriver à $Q$. En partant de "non $Q$", on arrive souvent plus facilement à "non $P$".

💡 À retenir : $P \implies Q$ est logiquement équivalent à $\neg Q \implies \neg P$.

Est-ce que P iff Q veut dire que P et Q sont la même chose ?

Cela veut dire qu'elles ont la même valeur de vérité. Si l'une est vraie, l'autre l'est aussi.

💡 À retenir : L'équivalence est une double implication.

Chno hiya l'farq bin forall w exists ?

$\forall$ (pour tout) : concerne tous les éléments d'un ensemble.
$\exists$ (il existe) : concerne au moins un élément.

💡 À retenir : $\forall$ est global, $\exists$ est local.

$\forall$ (pour tout) : concerne tous les éléments d'un ensemble.
$\exists$ (il existe) : concerne au moins un élément.

💡 À retenir : $\forall$ est global, $\exists$ est local.

Est-ce que je peux utiliser le raisonnement par l'absurde pour tout ?

Oui, tu peux, mais ce n'est pas toujours la méthode la plus simple. Utilise-le surtout quand tu ne vois pas d'autre chemin.

💡 À retenir : L'absurde est un outil de secours.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$ .

Exercice 1

Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Montrer par contraposée que : si $x \neq 2$ et $y \neq 2$ , alors $xy - 2x - 2y + 4 \neq 0$ .

Exercice 2

Montrer par contraposée que : si $x \neq 2$ et $y \neq 2$, alors $xy - 2x - 2y + 4 \neq 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Montrer par l'absurde que $\sqrt{2}$ n'est pas un nombre rationnel.

Exercice 3

Montrer par l'absurde que $\sqrt{2}$ n'est pas un nombre rationnel.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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